教學(xué)案例：線段垂直平分線探究教學(xué)一、案例背景“線段的垂直平分線”是初中幾何的重要內(nèi)容，它既是對(duì)軸對(duì)稱知識(shí)的深化，也是后續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形、圓等內(nèi)容的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)教學(xué)多以教師講授、演示為主，學(xué)生被動(dòng)接受，對(duì)性質(zhì)的理解往往停留在表面。本案例嘗試采用探究式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手操作、觀察思考、合作交流等方式，自主發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，培養(yǎng)其幾何直觀、推理能力及探究精神。二、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能1.理解線段垂直平分線的概念，能準(zhǔn)確描述其定義。2.探索并掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理（判定定理）。3.能運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)與判定解決簡單的幾何問題。（二）過程與方法1.經(jīng)歷線段垂直平分線性質(zhì)的探究過程，體會(huì)從直觀感知到理性證明的認(rèn)知過程。2.在動(dòng)手操作、合作探究中，提升觀察、分析、歸納及邏輯推理能力。3.初步學(xué)會(huì)運(yùn)用幾何語言表達(dá)思考過程和結(jié)果。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過主動(dòng)參與探究活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的確定性，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2.在解決問題的過程中體驗(yàn)成功的喜悅，培養(yǎng)合作意識(shí)和創(chuàng)新精神。3.體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。三、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的探究與應(yīng)用。難點(diǎn)：線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的理解和證明；性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用。四、教學(xué)準(zhǔn)備教師：多媒體課件、幾何畫板軟件、等腰三角形紙片（學(xué)生每人一張）、直尺、圓規(guī)、剪刀。學(xué)生：預(yù)習(xí)課本相關(guān)內(nèi)容，準(zhǔn)備直尺、圓規(guī)、練習(xí)本、鉛筆。五、教學(xué)過程（一）情境創(chuàng)設(shè)，引入新課師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形。大家請(qǐng)看老師手中的這個(gè)等腰三角形紙片（展示等腰三角形），它是軸對(duì)稱圖形嗎？生：是！師：它的對(duì)稱軸是什么呢？誰能上來幫老師折一折，找出來？（學(xué)生上臺(tái)演示，將等腰三角形對(duì)折，使兩腰重合。）師：很好。這條折痕我們很熟悉，它既是頂角的平分線，也是底邊上的高。今天，我們來研究這條折痕的另一個(gè)重要身份。我們知道，這條折痕垂直于底邊，并且把底邊分成了相等的兩部分。像這樣，垂直于一條線段并且平分這條線段的直線，我們給它一個(gè)專門的名稱，叫做——線段的垂直平分線。（板書課題：線段的垂直平分線）設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生已有的軸對(duì)稱知識(shí)和等腰三角形入手，自然引出線段垂直平分線的概念，讓學(xué)生初步感知其存在和特征，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。（二）動(dòng)手操作，探究性質(zhì)師：我們已經(jīng)知道了什么是線段的垂直平分線。那么，線段的垂直平分線上的點(diǎn)，有什么特殊的性質(zhì)呢？請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的白紙，我們一起來做個(gè)實(shí)驗(yàn)。（引導(dǎo)學(xué)生按步驟操作）1.畫線段：在白紙上畫一條線段AB。2.作垂直平分線：用折紙的方法（或尺規(guī)作圖）作出線段AB的垂直平分線MN，垂足為點(diǎn)O。3.取點(diǎn)測量：在MN上任取一點(diǎn)P，連接PA、PB。用刻度尺測量PA、PB的長度，記錄下來。4.再取點(diǎn)測量：在MN上再取幾個(gè)不同的點(diǎn)P1、P2、P3，分別連接它們與A、B的線段，測量長度并記錄。師：同學(xué)們，通過測量，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？PA與PB的長度有什么關(guān)系？P1A與P1B呢？（學(xué)生小組討論，交流測量結(jié)果）生1：我們組測量的PA和PB是相等的，P1A和P1B也是相等的。生2：我們?nèi)〉狞c(diǎn)離O點(diǎn)遠(yuǎn)近不同，但測量結(jié)果都是PA等于PB。師：很好！大家通過動(dòng)手操作和測量，觀察到線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離似乎是相等的。這僅僅是我們通過測量得到的猜想，要想確認(rèn)這個(gè)結(jié)論的正確性，還需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明。設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)手操作和測量，引導(dǎo)學(xué)生從直觀上感知線段垂直平分線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和觀察能力，為后續(xù)的理論證明打下基礎(chǔ)。（三）推理論證，深化理解師：如何證明“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生分析命題的題設(shè)和結(jié)論，畫出圖形，寫出已知、求證。）已知：如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足為O，點(diǎn)P在MN上。求證：PA=PB。師：要證明兩條線段相等，我們學(xué)過哪些方法？生：全等三角形！師：非常好。觀察圖形，PA和PB分別在哪個(gè)三角形中？生：△POA和△POB。師：這兩個(gè)三角形全等嗎？條件夠嗎？生：因?yàn)镸N是AB的垂直平分線，所以O(shè)A=OB，∠POA=∠POB=90°。又因?yàn)镺P是公共邊，所以根據(jù)“SAS”可以判定△POA≌△POB，所以PA=PB。（教師規(guī)范板書證明過程，并強(qiáng)調(diào)幾何語言的嚴(yán)謹(jǐn)性。）師：通過證明，我們確認(rèn)了剛才的猜想是正確的，這就是線段垂直平分線的性質(zhì)定理。（板書定理內(nèi)容）師：這個(gè)定理的條件和結(jié)論分別是什么？它有什么作用？生：條件是點(diǎn)在線段的垂直平分線上，結(jié)論是這個(gè)點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。作用是可以用來證明兩條線段相等。師：我們反過來思考一下，如果一個(gè)點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)是否一定在線段的垂直平分線上呢？這就是性質(zhì)定理的逆命題。這個(gè)逆命題成立嗎？（引導(dǎo)學(xué)生類似地畫出圖形，寫出已知、求證，并嘗試證明。）已知：如圖，點(diǎn)P是線段AB外一點(diǎn)，且PA=PB。求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。師：要證明點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，我們可以怎么思考？可以證明PO垂直平分AB嗎？（學(xué)生分組討論，嘗試證明。教師巡視指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生作輔助線：過點(diǎn)P作PO⊥AB于點(diǎn)O，或取AB中點(diǎn)O，連接PO。）生1：過點(diǎn)P作PO⊥AB于點(diǎn)O，則∠POA=∠POB=90°。在Rt△POA和Rt△POB中，PA=PB，PO=PO，所以Rt△POA≌Rt△POB（HL），所以O(shè)A=OB。所以PO是AB的垂直平分線，即點(diǎn)P在AB的垂直平分線上。生2：取AB的中點(diǎn)O，連接PO。因?yàn)镺A=OB，PA=PB，PO=PO，所以△POA≌△POB（SSS），所以∠POA=∠POB。又因?yàn)椤螾OA+∠POB=180°，所以∠POA=∠POB=90°，即PO⊥AB。所以PO是AB的垂直平分線，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上。師：同學(xué)們的證明都非常精彩！兩種方法都可以證明這個(gè)逆命題是成立的。這就是線段垂直平分線的判定定理。（板書定理內(nèi)容：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。）師：現(xiàn)在我們有了兩個(gè)定理，它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？（引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比性質(zhì)定理和判定定理的條件與結(jié)論，明確它們的互逆關(guān)系。）設(shè)計(jì)意圖：通過嚴(yán)格的邏輯推理證明性質(zhì)定理及其逆定理，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和演繹推理能力，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。同時(shí)，通過對(duì)比分析，幫助學(xué)生理清兩個(gè)定理的聯(lián)系與區(qū)別，加深理解。（四）應(yīng)用拓展，鞏固新知師：我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，現(xiàn)在就來運(yùn)用它們解決一些問題。例題1：如圖，在△ABC中，AB=AC，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E。若AC=6cm，BC=4cm，求△BCD的周長。（教師引導(dǎo)學(xué)生分析：要求△BCD的周長，即BC+CD+BD。已知BC=4cm，AC=6cm=AB。DE是AB的垂直平分線，根據(jù)性質(zhì)定理，AD=BD。所以CD+BD=CD+AD=AC=6cm。因此，△BCD的周長=BC+(CD+BD)=4+6=10cm。）練習(xí)：1.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使PA=PB。（尺規(guī)作圖）2.已知：如圖，△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P。求證：PA=PB=PC。（學(xué)生獨(dú)立完成或小組合作完成，教師巡視指導(dǎo)，對(duì)典型錯(cuò)誤進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。）師：通過練習(xí)我們發(fā)現(xiàn)，三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。這個(gè)點(diǎn)就是三角形的外心。（簡要介紹，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊）設(shè)計(jì)意圖：通過例題和練習(xí)，鞏固學(xué)生對(duì)線段垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理的理解與應(yīng)用，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。尺規(guī)作圖的練習(xí)也培養(yǎng)了學(xué)生的作圖技能。（五）總結(jié)反思，形成結(jié)構(gòu)師：今天我們一起探究了線段的垂直平分線，大家有哪些收獲？（學(xué)生自由發(fā)言，教師引導(dǎo)總結(jié)）1.知識(shí)上：我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的概念、性質(zhì)定理和判定定理。2.方法上：我們經(jīng)歷了“觀察——猜想——驗(yàn)證——證明——應(yīng)用”的探究過程，體會(huì)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想。3.能力上：通過動(dòng)手操作和合作交流，提升了我們的動(dòng)手能力和合作探究能力。師：線段垂直平分線的性質(zhì)和判定在今后的幾何學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，希望大家能夠靈活掌握，學(xué)以致用。設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，回顧探究過程，總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，形成知識(shí)體系，提升學(xué)習(xí)能力。六、教學(xué)反思本節(jié)課圍繞線段垂直平分線的性質(zhì)與判定展開，通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣，動(dòng)手操作感知性質(zhì)，推理論證確認(rèn)猜想，應(yīng)用拓展鞏固新知，總結(jié)反思提升認(rèn)識(shí)等環(huán)節(jié)，力求體現(xiàn)探究式教學(xué)的理念。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生參與動(dòng)手操作和探究的積極性較高，能夠通過測量發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的猜想。在證明環(huán)節(jié)，部分學(xué)生對(duì)于輔助線的添加還存在困難，需要教師更耐心的引導(dǎo)和啟發(fā)。對(duì)于性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)分和靈活應(yīng)