2025—2026學年長沙市第一中高二上學期第二次階段檢測(12月)時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.設集合A={x|x2+x-3C.(-1,1)D.(-4,1)2.若復數z滿足(1+2i)z=10i,則z的虛部為()A.4B.2i3.曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線方程為()A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-14.已知數列{a}是等比數列，數列是等差數列，若aa?a?=3√3,,則的值為()A5.VABC的內角A,B,CB的對邊分別為a,b,c,的部分圖象大致為(若VABC的面積為,則C=)A.7.已知雙曲線一條漸近線方程為3x-2y=0,雙曲線的左焦點在直線動點，直線PA,PB的斜率分別為k?,k?,則k?+k?的取值范圍為()A.(1,+∞)B.[1,+∞]C.(3,+∞)8.若函數上有兩個零點，則實數m的取值范圍為()二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)9.在平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，側棱AA?垂直于底面ABCD,下列結論正確的是()C.若A?D=A?B,則BDI平面ACC?AD.若AD=AA?,則AD?⊥平面DA?B?C表示一次實驗結果.記事件A:“a=4”,B:“a+b>10”,C:“b<3”,D:“ab>20”,A事件B與C互斥B.事件C與D對立11.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,AB是經過拋物線焦點F的弦，M是線段AB的中點，分別下列說法正確的是()A.NF⊥ABC直線NA與NB不一定垂直三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)13.已知函數f(x)=x(x-c)2有極大值32,則實數c的值為14.若數列{a}滿足a?=a?=1,a?+am+1+an+2=(n+1)2(n∈N?)則a?0=四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(1)討論函數f(x)=kx-Inx的單調性并求極(2)證明不等式：(1)記b?=ana+,求數列{bn}的通項公式；(2)記C?=log?an-log?a+,求數列{c}前n項的和T?.17.如圖，在Rt△ABC中，BC=2AB=2,現將Rt△ABC繞直角邊AC旋轉一周得到一個圓錐，BD為底面圓的直徑，點P為圓錐的內切球0與CD的切點，E為的中點.B(1)求點P到平面BCE的距離；(2)求平面BCE與平面PAE所成夾角的余弦值.(1)求函數f?(x),f?(x)的零點個數；(2)記f(x)在(0,+)上的零點為xn,求證；19.已知圓O:x2+y2=r2,橢圓E·點P(x?,y。)為圓0上任意一點，過點P作圓0切線與橢圓E交于A,B兩點.(2)直線AB關于原點O的對稱直線與橢圓E交于C,D兩點，是否存在r,使四邊形ABCD為菱形.2025—2026學年長沙市第一中高二上學期第二次階段檢測(12月)時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) A.(-1,1)B.(C.(-1,1)【解析】【詳解】集合A={x|x?+x-<2.若復數z滿足(1+2i)z=10i,則z的虛部為()A.4B.2i【解析】【詳解】由(1+2i)z=10i,則則z的虛部為2.A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-1【解析】【詳解】曲線y=x+lnx,所以,在點(14.已知數列{a?}是等比數列，數列{b?}是等差數列，若aa的值為()【答案】A【解析】【分析】先應用等差數列及等比數列的項的性質結合已知得出a?=√3,求解.,再結合特殊角的余弦計算C【詳解】因為數列{a}是等比數列，數列{b?}是等差數列，且C則【答案】C【解析】所以a2+b2-c2=2absinC故選C.【解析】【詳解】由f(x)=e-cosx,則f'(x)=e?+sinx,排除除選項BA.(1,+∞)B.[1,+C.(3,+∞)【解析】答案.代入可得-c+0+√13=0,解得c=√13,且a2+b2=c2,【解析】【分析】令g(x)=x2-2lnx,判斷g(x)的單調性和極值，根據g(x)=m有兩解得出m的范圍.【詳解】令f(x)=m-x2+2lnx=0,則m=x2-2lnx,令g(x)=x2-2lnx,,,則實數m的取值范圍二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)9.在平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，側棱AA?垂直于底面ABCD,下列結論正確的是()A.若AB=AD,則AC⊥BD?C.若A?D=A?B,則BDI平面ACC?A?D.若AD=AA?,則AD?⊥平面DA?B?C【答案】AC【解析】【分析】根據線面垂直的判定定理與性質定理依次對選項進行判斷即可.【詳解】對于選項A,AA?⊥平面ABCD,且AA?//BB?,所以BB?⊥平面ABCD,又因為ACc平面BD∩BB?=B,BD,BB?c平面DBB?D?,則AC⊥平面DBB?D?,對于選項C,設AC與BD交于點0,由A?D=A?B,0為BD中點，得A?O⊥BD,因為AA⊥平面ABCD,因為BDc平面ABCD,所以A?A⊥BD,因為AA?∩A?O=A?,AA?,A?Oc平面ACC?A?,對于選項D,因為AD=AA?,所以四邊形ADD?A為正方形，所以AD?⊥A?D,而AD?與A?B?不一定表示一次實驗結果.記事件A:“a=4”,B:“a+b>10”,C:“b<3”,D:“ab>20”,C.事件B發(fā)生的概率為D.事件A與D相互獨立【解析】【分析】列舉出事件A、B、C、D所包含的基本事件，利用互斥事件的定義判斷A;利用對立事件的定義判斷B;應用古典概型計算判斷C,利用獨立事件的定義判斷D.對于B,CnD=,即事件C與D互斥，而事件C與D可以同時不發(fā)生，對于C,事件B包含的基本事件有：(5,6),(6,6),(6,5),共3個基本事件，對于D,事件A包含6個基本事件，故;事件D包含6個基本事件，故事件AD包含的基本事件為(4,6),共1個，古因為(AD),所以事件A與D相互獨立，D正確.11.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,AB是經過拋物線焦點F的弦，M是線段AB的中點，分別經過點A,B,M作拋物線的準線I的垂線AC,BD,MN,垂足分別是C,D,N,連接NF,NB,NA,則下列說法正確的是()A.NF⊥ABB.直線NA,NB均與拋物線相切C.直線NA與NB不一定垂直【解析】【分析】由向量積為零判斷A,由切線方程代入驗證點在切線上判斷B,由切線斜率乘積恒為-1判斷C,由通徑情形取最小值并結合函數單調性判斷D.【詳解】如圖所示，設焦點,準線l,設過F由拋物線過焦點弦的性質得y?y?=-p2,M為ABB選項，拋物線y2=2px在點處的切線方程是：yy?=p(x+xA)所以拋物線在點A的切線斜率為直線NA的斜率：,由已知Y?V?=-p2得p2=-Y1y?,代入分母：y2+p2=y2-yY?=y(y?-y?)(Y?≠同理可證NB是拋物線在點B的切線，B正確.C選項，由B知，代入y?y?=-p2得kNA·所以NA⊥NB恒成立，C錯誤.D選項，由選項A和C可知：NF◆AB且NA◆NB,在直角三角形ANB中，有|NA|.·|NB|=|AB|·|NF|,設AB的傾斜角為θ,由拋物線焦點弦性質：,三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)【答案】2【解析】【分析】根據向量垂直得出數量積為0,再應用模長公式及性質計算求解.所以m2-4=0,所以m=2.故答案為：2.13.已知函數f(x)=x(x-c)2有極大值32,則實數c的值為【答案】6【解析】【分析】對函數求導，令導數為0,求出極值點，分情況討論函數的單調性，得出相應的極值點并結合已知極大值計算求解.【詳解】∵f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,求導得f(x)=3x2-4cx+c2=(3x-c)(x-c),上f(x)<0,上f(x)<0,【解析】所以a?0=(a?0-a??)+(a?-a?)+=(2×17+3)+(2×14+3)+…+(故答案為：133.四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(1)討論函數f(x)=kx-lnx的單調性并求極值，【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析；【解析】【詳解】(1)函數f(x)=kx-lnx,定義域為(0,+∞),所以(2)設函數,定義域為(0,+o),所以g(x)≥0,所以16.已知數列{a}的前n項和為S,且(n∈N,n≥2),a?(1)記b?=ana+,求數列{bn}的通項公式；(2)記C?=log?an-log?a+,求數列{c}前n項的和T?.【解析】式bn;(2)利用對數公式可得Cn=log?an-log?,再利用(1)中bn的通項公式，即可得到Cn的【小問1詳解】當n≥2(n∈N*)時，S?-S?1=a,又因為,所以,化簡得：因為b=aan+1,所以bn-bn-1=2,所以b,為等差數列，且公差為2,【小問2詳解】由(1)得：bn=anan+1=2n,bn+1=an+1an+2=2(n+1);,所一個圓錐，BD為底面圓的直徑，點P為圓錐的內切球O與CD的切點，E為的中點.(2)求平面BCE與平面PAE所成夾角的余弦值.【答案】(1)【解析】【分析】(1)由題中幾何條件，得出P是CD中點，再建立空間直角坐標系，分別求出PB和平面BCE的一個法向量，最后應用點到平面距離公式計算求解；(2)建立空間直角坐標系，分別求出平面BCE與平面PAE的一個法向量，再利用空間向量求出面面角，從而可求解.【小問1詳解】∵球O是圓錐的內切球，∴DP=DA,∵BD為底面圓的直徑，又因為BC=2,BA=1,所以△BCD是等邊三角形，以點A為原點，AE,AB,AC所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設平面BCE的一個法向量為m=(x,y,z),設點P到平面BCE的距離為d,【小問2詳解】因為設平面PAE的一個法向量為n=(a,b,c),設平面BCE與平面PAE所成夾角為θ平面BCE與平面PAE所成夾角的余弦值為.(1)求函數f?(x),f?(x)的零點個數；(2)記f(x)在(0,+)上的零點為xn,求證；【答案】(1)f?(x)有1個零點，f?(x)有2個零點；(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用導數研究函數f?(x),f?(x),結合零點的存在性定理可求解零點；(2)(i)易知x?=1,當n≥2時可得fn+(x)>f+(xa+1),利用f,(x)的單調性解不等式可得xn+1<xn,即可證明；(ii)由(i),求和可得,求和計算即可證明.【小問1詳解】所以函數f?(x)在R上單調遞增，又f?(0)=-1<0,f?(1)=2>0,設h(x)=4x3+3x2+2x+1,則h'(x)=12x2+6x+2>0,函數f4(x)在R上單調遞增，f4(O)=1,f4(-1)=-2,f4(x)在(-1,0)內有1個零點，記作x?,且f?(-2)=9,f?(0)=-1,f?(1)=3,根據零點的存在性定理可f?(x)有2個零點.所以f?(x)有1個零點，f?(x)有2個零點；小問2詳解】則fn+(x)=x”+1+x“+…+x,-1=x”+1>0=f+(xn+1),故xn+1<xn,所以數列{xn}是一個遞減數列；當n≥2時，求和可得當且僅當n=1時等號成立；當n≥2時，即0<x<1,x?+x?+…+x≤n,當且僅當n=1時等號成立；19.已知圓O:x2+y2=r2,橢圓·點P(x?,y。)為圓0上任意一點，過與橢圓E交于A,B兩點.【答案】(1)(i)證明見解析；(ii)(2)存在，【解析】在時，根據弦長公式求得|AB|,再由點O到直線AB的距離d=r,求得SOAB,通過t=√2x2+1,換元，利用對勾函數單調性即得其范圍，再驗證AB斜率不存在時的情況即可；(2)假設存在r,使題設成立，結合菱形的性質可知OA⊥OB