初中數(shù)學(xué)圓中與最值有關(guān)的壓軸題在初中數(shù)學(xué)的知識體系中，圓因其獨(dú)特的對稱性和豐富的性質(zhì)，常常成為中考壓軸題的命題熱點(diǎn)。而當(dāng)圓與最值問題相結(jié)合時，題目便具備了更強(qiáng)的綜合性和挑戰(zhàn)性，既考查學(xué)生對圓的基本概念、定理的掌握程度，也檢驗其動態(tài)思維、轉(zhuǎn)化思想及綜合運(yùn)用知識解決問題的能力。本文將從不同類型的圓中最值問題入手，通過典型例題的剖析，提煉解題策略，助力同學(xué)們突破這一難點(diǎn)。一、基于“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”的距離最值——“一箭穿心”模型的應(yīng)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解決圓中距離最值問題的基石。我們知道，平面上一定點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的距離中，最大值為該點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為該點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差（當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時，最小值為半徑與該點(diǎn)到圓心距離之差）。這一原理，形象地可稱為“一箭穿心”，即最值點(diǎn)在定點(diǎn)與圓心的連線上。核心依據(jù)：*設(shè)圓O的半徑為r，平面內(nèi)一定點(diǎn)為P，則：*當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，P到圓上點(diǎn)的最大距離為PO+r，最小距離為PO-r。*當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時，P到圓上點(diǎn)的最大距離為PO+r，最小距離為r-PO。*當(dāng)點(diǎn)P在圓上時，最大距離與最小距離相等，均為2r（直徑）。例題解析：例1：已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，且OP=8，點(diǎn)A是⊙O上一動點(diǎn)，則PA的最大值為_______，最小值為_______。分析與解答：因為點(diǎn)P在⊙O外，根據(jù)上述“一箭穿心”原理，PA的最大值為PO+OA=8+5=13，最小值為PO-OA=8-5=3。故答案為13，3。例2：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓。(1)當(dāng)r為何值時，⊙C與AB相切？(2)在(1)的條件下，⊙C上一動點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離的最小值是多少？分析與解答：(1)要求⊙C與AB相切時的半徑r，即求點(diǎn)C到直線AB的距離。在Rt△ABC中，AB=√(AC2+BC2)=√(62+82)=10。設(shè)斜邊上的高為h，則有(AC×BC)/2=(AB×h)/2，即(6×8)/2=(10×h)/2，解得h=4.8。所以當(dāng)r=4.8時，⊙C與AB相切。(2)由(1)知⊙C半徑r=4.8。點(diǎn)A在⊙C外（因為AC=6>r=4.8）。根據(jù)“一箭穿心”模型，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離最小值為AC-r=6-4.8=1.2。解題策略提煉：解決此類問題，首先要明確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（圓內(nèi)、圓上、圓外），然后準(zhǔn)確找到定點(diǎn)與圓心的連線，該連線與圓的兩個交點(diǎn)即為距離取得最值的點(diǎn)。關(guān)鍵在于計算定點(diǎn)到圓心的距離以及圓的半徑。二、與圓相關(guān)的線段長度最值——動態(tài)思維與幾何性質(zhì)的結(jié)合除了定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值，圓中還常出現(xiàn)與弦長、切線長等相關(guān)的線段長度最值問題。這類問題往往需要結(jié)合圓的垂徑定理、切線的性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)等知識進(jìn)行綜合分析。典型類型1：動弦的長度最值在同圓或等圓中，弦心距越大，弦長越短；弦心距越小，弦長越長。當(dāng)弦心距為零時，弦長最大，即為直徑。例題：已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一定點(diǎn)，且OP=3，過點(diǎn)P的弦AB長度的最大值為_______，最小值為_______。分析與解答：過點(diǎn)P的弦AB，當(dāng)AB經(jīng)過圓心O時，此時弦心距為0（最小），弦長AB最大，最大值為直徑，即10。當(dāng)AB垂直于OP時，此時弦心距最大（等于OP=3），弦長AB最小。根據(jù)垂徑定理和勾股定理，AB=2√(OA2-OP2)=2√(52-32)=2√16=8。故答案為10，8。典型類型2：切線長的最值從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等。切線長的計算公式為l=√(d2-r2)，其中d為圓心到圓外一點(diǎn)的距離，r為圓的半徑。因此，切線長l隨d的變化而變化，d越大，l越大；d越小，l越小。例題：如圖，已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)，OA=4。點(diǎn)P是⊙O上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O的切線AQ，Q為切點(diǎn)。求切線長AQ的最小值。分析與解答：由切線長公式AQ=√(OA2-OQ2)=√(OA2-r2)=√(OA2-4)。因為點(diǎn)A是⊙O外一定點(diǎn)，OA=4是固定值，所以切線長AQ=√(42-22)=√12=2√3。咦？這里OA是固定的，那AQ不就是固定的嗎？哦，題目中說“點(diǎn)P是⊙O上一動點(diǎn)”，但切線是AQ，Q是切點(diǎn)。如果題目是“過點(diǎn)A作⊙O的切線”，那么切線長是固定的?；蛟S題目想表達(dá)的是“點(diǎn)P是直線OA上的動點(diǎn)（在⊙O外）”？如果是這樣，設(shè)OP=x(x>2)，則OA=|x-4|或x+4（取決于P的位置），但原題描述可能存在筆誤。按原題“點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)，OA=4”，則切線長AQ是固定的√(OA2-r2)=√(16-4)=√12=2√3。若將題目改為“點(diǎn)P是直線l上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PQ，Q為切點(diǎn)，求切線長PQ的最小值”，則此時PQ=√(OP2-r2)，當(dāng)OP最小時，PQ最小，即OP為點(diǎn)O到直線l的距離時，PQ最小。這才是動態(tài)切線長最值的常見考法。解題策略提煉：對于動弦長最值，抓住“弦心距”這個關(guān)鍵量，利用垂徑定理和勾股定理建立關(guān)系。對于切線長最值，若點(diǎn)是動點(diǎn)，則轉(zhuǎn)化為求該動點(diǎn)到圓心距離的最值，再利用切線長公式求解。三、與圓相關(guān)的三角形面積或周長最值——轉(zhuǎn)化與函數(shù)思想的滲透在圓的背景下，求某個動態(tài)三角形的面積或周長的最值，通常需要將其表示為某個變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)（如二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)）或幾何圖形的性質(zhì)求出最值。例題：如圖，已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B在⊙O上，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上一動點(diǎn)（不與A、B重合）。(1)求△ABC面積的最大值；(2)求△ABC周長的最大值。分析與解答：(1)因為OA=OB=2，∠AOB=90°，所以AB=√(OA2+OB2)=√(22+22)=2√2，且△AOB是等腰直角三角形?！鰽BC的面積=(1/2)×AB×h，其中h是點(diǎn)C到直線AB的距離。要使△ABC面積最大，只需h最大。因為點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動，所以點(diǎn)C到AB距離的最大值為弦心距加上半徑（當(dāng)點(diǎn)C在AB的優(yōu)弧中點(diǎn)，且與圓心O在AB同側(cè)時）。先求AB的弦心距OD（D為AB中點(diǎn)）。在等腰直角△AOB中，OD=(1/2)AB=√2（或OD=OA×sin45°=2×√2/2=√2）。所以點(diǎn)C到AB的最大距離h_max=OD+r=√2+2。因此，△ABC面積的最大值為(1/2)×2√2×(√2+2)=√2(√2+2)=2+2√2。(2)求△ABC周長的最大值，即AC+BC+AB的最大值。因為AB是定值2√2，所以只需求AC+BC的最大值。設(shè)∠AOC=α，∠BOC=β，因為∠AOB=90°，點(diǎn)C在弧AB上，所以α+β=90°（若C在優(yōu)弧AB上，則α+β=270°，但此時AC+BC可能不是最大，需要驗證）。由余弦定理，AC=√(OA2+OC2-2×OA×OC×cosα)=√(4+4-8cosα)=√(8(1-cosα))=4sin(α/2)。同理，BC=4sin(β/2)。所以AC+BC=4[sin(α/2)+sin(β/2)]。因為α+β=90°，設(shè)α/2=θ，則β/2=45°-θ。AC+BC=4[sinθ+sin(45°-θ)]=4[sinθ+sin45°cosθ-cos45°sinθ]=4[(1-√2/2)sinθ+(√2/2)cosθ]。這是一個關(guān)于θ的正弦型函數(shù)，其最大值為4×√[(1-√2/2)2+(√2/2)2]=4×√[1-√2+(1/2)+(1/2)]=4×√(2-√2)。這個計算似乎復(fù)雜了。換個思路，在圓中，對于定弦AB，優(yōu)弧上的點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之和，是否在C為優(yōu)弧中點(diǎn)時最大？當(dāng)C為優(yōu)弧AB中點(diǎn)時，AC=BC。此時∠AOC=∠BOC=(360°-90°)/2=135°。AC=√(OA2+OC2-2×OA×OC×cos135°)=√(4+4-8×(-√2/2))=√(8+4√2)=√[(√2+2)2]=√2+2。所以AC+BC=2(√2+2)=2√2+4。此時△ABC周長為AB+AC+BC=2√2+2√2+4=4√2+4。若C在劣弧AB上，AC+BC顯然小于此值。故周長最大值為4√2+4。解題策略提煉：對于與圓相關(guān)的三角形面積最值，常轉(zhuǎn)化為求三角形的高或底的最值。對于周長最值，若有定邊，則轉(zhuǎn)化為求另兩邊和或差的最值，可利用圓的性質(zhì)、余弦定理或構(gòu)造輔助圓（如阿波羅尼斯圓，但初中階段不常見）來解決。有時，特殊位置（如中點(diǎn)）是取得最值的關(guān)鍵點(diǎn)。四、圓中最值問題的綜合應(yīng)用——“將軍飲馬”模型的融入“將軍飲馬”問題是幾何最值中的經(jīng)典模型，其核心思想是利用軸對稱轉(zhuǎn)化線段，進(jìn)而利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“三角形三邊關(guān)系”求最值。當(dāng)這類模型與圓結(jié)合時，題目會更具靈活性。例題：如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B在⊙O上，且∠AOB=120°。點(diǎn)P是⊙O上一動點(diǎn)，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N是OB的中點(diǎn)。求PM+PN的最小值。分析與解答：點(diǎn)M、N是定點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O上的動點(diǎn)，求PM+PN的最小值，這符合“將軍飲馬”模型的特征。常規(guī)“將軍飲馬”是在直線上找動點(diǎn)，這里動點(diǎn)P在圓上。我們可以嘗試作定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在軌跡（即圓）的對稱點(diǎn)嗎？或者，在圓上尋找一點(diǎn)P，使得PM+PN最小。連接AB，在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=120°，AB=√(12+12-2×1×1×cos120°)=√(1+1+1)=√3。M、N分別是OA、OB的中點(diǎn)，所以O(shè)M=ON=0.5，MN是△AOB的中位線，MN=AB/2=√3/2。在△PMN中，PM+PN≥MN=√3/2，但等號成立的條件是P、M、N三點(diǎn)共線，且P在M、N之間。但此時點(diǎn)P是否在⊙O上呢？MN=√3/2≈0.866，OM=ON=0.5，∠MON=120°，可以計算圓心O到MN的距離。若P在MN上，OP的長度是否等于半徑1？取MN中點(diǎn)Q，則OQ平分∠MON，∠MOQ=60°。MQ=MN/2=√3/4。在Rt△OMQ中，OQ=OM×cos60°=0.5×0.5=0.25，MQ=OM×sin60°=0.5×√3/2=√3/4，與上述一致。MN到O的距離為0.25，MN的長度為√3/2≈0.866。則以O(shè)為圓心，半徑1的圓與直線MN一定相交，交點(diǎn)到M、N的距離之和即為MN的長度√3/2。但此時P點(diǎn)在MN線段上，OP的長度可計算：OQ=0.25，QP=√(OP2-OQ2)=√(1-0.0625)=√0.9375≈0.968>MQ≈0.433，所以點(diǎn)P不在M、N之間，故PM+PN=|PM-PN|或PM+PN>MN。因此，之前的思路有誤。正確的做法：作點(diǎn)M關(guān)于⊙O的對稱點(diǎn)M'？或者，在圓上取點(diǎn)P，利用三角形兩邊之和大于第三邊。另一種思路：因為點(diǎn)P在⊙O上，所以PM可以看作是點(diǎn)P到定點(diǎn)M的距離。我們可以連接OM、ON、OP。PM=√(OP2+OM2-2×OP×OM×cos∠POM)=√(1+0.25-2×1×0.5×cos∠POM)=√(1.25-cos∠POM)。同理，PN=√(1.25-cos∠PON)。設(shè)∠POM=α，則∠PON=∠AOB-∠POM=120°-α（假設(shè)P在∠AOB內(nèi)部的弧上）。所以PM+PN=√(1.25-cosα)+√(1.25-cos(120°-α))。要求這個表達(dá)式的最小值，對于初中生來說，直接求導(dǎo)不現(xiàn)實。我們可以嘗試特殊位置。當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，PM=AM=OA-OM=1-0.5=0.5，PN=AN。在△AON中，OA=1，ON=0.5，∠AON=120°，AN=√(1+0.25-2×1×0.