大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)題前言大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，通常涵蓋高等數(shù)學(xué)（微積分）與線性代數(shù)兩門核心課程，是理工科各專業(yè)后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基石，其思想方法與邏輯訓(xùn)練亦對(duì)個(gè)人思維能力的培養(yǎng)大有裨益。本講義旨在為同學(xué)們提供一份系統(tǒng)的復(fù)習(xí)綱要與配套練習(xí)，幫助大家梳理核心知識(shí)點(diǎn)，鞏固基本技能，查漏補(bǔ)缺，為后續(xù)課程學(xué)習(xí)或深造打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。復(fù)習(xí)時(shí)，建議結(jié)合教材與課堂筆記，注重概念的理解與方法的應(yīng)用，而非簡單記憶。第一部分：高等數(shù)學(xué)（微積分）復(fù)習(xí)綱要一、函數(shù)、極限與連續(xù)性（一）函數(shù)1.函數(shù)的概念：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則。理解函數(shù)的兩要素。2.函數(shù)的特性：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。掌握這些特性的幾何意義及判定方法。3.基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)的定義域、值域、圖像及主要性質(zhì)。4.復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)：理解復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)分解復(fù)合函數(shù)；了解初等函數(shù)的構(gòu)成。（二）極限1.數(shù)列極限的定義：（ε-N語言），理解其幾何意義。2.函數(shù)極限的定義：（ε-δ語言，ε-X語言），包括自變量趨于有限值和無窮大時(shí)函數(shù)的極限，理解其幾何意義。3.極限的性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性。4.極限的運(yùn)算法則：四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則。5.極限存在準(zhǔn)則：夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則。會(huì)用兩個(gè)重要極限：lim_{x→0}sinx/x=1，lim_{x→∞}(1+1/x)^x=e(或其變形形式)。6.無窮小量與無窮大量：定義、性質(zhì)、階的比較（高階、低階、同階、等價(jià)無窮小）。會(huì)用等價(jià)無窮小替換簡化極限計(jì)算。（三）連續(xù)性1.函數(shù)連續(xù)性的定義：在一點(diǎn)連續(xù)的定義（三種等價(jià)表述），左連續(xù)與右連續(xù)。2.間斷點(diǎn)及其分類：第一類間斷點(diǎn)（可去、跳躍），第二類間斷點(diǎn)（無窮、振蕩）。3.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性：連續(xù)函數(shù)的和差積商仍連續(xù)，復(fù)合函數(shù)連續(xù)，反函數(shù)連續(xù)；一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理（零點(diǎn)定理是其推論）。二、一元函數(shù)微分學(xué)（一）導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義，左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）與物理意義（瞬時(shí)變化率）?？蓪?dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)）。2.基本求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則：常數(shù)、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）、隱函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。3.高階導(dǎo)數(shù)：二階及二階以上導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。4.微分的定義：微分的幾何意義，可微與可導(dǎo)的關(guān)系。5.微分的運(yùn)算法則：基本初等函數(shù)的微分公式，微分的四則運(yùn)算法則，一階微分形式不變性。（二）微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.微分中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理（了解其條件和結(jié)論，幾何意義，會(huì)簡單應(yīng)用）。2.洛必達(dá)法則：用于求解“0/0”型及“∞/∞”型未定式極限，會(huì)將其他類型未定式轉(zhuǎn)化為上述兩種類型。3.函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。4.函數(shù)的極值與最值：極值的定義，極值存在的必要條件，第一充分條件與第二充分條件。會(huì)求函數(shù)的最值（注意實(shí)際應(yīng)用問題）。5.函數(shù)圖形的描繪：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn)，結(jié)合漸近線（水平、鉛直）描繪函數(shù)圖形。三、一元函數(shù)積分學(xué)（一）不定積分1.原函數(shù)與不定積分的概念：原函數(shù)的定義及存在定理，不定積分的定義、幾何意義。2.不定積分的性質(zhì)：與導(dǎo)數(shù)（微分）的互逆關(guān)系，線性性質(zhì)。3.基本積分公式：與基本求導(dǎo)公式相對(duì)應(yīng)。4.換元積分法：第一類換元法（湊微分法），第二類換元法（如三角代換、根式代換、倒代換等）。5.分部積分法：掌握“反對(duì)冪指三”的優(yōu)先順序選擇。6.有理函數(shù)的積分：（簡單）有理函數(shù)的積分方法（部分分式法），可化為有理函數(shù)的積分（如三角函數(shù)有理式、簡單無理函數(shù)的積分）。（二）定積分1.定積分的定義：（黎曼和極限），理解其幾何意義（曲邊梯形面積的代數(shù)和）。2.定積分的性質(zhì)：線性性、區(qū)間可加性、比較定理、估值定理、中值定理。3.微積分基本公式：牛頓-萊布尼茨公式，揭示定積分與不定積分的聯(lián)系。4.定積分的計(jì)算方法：換元積分法、分部積分法，注意與不定積分計(jì)算的異同。5.反常積分：無窮限反常積分、無界函數(shù)反常積分（瑕積分）的定義與計(jì)算，會(huì)判斷其斂散性。（三）定積分的應(yīng)用1.幾何應(yīng)用：求平面圖形的面積（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），求旋轉(zhuǎn)體的體積（圓盤法、殼層法），平行截面面積已知的立體體積。2.物理應(yīng)用：（簡單）變力沿直線做功，水壓力，引力（了解基本思想）。四、多元函數(shù)微積分初步（簡要回顧）（一）多元函數(shù)的基本概念1.多元函數(shù)的定義：定義域（平面區(qū)域）、值域。2.二元函數(shù)的極限與連續(xù)性：了解二重極限的定義，掌握二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3.偏導(dǎo)數(shù)與全微分：一階偏導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算，高階偏導(dǎo)數(shù)（混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性）。全微分的定義，可微的必要條件與充分條件。4.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：鏈?zhǔn)椒▌t。隱函數(shù)求導(dǎo)公式。（二）二重積分1.二重積分的定義與性質(zhì)：類似于定積分。2.二重積分的計(jì)算：在直角坐標(biāo)系下（X型、Y型區(qū)域）與極坐標(biāo)系下化為累次積分。3.二重積分的應(yīng)用：求曲頂柱體體積、平面薄片質(zhì)量（了解）。第二部分：線性代數(shù)復(fù)習(xí)綱要一、行列式1.n階行列式的定義：（逆序數(shù)定義），理解二階、三階行列式的對(duì)角線法則。2.行列式的性質(zhì)：轉(zhuǎn)置不變性，換行（列）變號(hào)，數(shù)乘，分行（列）可加性，倍加法則等。3.行列式按行（列）展開定理：余子式與代數(shù)余子式，展開公式。4.行列式的計(jì)算：利用性質(zhì)化簡，化為上（下）三角行列式；按行（列）展開降階；范德蒙德行列式。5.克萊姆法則：用于求解方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的線性方程組，注意其條件與結(jié)論。二、矩陣1.矩陣的概念：矩陣的定義，幾種特殊矩陣（零矩陣、單位矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣）。2.矩陣的運(yùn)算：*加法：定義與運(yùn)算律。*數(shù)與矩陣相乘：定義與運(yùn)算律。*矩陣與矩陣相乘：定義（條件）與運(yùn)算律（注意不滿足交換律和消去律）。*矩陣的轉(zhuǎn)置：定義與性質(zhì)。3.逆矩陣：*定義：AB=BA=E，則A可逆，B為A的逆矩陣。*性質(zhì)：可逆矩陣的逆唯一；(A^{-1})^{-1}=A；(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}；(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}；(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T。*判定：n階矩陣A可逆?|A|≠0(非奇異矩陣)?r(A)=n(滿秩矩陣)。*求法：伴隨矩陣法(A^{-1}=(1/|A|)A^*)，初等行變換法(A|E)→(E|A^{-1})。4.矩陣的初等變換與初等矩陣：*初等變換：三種行（列）初等變換。*初等矩陣：單位矩陣經(jīng)一次初等變換得到的矩陣。了解初等矩陣與初等變換的關(guān)系。*矩陣等價(jià)：矩陣A經(jīng)有限次初等變換化為矩陣B，則A與B等價(jià)。5.矩陣的秩：*定義：矩陣的最高階非零子式的階數(shù)，或行（列）向量組的秩。*性質(zhì)：初等變換不改變矩陣的秩；r(A^T)=r(A)；r(AB)≤min{r(A),r(B)}；若A可逆，則r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)。*求法：用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣，非零行的行數(shù)即為秩。三、線性方程組1.線性方程組的表示形式：一般形式，矩陣形式(Ax=b)，向量形式。2.高斯消元法：用初等行變換化增廣矩陣為行階梯形矩陣，判別解的情況。3.線性方程組解的判定定理：*非齊次線性方程組Ax=b有解?r(A)=r(A|b)。*當(dāng)r(A)=r(A|b)=n(未知數(shù)個(gè)數(shù))時(shí)，有唯一解。*當(dāng)r(A)=r(A|b)=r<n時(shí)，有無窮多解。*齊次線性方程組Ax=0總有零解。*有非零解?r(A)<n。*只有零解?r(A)=n。4.齊次線性方程組Ax=0的解空間：基礎(chǔ)解系的概念，解空間的維數(shù)(n-r(A))。會(huì)求基礎(chǔ)解系，并寫出通解。5.非齊次線性方程組Ax=b的解的結(jié)構(gòu)：通解=對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解+非齊次方程組的一個(gè)特解。四、向量組的線性相關(guān)性1.n維向量的概念：向量的定義，向量的線性運(yùn)算。2.向量組的線性組合與線性表示：定義，判斷一個(gè)向量能否由一個(gè)向量組線性表示。3.向量組的線性相關(guān)性：定義（存在不全為零的數(shù)），線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定。4.向量組的秩：最大線性無關(guān)向量組（極大無關(guān)組）的概念，向量組秩的定義。會(huì)求向量組的極大無關(guān)組并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示。5.向量組的等價(jià)：定義，等價(jià)向量組秩相等。6.線性方程組的向量形式：向量組線性相關(guān)性與齊次線性方程組解的關(guān)系，線性表示與非齊次線性方程組解的關(guān)系。五、矩陣的特征值與特征向量1.特征值與特征向量的定義：Aξ=λξ(ξ≠0)。2.特征多項(xiàng)式與特征方程：|A-λE|=0。3.特征值與特征向量的性質(zhì)：*特征值的和等于矩陣的跡(trA)，特征值的積等于矩陣的行列式|A|。*屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。4.相似矩陣：定義(P^{-1}AP=B)，相似矩陣的性質(zhì)（有相同的特征多項(xiàng)式、特征值、秩、行列式、跡）。5.矩陣的對(duì)角化：n階矩陣A可對(duì)角化?A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化，且不同特征值的特征向量正交。六、二次型（簡要回顧）1.二次型的定義：二次齊次多項(xiàng)式，矩陣表示(f=x^TAx)，A為對(duì)稱矩陣。2.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形：通過正交變換或配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。3.慣性定理：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，正、負(fù)慣性指數(shù)是唯一確定的。4.正定二次型：定義（對(duì)任意x≠0，f(x)>0），判定（順序主子式全大于零，特征值全大于零）。第三部分：練習(xí)題高等數(shù)學(xué)練習(xí)題一、極限與連續(xù)1.求極限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2。2.求極限lim_{x→1}(x^m-1)/(x^n-1)，其中m,n為正整數(shù)。3.設(shè)f(x)={sinx/x,x≠0;a,x=0}，問a為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)？4.討論函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1處的間斷點(diǎn)類型。二、導(dǎo)數(shù)與微分1.設(shè)y=x^sinx(x>0)，求dy/dx。2.設(shè)由方程x^2+y^2=e^{arctan(y/x)}確定隱函數(shù)y=y(x)，求dy/dx。3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2-9x+5在區(qū)間[-2,4]上的最大值與最小值。4.證明：當(dāng)x>0時(shí)，1+xln(x+√(1+x^2))>√(1+x^2)。三、積分1.計(jì)算不定積分∫xcos(2x)dx。2.計(jì)算定積分∫?^πxsinxdx。3.計(jì)算反常積分∫?^+∞1/x(1+x^2)dx。4.求由曲線y=x^2與y=√x所圍成的平面圖形的面積。四、多元函數(shù)微分1.設(shè)z=f(x+y,xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求?2z/(?x?y)。2.求函數(shù)f(x,y)=x^3+y^3-3xy的極值。線性代數(shù)練習(xí)題一、行列式與矩陣1.計(jì)算三階行列式|123;456;789|的值。2.設(shè)A=[[1,2],[3,4]],B=[[0,1],[1,0]]，求AB及BA。3.設(shè)A=[[1,0,1],[2,1,0],[-3,2,-