第四章三角函數(shù)與解三角形第20節(jié)任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念考試要求考題分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年——2023年——2024年——【主干梳理基礎(chǔ)落實】【知識梳理】1.任意角定義角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形分類(1)按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角;(2)按終邊位置分為象限角和軸線角終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是{β|β=α+k·360°,k∈Z}[注意點](1)相等的角終邊一定相同,但終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有無數(shù)個,它們之間相差360°的整數(shù)倍.(2)終邊在一條直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍;終邊在互相垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.2.弧度制1弧度的角長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,記作1rad弧度數(shù)公式|α|=lr(弧長用l表示,半徑長用r表示角度與弧度的換算1°=π180rad≈0.1rad=(180π)°≈57.30°=57°18弧長公式弧長l=|α|r[注意點](1)角度與弧度換算的關(guān)鍵是πrad=180°,在同一個式子中,采用的度量制必須一致,不可混用.(2)利用弧長和扇形面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度制.3.任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)的定義:設(shè)P(x,y)是角α終邊上異于原點的任意一點,其到原點O的距離為r,則sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx(x(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號,如圖:【常用結(jié)論】1.象限角的集合2.軸線角的集合【知能自測】類型回源教材澄清盲點結(jié)論應(yīng)用題號1,4321.(必修第一冊P180例3變式)若sinθ<0且tanθ<0,則角θ所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.若sinθ<0,則角θ在第三或第四象限或在y軸負(fù)半軸上.若tanθ<0,則角θ在第二或第四象限,所以當(dāng)sinθ<0且tanθ<0時,角θ在第四象限.2.(多選題)下列命題正確的是()A.終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α|α=2kπ,k∈Z}B.終邊落在y軸上的角的集合為{α|α=90°+kπ,k∈Z}C.第三象限角的集合為{α|π+2kπ≤α≤3π2+2kπ,k∈ZD.在-720°~0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為-675°和-315°【解析】選AD.A項顯然正確;B中,終邊落在y軸上的角的集合為{α|α=π2+kπ,k∈Z},角度與弧度不能混用,故該選項不符合題意C中,第三象限角的集合為{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z},故該選項不符合題意D中,所有與45°角終邊相同的角可表示為β=45°+k·360°,k∈Z,令-720°≤45°+k·360°<0°(k∈Z),解得-178≤k<-18(k∈從而當(dāng)k=-2時,β=-675°;當(dāng)k=-1時,β=-315°,故該選項符合題意.3.設(shè)集合M=x|x=k2·180°+45A.M=N B.M?NC.N?M D.M∩N=?【解析】選B.由于M中,x=(2k+1)·45°,k∈Z,2k+1是奇數(shù);而N中,x=(k+1)·45°,k∈Z,k+1是整數(shù),因此必有M?N.4.(必修第一冊P175練習(xí)T6變式)在單位圓中,200°的圓心角所對的弧長為________.

【解析】單位圓的半徑r=1,200°的弧度數(shù)是200×π180=10π9,由弧長公式得l=答案:10π【考點探究核心突破】考點一象限角與終邊相同的角【例1】(1)若α是第二象限角,則()A.-α是第一象限角B.α2C.3π2+αD.2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上【解析】選D.由α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z對于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此時-α位于第三象限,所以A錯誤對于B,可得π4+kπ<α2<π2+kπ,k當(dāng)k為偶數(shù)時,α2位于第一象限;當(dāng)k為奇數(shù)時,α2位于第三象限,所以B對于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以對于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上,所以D正確.(2)終邊在直線y=3x上,且在[-2π,2π)內(nèi)的角α的集合為___________________.

【解析】在坐標(biāo)系中畫出直線y=3x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角為π3,在[0,2π)內(nèi),終邊在直線y=3x上的角有π3和在[-2π,0)內(nèi)滿足條件的角有-23π和-5故滿足條件的角α的集合為{-53π,-23π,π3,4答案:-【思維升華】確定kα,αk(k∈N*)先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出kα或αk的范圍,然后根據(jù)k的可能取值討論,確定kα或αk【對點訓(xùn)練】1.集合α|kπ+π4≤α≤【解析】選C.當(dāng)k=2n(n∈Z)時,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,此時α表示的范圍與π4≤α≤π2表示的范圍一樣;當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,此時α表示的范圍與π+π2.(多選題)已知角2α的終邊在x軸的上方,那么角α可能是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】選AC.因為角2α的終邊在x軸的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,則有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z,故當(dāng)k=2n,n∈Z時,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α為第一象限角;當(dāng)k=2n+1,n∈Z時,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α為第三象限角.微進(jìn)階θ/2終邊所在位置若θ分別為第一、二、三、四象限角,則θ2的終邊分別落在區(qū)域一、二、三、四內(nèi),如圖所示[典例]已知θ為第三象限角,且sinθ2=-sinθ2,則角θA.第一或第三象限 B.第二或第四象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因為θ為第三象限角,所以θ2為第二或第四象限角.又sinθ2=-sinθ2,所以sinθ考點二弧度制及其應(yīng)用【例2】(1)已知扇形的周長為9,半徑為3,則扇形的面積為()A.3 B.1 C.92 D.【解析】選C.設(shè)扇形的弧長為l,半徑為r,圓心角為α,則l+2r=3α+6=9,解得α=1,因此扇形的面積為12αr2=9(2)已知扇形OAB的面積為1cm2,它的周長是4cm,則扇形OAB的圓心角∠AOB的弧度數(shù)為________.

【解析】設(shè)該扇形的圓心角為α,半徑為r,弧長為l,依題意得12lr=1,l+2r=4,解得r=1,l=2答案:2(3)已知半徑為3的扇形OAB的弦長AB=32,則該扇形的弧長是________.

【解析】在△ABO中,AB2=OA2+OB2=18,故∠AOB=π2,故弧長l=π2×3=答案:3π【思維升華】應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形.【對點訓(xùn)練】已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長為l.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧長l;(2)已知扇形的周長為10cm,面積是4cm2,求扇形的圓心角;(3)若扇形的周長為20cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時,這個扇形的面積最大?【解析】(1)因為α=60°=π3rad,所以l=αR=π3×10=10π(2)由題意得2R+Rα=10,12αR2=4(3)由已知得l+2R=20,所以S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以當(dāng)R=5時,S取得最大值25,此時l=10,α【加練備選】(2024·貴港模擬)圖①是第19屆杭州亞運會會徽,名為“潮涌”,象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.圖②是會徽的幾何圖形,設(shè)弧AD的長度是l1,弧BC的長度是l2,扇環(huán)ABCD的面積為S1,扇形BOC的面積為S2.若l1l2=3,則S1A.3 B.4 C.6 D.8【解析】選D.因為l1l2=3,所以|OA||OB|=3.又因為S扇形AOD=12l1·|OA|,S所以S扇形AODS扇形BOC=l1·|OA|考點三三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用角度1利用三角函數(shù)的定義求值【例3】(1)已知角α的終邊在直線y=-3x上,則10sinα+3cosα的值為(A.-610 B.610 C.0 D.-310【解析】選C.由題知,cosα≠0,設(shè)角α的終邊上一點為(a,-3a)(a≠0),則r=10|a|.當(dāng)a>0時,r=10a,sinα=-31010,cosα=1010,所以10sinα+3cosα=-310+310=0.當(dāng)a<0時,r=-10a,sinα=31010,cosα=-1010,所以10sinα(2)已知角α的終邊過點P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,則m的值為(A.-12 B.-32 C.12【解析】選C.由題意得點P(-8m,-3),r=64m2+9,所以cosα=-8m64m2+9=-45,解得m=±12.又cosα=-45<0,所以【思維升華】定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角α終邊上一點P的坐標(biāo),可求角α的三角函數(shù)值.先求P到原點的距離,再用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角α的某三角函數(shù)值,可求角α終邊上一點P的坐標(biāo)中的參數(shù)值,再根據(jù)定義中的兩個量,列方程求解.角度2三角函數(shù)值符號的判斷【例4】(1)點P(sin100°,cos100°)落在()A.第一象限內(nèi) B.第二象限內(nèi)C.第三象限內(nèi) D.第四象限內(nèi)【解析】選D.因為sin100°=sin(90°+10°)=cos10°>0,cos100°=cos(90°+10°)=-sin10°<0,所以點P(sin100°,cos100°)落在第四象限內(nèi).(2)(多選題)若α是第二象限角,則下列不等式正確的是()A.cos(-α)>0 B.tanα2C.sin2α<0 D.sin(-α)>0【解析】選BC.因為π2+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以-π-2kπ<-α<-π2-2kπ(k∈Z),所以-α是第三象限角,所以sin(-α)<0,cos(-α)<0,故A,D不正確;因為π2+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以π4+kπ<α2<π2+kπ(k∈Z),當(dāng)k=2n(n∈Z)時,π4+2nπ<α2<π2+2nπ(n∈Z),此時α2是第一象限角,當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時,5π4+2nπ<α2<3π2+2nπ(n∈Z),此時α2是第三象限角,所以α2是第一或第三象限角,所以tanα2>0,故B正確;因為π2+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以π+4kπ<2α<2π+4k【思維升華】三角函數(shù)值符號的判斷方法要判定三角函數(shù)值的符號,關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角,再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定函數(shù)值的符號.如果角不能確定所在象限,那就要進(jìn)行分類討論求解.【對點訓(xùn)練】1.已知角θ的終邊經(jīng)過點(2a+1,a-2),且cosθ=35,則實數(shù)a的值是_