《搭配的學問：從生活到模型的數(shù)學探索》——小學三年級下冊數(shù)學教學設計一、教學內(nèi)容分析??本節(jié)課內(nèi)容隸屬于《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》“綜合與實踐”領域，核心是引導學生初步感受分類討論、有序思考和符號化思想，是組合數(shù)學的啟蒙，亦是未來學習概率統(tǒng)計的基石。從知識技能圖譜看，它位于學生已掌握簡單分類與簡單羅列之后，是邏輯思維從“無序枚舉”邁向“有序建構(gòu)”的關鍵節(jié)點。其認知要求從具體操作（擺一擺）過渡到形象表征（畫一畫、連一連），最終導向抽象建模（用字母、算式表示），體現(xiàn)了“具體—表象—抽象”的認知發(fā)展路徑。過程方法上，本課是數(shù)學建模思想的初步體驗，學生將在“創(chuàng)設現(xiàn)實情境—提取數(shù)學問題—探索解決方法—表達與驗證模型—解釋與應用模型”的完整過程中，發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。其素養(yǎng)價值深遠，不僅在于培養(yǎng)學生全面、有序思考問題的習慣（推理意識），更在于讓學生體會到數(shù)學是對現(xiàn)實世界抽象概括的模型（模型意識），數(shù)學方法可以簡潔、清晰地解決生活實際問題（應用意識），從而增強學習數(shù)學的興趣與自信。??基于“以學定教”原則，學情研判如下：三年級學生思維正從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，具備簡單羅列的生活經(jīng)驗，但普遍缺乏“有序”和“不重不漏”的方法論自覺。其興趣點在于動手操作和解決貼近生活的問題，認知難點在于從直觀操作抽象為符號化表達，以及理解“乘法原理”的算理依據(jù)。常見誤區(qū)是重復或遺漏搭配方案。因此，教學調(diào)適應以差異化任務驅(qū)動：對于思維直觀型學生，提供充分的實物或圖片操作機會，搭建從操作到記錄的“腳手架”；對于思維趨向抽象的學生，則鼓勵其嘗試符號化記錄并解釋算理。課堂將通過觀察學生操作過程、傾聽小組討論、分析記錄單等形成性評價手段，動態(tài)診斷學生的思維層次，及時提供個別化指導或進階挑戰(zhàn)。二、教學目標??知識目標：學生能理解簡單搭配問題的本質(zhì)是“組合”，在解決“從m個元素中選1個，與從n個元素中選1個進行配對”的問題時，能經(jīng)歷從實物操作到圖形連線，再到抽象算式（m×n）的完整建模過程，并清晰解釋每一步搭配的對應關系與乘法算式的含義。??能力目標：學生能夠運用“固定其中一個，有序輪換另一個”的策略，通過動手操作、畫圖、連線等方式，獨立或合作探索并系統(tǒng)化地呈現(xiàn)所有搭配方案，做到不重復、不遺漏，并能用簡潔的數(shù)學語言或算式描述搭配結(jié)果。??情感態(tài)度與價值觀目標：在探索搭配方案的過程中，學生能體驗數(shù)學的秩序美與簡潔美，感受數(shù)學與日常生活的緊密聯(lián)系；在小組合作中，愿意傾聽同伴意見，敢于表達自己的思考過程，并享受通過有序思考成功解決問題的成就感。??科學（學科）思維目標：本節(jié)課重點發(fā)展學生的有序思維與初步的模型思維。通過設計“如何記錄才能讓沒看到操作過程的人也一目了然？”等問題鏈，引導學生經(jīng)歷從具體事物中抽象出數(shù)學模型（乘法原理的雛形）的過程，培養(yǎng)其思維的條理性和概括性。??評價與元認知目標：學生能依據(jù)“有序、清晰、不重不漏”的標準，通過同伴互評檢驗搭配方案的完整性；能在課堂小結(jié)時，反思自己是從“亂序嘗試”走向“有序思考”的，并初步總結(jié)出解決此類問題的一般步驟與核心策略。三、教學重點與難點??教學重點：掌握有序、全面地進行搭配思考的方法與策略，并能用恰當?shù)姆绞剑ㄟB線、符號、算式）進行表達。確立依據(jù)在于，課標強調(diào)通過綜合實踐活動發(fā)展學生的推理意識和模型意識，“有序思考”是邏輯推理的基石，而“方法表達”是模型建構(gòu)的外顯。此重點亦是解決復雜組合問題的通用思維工具，對后續(xù)學習具有奠基作用。??教學難點：從具體的操作、連線等形象思維，過渡到理解“用乘法計算搭配總數(shù)”的算理抽象。預設難點成因在于，學生雖能通過枚舉得到正確總數(shù)，但難以自發(fā)建立“每件上裝與3件下裝搭配，即有3種方法，2件上裝就是2個3”這一對應關系，即從加法思維（3+3）跨越到乘法模型（2×3）存在認知跨度。突破方向在于，強化操作與記錄中的“對應”演示與語言引導，使抽象算理具象化。四、教學準備清單1.教師準備1.1媒體與教具：交互式課件（含動態(tài)連線演示）；實物卡片（上裝、下裝圖片）；學習任務單（含分層探究任務）。1.2環(huán)境布置：將學生分為46人異質(zhì)小組，便于合作與交流；黑板劃分為“操作區(qū)”、“展示區(qū)”、“模型區(qū)”。2.學生準備2.1學具：每人一套學具小卡片（2種上裝、3種下裝簡圖）。2.2預習：思考“明天有體育課和美術課，你準備穿哪件上衣和哪條褲子？一共有幾種不同的穿法？”并用自己喜歡的方式表示出來。五、教學過程第一、導入環(huán)節(jié)??1.情境創(chuàng)設與舊知喚醒：同學們，周末去公園，笑笑遇到了一個“甜蜜的煩惱”。（課件出示：衣柜里有2件上裝、3件下裝）她想挑一身最精神的衣服，有多少種不同的搭配方法呢？“看來，小小的搭配里藏著大學問！今天我們就一起來當一回‘形象設計師’，研究《搭配的學問》?！??1.1提出核心驅(qū)動問題：面對這個“2件上裝、3件下裝”的搭配問題，怎樣才能找出所有的搭配方案，并且做到不重復、不遺漏呢？請大家先用自己的學具卡片擺一擺，看看能找到幾種。??1.2勾勒學習路徑：待會兒我們將從動手操作開始，然后尋找更清晰的記錄方法，最后還要探索能不能用更快的“計算”方法。比比看，誰的想法最有條理！第二、新授環(huán)節(jié)??本環(huán)節(jié)圍繞核心問題，搭建由具象到抽象的思維階梯，設計五個層層遞進的探究任務。任務一：實物操作，初步感知??教師活動：首先，巡視全班，觀察學生的操作方式。將有代表性的方法（無序擺的、有序擺的）用實物投影展示?！按蠹铱?，這兩位同學都找到了6種。你們覺得哪種擺法更容易一眼就看出找全了沒有？”引導學生對比觀察，聚焦“順序”。接著示范引導：“老師有個小秘訣，叫‘固定一件，有序輪換’。比如，先固定這件T恤，它可以分別與褲子1、褲子2、褲子3搭配，這樣就有3種。然后呢？”請學生接著操作。??學生活動：利用手中卡片進行自由搭配操作。通過觀察同伴的擺法，初步感受“有序”與“無序”的差異。在教師引導下，嘗試用“固定上裝，輪流配下裝”或“固定下裝，輪流配上裝”的策略重新操作一遍，并數(shù)出一共有6種不同的搭配。??即時評價標準：1.操作過程是否從隨意嘗試轉(zhuǎn)向有意遵循某種順序。2.能否清晰地說出自己采用的“固定”策略。3.小組內(nèi)能否通過對比，認同有序操作的優(yōu)勢。??形成知識、思維、方法清單：??★核心方法：有序操作。解決搭配問題，不能胡亂嘗試，可以采用“固定一個，有序輪換另一個”的策略，這樣能有效避免重復和遺漏?！按蠹矣涀。行蚴墙鉀Q這類問題的金鑰匙?！??▲思維起點：枚舉思想。最初的動手擺一擺，實質(zhì)上是將所有可能的情況一一列舉出來，這是最直觀的方法。對于復雜的問題，枚舉是驗證其他方法是否正確的基礎。??●活動經(jīng)驗：合作與觀察。在小組內(nèi)交流不同的擺法，通過比較發(fā)現(xiàn)方法的優(yōu)劣，這是向同伴學習的寶貴機會。任務二：圖形連線，形象記錄??教師活動：提出進階挑戰(zhàn)：“剛才我們用卡片擺，如果卡片被收走了，你怎么把你的搭配方案記錄下來，告訴別人呢？”鼓勵學生用畫圖的方式在任務單上嘗試?！拔铱吹接械耐瑢W畫得很詳細，有的同學用了簡單的符號，真棒！有沒有一種方法，既能表示清楚，又畫得很快呢？”引出連線法。在黑板上示范：先畫出2件上裝和3件下裝，然后從第一件上裝開始，分別向3件下裝連線?！斑@條線就代表一種搭配。誰看懂了？為什么從一件上裝能畫出3條線？”??學生活動：嘗試用自己喜歡的圖形、符號或文字記錄6種搭配方案。觀察教師示范的連線法，理解每條線的含義。模仿并獨立用連線法在任務單上完成記錄。部分學生可能嘗試從下裝往上裝連線。??即時評價標準：1.記錄方式是否能清晰表達“誰與誰搭配”的對應關系。2.連線是否規(guī)范、有序，能否體現(xiàn)“不重不漏”。3.能否解釋自己連線順序代表的思考策略。??形成知識、思維、方法清單：??★核心表征：連線圖。連線是數(shù)學中表示兩種事物間對應關系的常用手段，它比實物操作更抽象一步，比純文字更直觀，是思維的“可視化”工具。??▲方法優(yōu)化：從具體到半抽象。記錄方式從畫具體衣物簡化為用圖形、符號甚至字母表示，體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔性追求。連線法則進一步將離散的搭配方案整合成一個清晰的結(jié)構(gòu)圖。??●符號意識萌芽：用簡單的圖形（如○、△）代替具體事物，是符號化思想的初步體驗?？梢砸龑W生思考：“如果用字母A、B表示上裝，用1、2、3表示下裝，該怎么連線？”任務三：符號抽象，建立對應??教師活動：承接學生想法，引入符號表示?！皠偛庞型瑢W提到了字母，這主意太妙了！我們用字母A、B代表兩件上裝，數(shù)字1、2、3代表三件下裝?！痹诤诎迳袭嫵鯝、B和1、2、3，并連線。“現(xiàn)在，一種搭配方案就可以用一個‘代號’表示了，比如A1。誰能說說B2代表哪種搭配？”引導學生讀寫所有搭配代號?！罢埓蠹覕?shù)一數(shù)，這些代號一共有幾個？你是怎么數(shù)的？是一口氣數(shù)，還是分組數(shù)的？”??學生活動：學習用“字母+數(shù)字”的符號對來表示一種搭配。根據(jù)連線圖寫出所有可能的符號組合（A1,A2,A3,B1,B2,B3）。嘗試有序地數(shù)出這些符號，并分享數(shù)數(shù)策略（如先數(shù)A開頭的3個，再數(shù)B開頭的3個）。??即時評價標準：1.能否正確理解并使用符號對表示具體的搭配。2.在列舉符號對時，是否遵循了有序的原則（如先定字母，再變數(shù)字）。3.數(shù)數(shù)策略是否體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化思維（分組計數(shù)）。??形成知識、思維、方法清單：??★核心概念：符號化表示。用A1、B2等符號對表示搭配，是數(shù)學抽象的重要一步。它完全脫離了具體事物，形成了通用的數(shù)學語言，為概括規(guī)律奠定了基礎。??▲思維結(jié)構(gòu)化：分組計數(shù)。在數(shù)符號對時，自然的“先數(shù)A的，再數(shù)B的”想法，實質(zhì)上是將6個對象分成了兩組，每組3個。這種分組思想是理解乘法算理的直接橋梁。??●對應思想：每一個符號對（如A1）唯一對應一種實物搭配（T恤配牛仔褲），反之亦然。這種一一對應的關系保證了我們研究符號就是在研究原問題。任務四：算式建模，揭示規(guī)律??教師活動：這是突破難點的關鍵步驟。指著連線圖或符號列表提問：“我們通過操作、連線、用符號，都得到了6種。如果不畫圖、不列符號，你能直接算出有幾種嗎？仔細觀察，這個‘6’是怎么來的？”引導學生觀察：“一件上裝配3件下裝，就是1個3；兩件上裝呢？”板書：1個3+1個3=2個3。進而追問：“2個3相加，用乘法怎么表示？”板書：2×3=6（種）。同理，引導學生從下裝角度思考：1件下裝配2件上裝，3件下裝就是3個2，即3×2=6?！翱磥?，從不同角度思考，但都‘相遇’在同一個結(jié)果上。”??學生活動：觀察已有成果，尋找“6”與“2件上裝”、“3件下裝”之間的關系。在教師引導下，嘗試用語言描述“一件上裝有3種配法，兩件上裝就有2個3種”。理解并復述乘法算式2×3=6的含義。部分學生能嘗試從下裝角度解釋3×2=6。??即時評價標準：1.能否將“2×3=6”中的數(shù)字“2”、“3”與實際問題中的上裝、下裝數(shù)量正確關聯(lián)。2.能否用自己的話解釋算式的意義（如“因為每件上裝都有3種選擇，有2件上裝，所以是2乘3”）。3.是否理解從兩個角度思考都能得到正確結(jié)果。??形成知識、思維、方法清單：??★核心模型：乘法原理雛形。當完成一件事情需要分兩步（先選上裝，再選下裝），每一步的方法數(shù)相乘，就是總的方法數(shù)。這是組合數(shù)學中乘法原理最淺顯的實例。“這個發(fā)現(xiàn)了不起！我們把一個搭配問題，轉(zhuǎn)化成了乘法計算?！??▲算理理解：乘法的本質(zhì)。此處的2×3，不是單純的計數(shù)，而是表示“2個3相加”。它深刻揭示了本課乘法與之前學習的乘法（同數(shù)連加）在本質(zhì)上的統(tǒng)一，是乘法意義的又一次拓展應用。??●策略多樣化：既可以從上裝角度思考（2×3），也可以從下裝角度思考（3×2），這體現(xiàn)了解決問題策略的多樣性，并滲透了乘法交換律的思想。任務五：情境變式，鞏固模型??教師活動：出示變式情境：“午餐時間到了，一份套餐包含1種主食和1種炒菜。主食有米飯、饅頭，炒菜有西紅柿炒蛋、土豆絲、青椒肉絲。一共有多少種不同的套餐選擇？”提問：“這和我們剛才研究的衣服搭配，是同一個數(shù)學問題嗎？哪里一樣？”引導學生識別出“兩種事物搭配”的結(jié)構(gòu)?！澳隳苤苯佑盟闶剿愠鰜韱幔空堈f說你的算式和理由?！痹僬垖W生用連線法驗證。??學生活動：識別新情境中的數(shù)學結(jié)構(gòu)（主食2種，炒菜3種）。獨立嘗試列出算式2×3=6（種），并說明理由。用連線法在任務單上畫圖驗證計算結(jié)果，鞏固方法與模型。??即時評價標準：1.能否準確識別新情境中的“兩類事物”及其數(shù)量。2.能否不經(jīng)過完整枚舉，直接運用乘法模型列出算式并解釋。3.連線驗證是否規(guī)范、正確。??形成知識、思維、方法清單：??★模型應用：識別結(jié)構(gòu)。解決實際問題的關鍵，是從紛繁的生活信息中抽象出“兩類事物進行一一搭配”的數(shù)學模型。這是數(shù)學建模思想的核心環(huán)節(jié)。??▲方法驗證：算畫結(jié)合。用算式快速求出總數(shù)，再用連線法（或其他枚舉法）進行驗證，體現(xiàn)了計算快捷性與直觀可靠性的結(jié)合，培養(yǎng)了嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。??●數(shù)學眼光：能從不同的生活場景（穿衣、配餐）中看到相同的數(shù)學本質(zhì)，這就是用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界。第三、當堂鞏固訓練??設計分層練習，滿足差異化需求。??1.基礎層（全員過關）：“從學校到少年宮有2條路，從少年宮到動物園有3條路。從學校經(jīng)過少年宮到動物園，有幾種不同的走法？”（直接應用模型，2×3=6）。??反饋：快速核對答案后，提問：“這里的‘2’和‘3’分別對應什么？誰能當小老師講一講？”??1.綜合層（多數(shù)挑戰(zhàn)）：任務單上的“升級題”：小明的生日密碼是一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是2、5、8中的一個，個位數(shù)字是1、4中的一個。這個密碼可能有多少種？要求先用連線法表示，再寫算式。（情境稍復雜，需明確“十位”、“個位”兩類）。??反饋：展示不同連線圖，對比優(yōu)劣。強調(diào)“有序”在數(shù)字搭配中同樣重要。同伴互評標準：連線清晰嗎？算式對嗎？??1.挑戰(zhàn)層（學有余力）：“如果笑笑還有2頂不同的帽子，現(xiàn)在的搭配問題變成了：先選1頂帽子，再選1件上裝，最后選1件下裝。一共會有多少種不同的全身搭配呢？大膽猜想一下，和同桌說說你的想法。”（為下節(jié)課“三個元素的搭配”或乘法原理的擴展埋下伏筆）。??反饋：不要求統(tǒng)一答案，鼓勵分享猜想（如6×2=12）。重點表揚能聯(lián)系本節(jié)課經(jīng)驗進行推理的學生?！澳愕牟孪牒苡械览恚褍刹酵卣钩闪巳?，課后可以畫圖研究一下！”第四、課堂小結(jié)??1.知識整合：“同學們，今天我們當‘設計師’、‘點餐員’、‘探路者’，經(jīng)歷了豐富的探索?；仡櫼幌拢鉀Q搭配問題的關鍵是什么？”引導學生總結(jié)：有序思考（固定法）、方法表達（連線、符號）、建立模型（用乘法算）。??1.方法提煉：請學生用思維導圖或關鍵詞在筆記本上簡單梳理學習歷程（操作—畫圖—符號—算式）。提問：“從開始的動手擺，到最后的乘法算，你覺得自己最大的進步在哪里？”（引導學生反思從“具體”走向“抽象”的思維飛躍）。??1.作業(yè)布置與延伸：??必做（基礎）：完成練習冊相關基礎題，并用連線法檢查一道題的答案。??選做（拓展）：（1）設計一個類似的“搭配”問題考考家長。（2）研究“挑戰(zhàn)層”中帽子、上裝、下裝的三步搭配問題，把你的發(fā)現(xiàn)（畫圖或算式）記錄下來。??“生活中處處有搭配，數(shù)學能讓搭配變得有序又高效。下節(jié)課，我們將用今天學到的方法，去解決更有趣的‘密碼’問題。”六、作業(yè)設計??基礎性作業(yè)：1.課本第102頁“做一做”第1、2題。要求用連線法完成，并寫出乘法算式。2.填空：3件上裝和4件下裝，一共有（）種搭配方法，算式是（）。??拓展性作業(yè)：1.（情境應用）小小規(guī)劃師：為班級“圖書角”的圖書設計編號。書架有3層，每層有5個格子。如果用“層數(shù)+格數(shù)”的方式給每個格子編號（如第1層第1格叫“11”），一共需要設計多少個不同的編號？請用數(shù)學方法解決并說明。2.（方法梳理）用你喜歡的方式（如畫圖、列表、寫日記），向家人介紹你今天學到的“有序搭配”的方法。??探究性/創(chuàng)造性作業(yè)：1.（開放探究）研究“0”在搭配中的意義：如果笑笑有一件上裝怎么都找不到合適的下裝配，可以認為這件上裝有0種搭配。那么，2件上裝（其中一件有0種搭配）和3件下裝，一共有多少種搭配？你的算式需要如何調(diào)整？這說明了什么？2.（跨學科聯(lián)系）與美術或語文結(jié)合：用“形狀”和“顏色”進行搭配，創(chuàng)作一幅有規(guī)律的圖案（如，3種基本圖形×4種顏色），并為你作品中的搭配規(guī)律寫一段簡短的說明。七、本節(jié)知識清單及拓展??1.★有序思考：解決搭配問題的首要原則。常用策略是“固定一個，有序輪換另一個”。它保證了思維的條理性和結(jié)果的完整性。??2.★連線法：一種直觀、清晰的記錄和表示所有搭配方案的方法。用線連接兩類事物，每條線代表一種搭配，是思維可視化的有效工具。??3.★符號表示法：用字母、數(shù)字等符號代替具體事物來表示搭配（如A1）。它更簡潔，是數(shù)學抽象的開始，有助于發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律。??4.★乘法模型（核心）：當完成一個搭配需要分兩步，第一步有m種方法，第二步有n種方法，那么總方法數(shù)為m×n。這是從大量具體例子中抽象概括出的數(shù)學模型。??5.算理理解：算式m×n的含義是“m個n相加”。例如2×3=6，表示2個3（種搭配）相加。??6.策略多樣性：既可以從A類事物角度思考（m×n），也可以從B類事物角度思考（n×m），結(jié)果相同，體現(xiàn)了乘法交換律。??7.模型識別：關鍵是從生活問題中抽象出“兩類事物進行一一搭配”的數(shù)學結(jié)構(gòu)。例如，路線選擇、數(shù)字組數(shù)、套餐組合等，本質(zhì)相同。??8.▲乘法原理雛形：本節(jié)課內(nèi)容是組合數(shù)學中“乘法原理”的最基礎形態(tài)。乘法原理指出：完成一件事需要分n步，每一步各有若干方法，則總方法數(shù)為各步方法數(shù)的乘積。??9.應用意識：數(shù)學來源于生活并應用于生活。搭配知識可以解決服裝、餐飲、路線規(guī)劃、密碼設置等實際問題。??10.易錯點提醒：混淆“搭配”與“排列”。搭配是兩類不同事物的組合（如上裝和下裝），不分順序；排列是同一類事物的順序安排（如數(shù)字排順序），兩者不同。??11.驗證方法：用連線、列表等枚舉法可以驗證乘法計算的結(jié)果是否正確，做到“算有所依”。??12.▲拓展：三步搭配：如果搭配需要三步（如帽子、上裝、下裝），則總方法數(shù)為各步方法數(shù)的連乘（如a×b×c）。這可以通過兩步模型推導得出。八、教學反思??（一）教學目標達成度分析：本節(jié)課預設的知識與能力目標達成度較高。通過課堂觀察和任務單反饋，超過85%的學生能熟練運用連線法解決基礎搭配問題，并正確列出乘法算式。情感目標在小組合作與成功解決問題的興奮感中得以實現(xiàn)。思維目標的達成呈現(xiàn)層次性：大部分學生掌握了“有序操作”，約60%的學生能初步解釋乘法算理，抽象為符號和深刻理解模型則是對部分學優(yōu)生的要求。??（二）環(huán)節(jié)有效性評估：導入環(huán)節(jié)的生活情境迅速點燃了興趣。新授的五個任務構(gòu)成了有效的思維階梯?！叭蝿找弧钡膶Ρ炔?/p>