高一數(shù)學函數(shù)與方程教學全案一、引言與概述函數(shù)與方程是高中數(shù)學的核心內容之一，是連接代數(shù)與幾何、溝通常量數(shù)學與變量數(shù)學的橋梁。本章旨在引導學生從函數(shù)的視角審視方程，理解函數(shù)零點與方程根的內在聯(lián)系，掌握利用函數(shù)性質判定方程解的存在性及求解的基本方法，并初步體會函數(shù)與方程思想在解決實際問題中的應用。本教學全案將遵循學生的認知規(guī)律，注重概念的形成過程，強調數(shù)學思想方法的滲透，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、運算求解能力和數(shù)學建模能力。（一）教學目標1.知識與技能：*理解函數(shù)零點的概念，明確函數(shù)零點與方程根的關系。*掌握函數(shù)零點存在性定理，并能運用定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上是否存在零點。*初步掌握用二分法求方程近似解的基本步驟，并能借助計算器或計算機實現(xiàn)。*能夠運用函數(shù)與方程的思想解決一些簡單的實際問題，體會數(shù)學的應用價值。2.過程與方法：*通過對具體方程及其對應函數(shù)圖像的觀察、分析和歸納，引導學生自主建構函數(shù)零點的概念。*經歷零點存在性定理的探究過程，培養(yǎng)學生觀察、猜想、驗證、抽象概括的能力。*在學習二分法的過程中，體會“逐步逼近”的數(shù)學思想，感受算法的程序化思想。*通過實際問題的解決，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力和運用所學知識分析問題、解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀：*通過函數(shù)與方程的內在聯(lián)系，感受數(shù)學知識的系統(tǒng)性和嚴謹性，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。*在探究活動中，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的樂趣，培養(yǎng)學生勇于探索、敢于質疑的精神。*通過數(shù)學在實際生活中的應用，增強學生的應用意識，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度。（二）教學重點與難點*教學重點：1.函數(shù)零點的概念及其與方程根的關系。2.函數(shù)零點存在性定理的理解與應用。3.二分法的基本思想和操作步驟。*教學難點：1.函數(shù)零點存在性定理的理解（特別是定理中“變號”和“連續(xù)不斷”的條件）。2.二分法中對“精確度”的理解和近似解的取舍。3.函數(shù)與方程思想的靈活運用，特別是將實際問題轉化為函數(shù)模型。（三）教學對象分析本教學內容面向高一學生。學生在初中階段已經學習了一元一次方程、一元二次方程的解法，以及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質，對函數(shù)與方程之間的聯(lián)系有初步的感性認識。進入高中后，學生開始系統(tǒng)學習函數(shù)的概念和性質，具備了一定的抽象思維能力和邏輯推理能力，但對于將方程問題轉化為函數(shù)問題進行研究的思想方法尚不成熟。因此，教學中應注重從具體到抽象，從特殊到一般，引導學生逐步建立函數(shù)與方程的聯(lián)系，滲透轉化與化歸的數(shù)學思想。（四）教學方法與手段*教學方法：啟發(fā)式教學、問題驅動教學、探究式學習、講練結合。注重創(chuàng)設問題情境，引導學生主動思考、積極參與。*教學手段：傳統(tǒng)板書與多媒體輔助教學相結合。利用幾何畫板等軟件動態(tài)演示函數(shù)圖像的變化，幫助學生直觀理解函數(shù)零點的概念和零點存在性定理；通過計算器輔助進行二分法的計算。二、教學內容與課時安排本章建議安排約7-8課時，具體課時分配如下（可根據(jù)學生實際情況調整）：*第一課時：方程的根與函數(shù)的零點（概念引入與辨析）*第二課時：函數(shù)零點存在性定理（探究與應用）*第三、四課時：用二分法求方程的近似解（原理與操作）*第五、六課時：函數(shù)模型及其應用（結合函數(shù)與方程思想解決實際問題）*第七、八課時：本章復習與小結（知識梳理、綜合應用、鞏固提升）三、分課時教學設計第一課時：方程的根與函數(shù)的零點（一）課時目標1.理解函數(shù)零點的定義，能說出函數(shù)零點的幾何意義。2.明確方程的根與函數(shù)零點之間的對應關系。3.會求簡單函數(shù)的零點。4.通過對具體問題的分析，初步體會函數(shù)與方程的聯(lián)系。（二）教學重難點*重點：函數(shù)零點的概念及其與方程根的關系。*難點：對函數(shù)零點概念的準確理解，特別是從“數(shù)”（方程的根）與“形”（函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標）兩個方面的理解。（三）教學過程1.情境創(chuàng)設，引入新課*問題1：我們已經學過哪些方程？（一元一次方程、一元二次方程等）。例如，方程x-1=0的根是什么？方程x2-3x+2=0的根是什么？*問題2：我們也學過一次函數(shù)、二次函數(shù)。對于一次函數(shù)y=x-1，它的圖像與x軸的交點坐標是什么？對于二次函數(shù)y=x2-3x+2，它的圖像與x軸的交點坐標是什么？*引導學生觀察：方程x-1=0的根與函數(shù)y=x-1圖像與x軸交點的橫坐標有什么關系？方程x2-3x+2=0的根與函數(shù)y=x2-3x+2圖像與x軸交點的橫坐標有什么關系？*引出課題：方程的根與函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標之間似乎存在著密切的聯(lián)系，今天我們就來深入研究這個問題——方程的根與函數(shù)的零點。2.新知探究，形成概念*函數(shù)零點的定義：*對于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點。*強調：零點是一個實數(shù)，而不是一個點。*思考與討論：*函數(shù)的零點與方程的根有什么關系？（函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根。）*函數(shù)的零點在函數(shù)圖像上有什么幾何意義？（函數(shù)y=f(x)的零點就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標。）*教師總結：方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點。（這“三個等價”是核心）3.概念辨析與例題講解*例1：求下列函數(shù)的零點：*(1)f(x)=2x+4*(2)f(x)=x2-4x+3*(3)f(x)=log?(x-1)*分析與解答：引導學生根據(jù)零點定義，令f(x)=0，解方程求出x的值。強調解題步驟。對于(2)，可回顧二次函數(shù)求根公式或因式分解法。*思考：函數(shù)f(x)=1/x有零點嗎？為什么？（引導學生從方程1/x=0無解，以及函數(shù)圖像與x軸無交點兩個角度說明。）*練習：判斷下列函數(shù)是否有零點，若有，求出其零點。*f(x)=-3x+6*f(x)=x2-2x+1*f(x)=2^x-14.課堂小結*函數(shù)零點的定義（代數(shù)意義與幾何意義）。*函數(shù)零點與方程根的關系（三個等價關系）。*求函數(shù)零點的方法（解方程f(x)=0）。5.課后作業(yè)與反思*教材習題，基礎題鞏固概念，中檔題加深理解。*思考題：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)在區(qū)間(a,b)內一定有零點嗎？若f(a)·f(b)>0，函數(shù)在(a,b)內一定沒有零點嗎？（為下一節(jié)課零點存在性定理做鋪墊）*教師反思：學生對概念的理解程度如何？哪些地方容易混淆？第二課時：函數(shù)零點存在性定理（一）課時目標1.通過具體函數(shù)圖像的觀察和分析，探究并理解函數(shù)零點存在性定理的條件和結論。2.能運用函數(shù)零點存在性定理判斷函數(shù)在給定區(qū)間內是否存在零點。3.初步體會“數(shù)形結合”和“轉化與化歸”的數(shù)學思想。（二）教學重難點*重點：函數(shù)零點存在性定理的理解和應用。*難點：對定理中“連續(xù)不斷”、“f(a)·f(b)<0”等條件的理解，以及定理的逆否命題、否命題的辨析（定理的局限性）。（三）教學過程1.復習引入，提出問題*復習函數(shù)零點的概念及其與方程根的關系。*問題情境：對于方程x3-x-1=0，我們能直接求出它的精確解嗎？（學生嘗試后發(fā)現(xiàn)困難）如何判斷它是否有實數(shù)根？如果有，它大概在哪個區(qū)間內？*引導學生思考：如果能找到一個函數(shù)，其零點就是該方程的根，那么通過研究函數(shù)的性質，能否判斷這個根是否存在？2.定理探究，形成新知*觀察與思考：*觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖像，它在區(qū)間[-2,0]上是否有零點？f(-2)與f(0)的符號有何關系？（f(-2)=5>0,f(0)=-3<0，異號，有零點x=-1）*在區(qū)間[2,4]上呢？（f(2)=-3<0,f(4)=5>0，異號，有零點x=3）*觀察函數(shù)f(x)=(x-1)2的圖像，在區(qū)間[0,2]上，f(0)=1>0,f(2)=1>0（同號），但函數(shù)在該區(qū)間有零點x=1。這說明什么？（f(a)f(b)>0時，函數(shù)在[a,b]上可能有零點，也可能沒有。）*觀察一個在區(qū)間[a,b]上圖像不連續(xù)的函數(shù)（可舉例，如f(x)=1/x在[-1,1]上，f(-1)=-1,f(1)=1，異號，但無零點），這又說明什么？*歸納總結——函數(shù)零點存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內至少有一個零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根。*定理解讀與強調：*“連續(xù)不斷的曲線”：這是前提條件，不可或缺。*“f(a)·f(b)<0”：函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值異號。*“在區(qū)間(a,b)內至少有一個零點”：“至少一個”意味著可能有一個，也可能有多個。*定理的逆命題、否命題不一定成立（舉例說明，如前面的(x-1)^2例子說明f(a)f(b)>0可能有零點；定理條件滿足只能保證存在性，不能確定唯一性和具體個數(shù)）。3.定理應用與例題講解*例2：證明方程x3-x-1=0在區(qū)間(1,2)內有且只有一個零點。*分析：構造函數(shù)f(x)=x3-x-1。*第一步：判斷連續(xù)性（多項式函數(shù)在R上連續(xù)）。*第二步：計算f(1)=1-1-1=-1，f(2)=8-2-1=5，f(1)·f(2)=-5<0，由零點存在性定理知，在(1,2)內至少有一個零點。*第三步：判斷唯一性（引導學生通過函數(shù)的單調性證明，f'(x)=3x2-1，在(1,2)上f'(x)>0，函數(shù)單調遞增，故只有一個零點）。（此處導數(shù)可暫不提，可通過定義或圖像直觀說明其在(1,2)上單調增）*例3：函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在下列哪個區(qū)間內一定有零點？A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)*分析：計算各區(qū)間端點的函數(shù)值，看是否異號。f(2)=ln2+4-6=ln2-2<0，f(3)=ln3+6-6=ln3>0，故選B。強調計算的準確性。*練習：利用函數(shù)零點存在性定理，判斷函數(shù)f(x)=x2-3x+2在區(qū)間(0,3)內是否存在零點。若存在，有幾個？（引導學生發(fā)現(xiàn)f(0)=2>0,f(1)=0,f(2)=0,f(3)=2>0，可知有兩個零點，或直接解方程。）4.課堂小結*函數(shù)零點存在性定理的內容（條件、結論）。*定理的理解要點（連續(xù)、異號、至少一個、存在性）。*運用定理判斷函數(shù)在某區(qū)間是否存在零點的步驟。5.課后作業(yè)與反思*教材習題，重點練習運用定理判斷零點存在性。*思考：如何進一步縮小零點所在的區(qū)間范圍，以得到更精確的零點近似值？（為二分法做鋪墊）*教師反思：學生對定理條件的理解是否到位？應用定理時常見的錯誤有哪些？第三、四課時：用二分法求方程的近似解（*說明：此部分內容操作性強，計算量較大，建議分兩課時。第一課時側重原理理解和初步操作，第二課時側重熟練掌握和誤差控制。*）（一）課時目標1.理解二分法的基本思想（“逐步逼近”）。2.掌握用二分法求方程近似解的基本步驟。3.能根據(jù)給定的精確度，用二分法求函數(shù)零點的近似值（或方程的近似解）。4.感受數(shù)學逼近思想的嚴謹性和科學性，培養(yǎng)耐心細致的計算習慣。（二）教學重難點*重點：二分法的基本步驟和操作過程。*難點：對“精確度”的理解和近似解的確定；二分法中區(qū)間端點函數(shù)值符號的判斷及區(qū)間的不斷縮小。（三）教學過程（第一課時：