初一數(shù)學(xué)——利潤(rùn)問(wèn)題在我們的日常生活中，無(wú)論是走進(jìn)商店購(gòu)物，還是聽(tīng)聞商家促銷(xiāo)，都離不開(kāi)“利潤(rùn)”這個(gè)詞。小到一支鉛筆的買(mǎi)賣(mài)，大到企業(yè)的經(jīng)營(yíng)決策，利潤(rùn)問(wèn)題都扮演著至關(guān)重要的角色。對(duì)于初一的同學(xué)們而言，利潤(rùn)問(wèn)題不僅是數(shù)學(xué)課本上的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，更是培養(yǎng)我們運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際生活問(wèn)題能力的絕佳途徑。今天，我們就一同深入探討初一數(shù)學(xué)中的利潤(rùn)問(wèn)題，揭開(kāi)它的神秘面紗，掌握其中的規(guī)律與技巧。一、利潤(rùn)問(wèn)題的核心概念解析要解決利潤(rùn)問(wèn)題，首先我們必須厘清幾個(gè)核心概念。這些概念就像構(gòu)建大廈的基石，只有基礎(chǔ)牢固，才能從容應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜的問(wèn)題。成本價(jià)（進(jìn)價(jià)）：這指的是商家購(gòu)進(jìn)商品時(shí)所付出的錢(qián)。比如，一個(gè)商店老板從批發(fā)商那里以某個(gè)價(jià)格買(mǎi)入一批文具，這個(gè)買(mǎi)入的價(jià)格就是這批文具的成本價(jià)。售價(jià)：顧名思義，是商家賣(mài)出商品時(shí)向顧客收取的錢(qián)。我們?cè)谏痰昀锟吹降纳唐窐?biāo)簽上的價(jià)格，通常就是售價(jià)，或者是標(biāo)價(jià)（關(guān)于標(biāo)價(jià)和售價(jià)的關(guān)系，我們后面會(huì)談到折扣）。利潤(rùn)：當(dāng)商家賣(mài)出商品后，如果總收入（售價(jià)）比總成本（成本價(jià)）高，那么高出的這部分金額就是利潤(rùn)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，利潤(rùn)=售價(jià)-成本價(jià)。如果結(jié)果是負(fù)數(shù)，那就意味著虧損了。利潤(rùn)率：這是一個(gè)非常重要的概念，它表示利潤(rùn)占成本價(jià)的百分比。為什么要強(qiáng)調(diào)是“占成本價(jià)”呢？因?yàn)槲覀兒饬恳患唐返挠潭龋ǔＪ窍鄬?duì)于我們投入的成本而言的。其計(jì)算公式為：利潤(rùn)率=（利潤(rùn)÷成本價(jià)）×100%。這個(gè)百分比能讓我們更直觀地比較不同商品的盈利水平。折扣：在商業(yè)活動(dòng)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到“打折”的情況。折扣是商家為了促銷(xiāo)，在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)上按一定比例降價(jià)銷(xiāo)售。例如，“九折”就是按標(biāo)價(jià)的90%出售，“八五折”就是按標(biāo)價(jià)的85%出售。所以，售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣（這里的折扣通常用十分之幾或百分之幾來(lái)表示，比如九折就是0.9或90%）。二、利潤(rùn)問(wèn)題中的基本關(guān)系與公式推導(dǎo)理解了上述核心概念后，我們來(lái)梳理一下它們之間的基本關(guān)系，并推導(dǎo)出一些常用的公式。這些公式是解決利潤(rùn)問(wèn)題的“金鑰匙”。1.利潤(rùn)的基本公式：這是最根本的關(guān)系：利潤(rùn)=售價(jià)-成本價(jià)(或利潤(rùn)=賣(mài)出價(jià)-買(mǎi)入價(jià))如果售價(jià)低于成本價(jià)，利潤(rùn)就是負(fù)數(shù)，我們稱(chēng)之為“虧損”。2.利潤(rùn)率的公式：由利潤(rùn)率的定義直接可得：利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本價(jià)×100%將利潤(rùn)的公式代入上式，可得：利潤(rùn)率=(售價(jià)-成本價(jià))/成本價(jià)×100%這個(gè)公式非常重要，它將售價(jià)、成本價(jià)和利潤(rùn)率聯(lián)系了起來(lái)。3.售價(jià)的計(jì)算公式（已知成本價(jià)和利潤(rùn)率）：我們可以通過(guò)利潤(rùn)率的公式變形，得到已知成本價(jià)和期望利潤(rùn)率時(shí)，如何計(jì)算售價(jià)：由利潤(rùn)率=(售價(jià)-成本價(jià))/成本價(jià)×100%兩邊同時(shí)乘以成本價(jià)：利潤(rùn)率×成本價(jià)=售價(jià)-成本價(jià)移項(xiàng)可得：售價(jià)=成本價(jià)+利潤(rùn)率×成本價(jià)=成本價(jià)×(1+利潤(rùn)率)這個(gè)公式在已知進(jìn)價(jià)（成本）和期望獲得的利潤(rùn)率時(shí)，計(jì)算售價(jià)非常方便。4.成本價(jià)的計(jì)算公式（已知售價(jià)和利潤(rùn)率）：同樣，我們也可以通過(guò)變形，在已知售價(jià)和利潤(rùn)率的情況下反求成本價(jià)：由售價(jià)=成本價(jià)×(1+利潤(rùn)率)可得：成本價(jià)=售價(jià)/(1+利潤(rùn)率)這個(gè)公式在一些“逆向”思考的題目中非常有用。5.折扣與售價(jià)的關(guān)系：若商品有標(biāo)價(jià)，并且按一定折扣出售，則：售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣率這里的折扣率是一個(gè)小于或等于1的數(shù)，例如打八折，折扣率就是0.8。這些公式之間是可以相互轉(zhuǎn)化和推導(dǎo)的，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要靈活運(yùn)用，根據(jù)題目給出的條件，選擇合適的公式。三、解題方法與典型例題解析掌握了基本概念和公式，接下來(lái)就是如何運(yùn)用它們來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。解決利潤(rùn)問(wèn)題，關(guān)鍵在于仔細(xì)審題，明確題目中的已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系，然后選擇合適的公式進(jìn)行求解。解題的一般步驟建議：1.審清題意：找出題目中的關(guān)鍵信息，明確哪些是成本價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率、折扣等。2.設(shè)未知數(shù)：對(duì)于未知量，通常可以設(shè)為x（例如，設(shè)成本價(jià)為x元，設(shè)利潤(rùn)率為x等）。3.列方程（或算式）：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，結(jié)合利潤(rùn)、利潤(rùn)率等公式，列出方程或算式。4.求解：解方程或進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，求出未知量。5.檢驗(yàn)與作答：檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否符合題意，然后寫(xiě)出完整的答案。下面我們通過(guò)幾個(gè)典型例題來(lái)具體分析：例題1（基礎(chǔ)利潤(rùn)與利潤(rùn)率）：一家商店以每件100元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，然后以每件150元的價(jià)格出售。請(qǐng)問(wèn)：（1）每件T恤的利潤(rùn)是多少元？（2）這批T恤的利潤(rùn)率是多少？分析與解答：（1）這里，成本價(jià)（進(jìn)價(jià)）是100元，售價(jià)是150元。利潤(rùn)=售價(jià)-成本價(jià)=150-100=50（元）答：每件T恤的利潤(rùn)是50元。（2）利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本價(jià)×100%=50/100×100%=50%答：這批T恤的利潤(rùn)率是50%。例題2（含折扣問(wèn)題）：某商品的標(biāo)價(jià)為200元，現(xiàn)打九折出售。已知該商品的進(jìn)價(jià)為150元，求：（1）該商品的實(shí)際售價(jià)是多少元？（2）商家賣(mài)出一件該商品能賺多少元？利潤(rùn)率是多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）分析與解答：（1）標(biāo)價(jià)為200元，打九折出售。售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣率=200×0.9=180（元）答：該商品的實(shí)際售價(jià)是180元。（2）成本價(jià)是150元，售價(jià)是180元。利潤(rùn)=售價(jià)-成本價(jià)=180-150=30（元）利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本價(jià)×100%=30/150×100%=20.0%答：商家能賺30元，利潤(rùn)率是20.0%。例題3（已知售價(jià)和利潤(rùn)率，求成本價(jià)）：一件商品按定價(jià)賣(mài)出可獲利50元，如果按定價(jià)的90%出售，則可獲利20元。這件商品的成本價(jià)是多少元？分析與解答：這道題稍微復(fù)雜一點(diǎn)，涉及到定價(jià)、售價(jià)、成本和利潤(rùn)。我們可以設(shè)成本價(jià)為x元。因?yàn)椤鞍炊▋r(jià)賣(mài)出可獲利50元”，所以定價(jià)=成本價(jià)+利潤(rùn)=x+50?！鞍炊▋r(jià)的90%出售”，此時(shí)的售價(jià)=定價(jià)×90%=0.9×(x+50)。此時(shí)的利潤(rùn)是20元，所以售價(jià)也可以表示為：成本價(jià)+此時(shí)的利潤(rùn)=x+20。因此，我們可以列出方程：0.9×(x+50)=x+20解這個(gè)方程：0.9x+45=x+2045-20=x-0.9x25=0.1xx=250答：這件商品的成本價(jià)是250元。例題4（復(fù)雜一點(diǎn)的利潤(rùn)比較問(wèn)題）：某商店同時(shí)賣(mài)出兩件商品，每件各得120元。其中一件盈利20%，另一件虧本20%。這個(gè)商店賣(mài)出這兩件商品總體上是盈利還是虧本？具體是多少？分析與解答：這道題是經(jīng)典的“一賺一虧”問(wèn)題，容易讓人誤以為不賺不虧，但實(shí)際上需要分別計(jì)算兩件商品的成本價(jià)才能判斷。第一件商品：售價(jià)120元，盈利20%。這里的20%是相對(duì)于它的成本價(jià)而言的。設(shè)第一件商品的成本價(jià)為x元。根據(jù)售價(jià)=成本價(jià)×(1+利潤(rùn)率)可得：120=x×(1+20%)120=1.2xx=120/1.2=100（元）所以第一件商品的成本是100元，利潤(rùn)是120-100=20元。第二件商品：售價(jià)120元，虧本20%。這里的20%是相對(duì)于它的成本價(jià)而言的虧損率。設(shè)第二件商品的成本價(jià)為y元。因?yàn)槭翘澅?，所以售價(jià)=成本價(jià)×(1-虧損率)可得：120=y×(1-20%)120=0.8yy=120/0.8=150（元）所以第二件商品的成本是150元，虧損是150-120=30元?，F(xiàn)在計(jì)算總成本和總售價(jià)：總成本=100+150=250（元）總售價(jià)=120+120=240（元）因?yàn)榭偸蹆r(jià)（240元）<總成本（250元），所以總體上是虧本的。虧本金額=250-240=10（元）答：這個(gè)商店賣(mài)出這兩件商品總體上是虧本了，虧本了10元。四、總結(jié)與解題技巧提升利潤(rùn)問(wèn)題雖然涉及的概念和公式較多，但只要我們能夠深刻理解各個(gè)概念的含義，熟練掌握它們之間的數(shù)量關(guān)系和公式，并通過(guò)適量的練習(xí)加以鞏固，就能輕松應(yīng)對(duì)。解決利潤(rùn)問(wèn)題的關(guān)鍵在于：1.準(zhǔn)確理解概念：特別是“成本價(jià)”、“售價(jià)”、“利潤(rùn)率”、“折扣”這幾個(gè)核心概念，要明確它們?cè)陬}目中的具體所指。2.找準(zhǔn)等量關(guān)系：根據(jù)題目敘述，找出已知量和未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系，這是列方程或算式的依據(jù)。3.靈活運(yùn)用公式：不要死記硬背公式，要理解公式的來(lái)源和適用場(chǎng)景，并能根據(jù)需要進(jìn)行公式變形。4.細(xì)致計(jì)算：利潤(rùn)問(wèn)題涉及到百分?jǐn)?shù)和小數(shù)的運(yùn)算較多，計(jì)算時(shí)要格外細(xì)心，避免因粗心導(dǎo)致錯(cuò)誤。5.多角度思考：對(duì)于一些復(fù)雜的問(wèn)題，可以嘗試畫(huà)線段圖、列表格等方式幫助分析，或者從不同角度設(shè)未知數(shù)。溫馨提示：*在計(jì)算利潤(rùn)率時(shí)，一定要注意是相對(duì)于“成本價(jià)”而言，這是很多同學(xué)容易出錯(cuò)的地方。*遇到“打折”問(wèn)題，要