圓的切線，作為圓的重要概念之一，其性質(zhì)與判定向來是幾何學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)。掌握好這部分內(nèi)容，不僅能深化對(duì)圓的理解，更能提升綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解決問題的能力。本文將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)圓的切線性質(zhì)與判定的經(jīng)典題型進(jìn)行梳理與歸納，希望能為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供有益的參考。一、切線的性質(zhì)：“已知切線，必連半徑，得垂直”當(dāng)題目中明確給出直線是圓的切線這一條件時(shí)，我們首先應(yīng)該想到的是切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。這是解決切線相關(guān)問題的“黃金鑰匙”，由此可以引申出一系列與角度、線段長(zhǎng)度相關(guān)的計(jì)算與證明。（一）利用切線性質(zhì)求角度這類問題通常需要我們連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造出直角，然后結(jié)合已知條件，運(yùn)用三角形內(nèi)角和、互余、互補(bǔ)等知識(shí)求解角度。例題1：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為D。求證：AC平分∠DAB。思路分析：已知CD是切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，所以連接OC是關(guān)鍵。由切線性質(zhì)知OC⊥CD，又因?yàn)锳D⊥CD，所以AD∥OC。根據(jù)平行線的性質(zhì)，內(nèi)錯(cuò)角相等，即∠DAC=∠OCA。又因?yàn)镺A=OC（半徑相等），所以∠OAC=∠OCA。等量代換可得∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。方法總結(jié)：遇切線，連半徑，得垂直。通過垂直關(guān)系構(gòu)造平行線或直角三角形，是解決角度問題的常用手段。（二）利用切線性質(zhì)求長(zhǎng)度（或證明線段關(guān)系）切線的垂直關(guān)系也為我們運(yùn)用勾股定理、相似三角形等知識(shí)求線段長(zhǎng)度或證明線段相等、比例關(guān)系提供了條件。例題2：如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，連接PO交AB于點(diǎn)C，若PA=6，PO=10，求AB的長(zhǎng)。思路分析：PA、PB是切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理（從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角）可知PA=PB，PO平分∠APB，且PO垂直平分AB。在Rt△PAO中，已知PA=6，PO=10，可先求出OA的長(zhǎng)（即半徑r），再利用面積法（S△PAO=1/2PA·OA=1/2PO·AC）求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AB的長(zhǎng)。方法總結(jié)：切線長(zhǎng)定理是一個(gè)非常重要的性質(zhì)，它聯(lián)系了線段相等、角平分線和垂直關(guān)系。在涉及兩條切線的問題中，常能用到。利用直角三角形的性質(zhì)（勾股定理、面積法）是求長(zhǎng)度的常用策略。二、切線的判定：“欲證切線，兩種思路，看已知”證明一條直線是圓的切線，是圓這一章節(jié)的核心考點(diǎn)。通常有兩種基本思路，選擇哪種思路取決于題目所給的已知條件。（一）“連半徑，證垂直”——已知直線與圓有公共點(diǎn)當(dāng)題目中明確告知直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)（或隱含此條件，如直線經(jīng)過圓上某一點(diǎn)）時(shí)，我們通常連接圓心與這個(gè)公共點(diǎn)（即半徑），然后證明這條半徑與所給直線垂直。例題3：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E。求證：DE是⊙O的切線。思路分析：要證DE是⊙O的切線，已知點(diǎn)D在⊙O上（因?yàn)镈在BC上，AB是直徑，所以BD是弦，點(diǎn)D在圓上）。因此，連接OD（半徑），只需證明OD⊥DE即可。證明：連接OD。因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C。又因?yàn)镺B=OD，所以∠B=∠ODB。因此∠ODB=∠C，所以O(shè)D∥AC。因?yàn)镈E⊥AC，所以O(shè)D⊥DE。又因?yàn)镺D是⊙O的半徑，所以DE是⊙O的切線。方法總結(jié)：此思路的關(guān)鍵在于“連半徑”后，如何證明垂直。常通過證明同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等方法得到半徑與直線平行，再由已知直線的垂直關(guān)系（如DE⊥AC）推導(dǎo)出半徑與直線垂直。也可通過計(jì)算角度和為90°來證明垂直。（二）“作垂直，證半徑”——未知直線與圓是否有公共點(diǎn)當(dāng)題目中沒有明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，我們通常過圓心作這條直線的垂線，然后證明垂線段的長(zhǎng)度等于圓的半徑。例題4：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。點(diǎn)O在AB上，且AO=OB，以O(shè)為圓心的圓與AC相切于點(diǎn)D。求證：⊙O與BC也相切。思路分析：要證⊙O與BC相切，題目未明確給出切點(diǎn)。已知⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連接OD，則OD⊥AC，OD的長(zhǎng)即為⊙O的半徑r。要證⊙O與BC相切，可過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，若能證明OF=r，則結(jié)論成立。因?yàn)镺是AB中點(diǎn)，AC=6，BC=8，∠C=90°，可求出AB長(zhǎng)，進(jìn)而得到AO=OB的長(zhǎng)。利用面積法或相似三角形可求出OD（r）和OF的長(zhǎng)，從而證明OF=r。證明概要：連接OD，過O作OF⊥BC于F。因?yàn)锳C切⊙O于D，所以O(shè)D⊥AC。在Rt△ABC中，AB=√(AC2+BC2)=10，所以AO=OB=5。易證△AOD∽△ABC（∠A公共，∠ADO=∠ACB=90°），所以O(shè)D/BC=AO/AB，即OD/8=5/10，解得OD=4。同理（或利用O是中點(diǎn)，OD⊥AC，OF⊥BC，∠C=90°，四邊形ODCF是矩形等方法）可證得OF=OD=4，即OF是⊙O的半徑。所以⊙O與BC相切。方法總結(jié)：此思路的關(guān)鍵在于“作垂直”后，如何證明垂線段等于半徑。常利用三角形相似、三角函數(shù)或面積法（如等積變換）來計(jì)算垂線段的長(zhǎng)度，并與半徑（或通過其他途徑求得的半徑長(zhǎng)度）進(jìn)行比較。三、解題策略與溫馨提示1.輔助線是靈魂：解決切線問題，恰當(dāng)添加輔助線至關(guān)重要。性質(zhì)用“連半徑，得垂直”；判定用“連半徑，證垂直”或“作垂直，證半徑”，務(wù)必牢記并靈活運(yùn)用。2.定義要清晰：切線的定義（直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)）有時(shí)也可直接用于判定，但更多時(shí)候是用判定定理。性質(zhì)定理則是“切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”。3.綜合運(yùn)用是趨勢(shì)：切線問題很少孤立存在，往往會(huì)與等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形等知識(shí)結(jié)合考查，需要同學(xué)們具備較強(qiáng)的知識(shí)遷移和綜合運(yùn)用能力。4.多思多練是法寶：幾何學(xué)習(xí)離不開練習(xí)。通過典型例題的研習(xí)，總結(jié)方法規(guī)律；通過適量習(xí)題的鞏固，提升解題技能。在練習(xí)中要注意一題多解和多題歸一，體會(huì)解題的共性與差異。5.書寫規(guī)范要注意：證明題的書寫要條理清晰，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，“因?yàn)椤薄八浴钡囊蚬P(guān)系明確，定理使用要準(zhǔn)確無誤，輔助線的作法要交代清楚?？偨Y(jié)圓的切線性質(zhì)與判定是平面幾何的重要內(nèi)容，其題型多變，但核心知識(shí)相對(duì)集