2026年高考數(shù)學(xué)壓軸題解析集一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題（3題，每題15分）第1題（15分）已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+1在x=1處取得極值，且其圖像在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與直線y=4x-5平行。（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若對(duì)于任意x∈[1,3]，不等式f(x)≥kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值。答案與解析（1）由f(x)在x=1處取得極值，得f'(1)=0，即3×12-2a×1+b=0①；由f'(x)=3x2-2ax+b，得f'(2)=12-4a+b=4②；聯(lián)立①②解得a=2，b=-3。經(jīng)檢驗(yàn)，a=2，b=-3符合題意。（2）由（1）知f(x)=x3-2x2-3x+1，令g(x)=f(x)-kx=x3-2x2-(k+3)x+1，則g(x)在[1,3]上單調(diào)遞增?g'(x)=3x2-4x-(k+3)≥0在[1,3]上恒成立。設(shè)h(x)=3x2-4x-(k+3)，則Δ=(-4)2-4×3×[-(k+3)]=48+12k>0，h(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，最小值為h(1)=-2-k，只需-2-k≥0，得k≤-2。故k的最大值為-2。第2題（15分）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x)+sin(πx)，且f(0)=1。（1）求f(2026)的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得f(x)=ax在(-1,1)上恰有兩個(gè)不同的解？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。答案與解析（1）f(1)=f(0)+sin(π×0)=1；f(2)=f(1)+sin(π×1)=1；…歸納可得f(n)=1(n∈N)，f(-n)=-1(n∈N)，f(0.5)=f(-0.5)+sin(π×(-0.5))=-1-1=-2，f(2026)=f(0)+2026×sin(π×2026)=1。（2）令g(x)=f(x)-ax，則g(x)在(-1,1)上恰有兩個(gè)不同解?y=f(x)與y=ax在(-1,1)上恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)。由f(x+1)-f(x)=sin(πx)得f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，且0<f(x)<1。①若a≤0，g(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，最多有一個(gè)解，矛盾；②若a>0，g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，需g(0)<0，g(1)>0?a<1，且a>f(1)-1=0，即0<a<1。又需g(-1)>0?a>f(-1)+1=0，綜上，a的取值范圍是(0,1)。第3題（15分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|+|x+1|，其中a∈R。（1）求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)的x的取值范圍；（2）若f(x)在[-3,3]上的最大值為6，求a的取值范圍。答案與解析（1）f(x)={3x-a+2(x≤-1)，-x+a+2(-1<x<1)，3-a(x≥1)}，當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得最小值f(-1)=a+1。x的取值范圍為{x|-1≤x≤1}。（2）f(x)在[-3,3]上單調(diào)遞增?a≥3，此時(shí)f(x)max=f(3)=a+6=6?a=0（舍）；單調(diào)遞減?a≤-3，此時(shí)f(x)max=f(-3)=-a+6=6?a=0（舍）；單調(diào)先減后增?-3<a<3，此時(shí)f(x)max=max{f(-3),f(3)}=max{-a+6,a+6}=6?a=0或a=3，故a的取值范圍是{0,3}。二、解析幾何壓軸題（2題，每題15分）第1題（15分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，其右焦點(diǎn)F恰在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上。（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若AF⊥BF，求直線l的方程。答案與解析（1）由e=√2/2，得a=√2b，c=b，由F(c,0)在y2=4x準(zhǔn)線上，得c=1，b=1，a=√2，故橢圓方程為x2/2+y2=1。（2）設(shè)l:y=k(x-1)，代入橢圓方程消去y得：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式得|AB|2=(1+k2)[(2k2-2)/(1+2k2)]2，由AF⊥BF，得|AB|2=4c2=4，解得k=±1，直線方程為y=x-1或y=-x+1。第2題（15分）已知雙曲線C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，其右準(zhǔn)線與拋物線y2=8x交于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|=4。（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)在y軸上，求直線l的方程。答案與解析（1）由e=2，得a=b，設(shè)右準(zhǔn)線為x=-1/2，代入y2=8x得P(-1/2,±√2)，|PQ|=4?b=√2，a=√2，故雙曲線方程為x2-y2/2=1。（2）設(shè)l:y=k(x-2)，代入雙曲線方程消去y得：(2-k2)x2+4k2x-4k2-2=0，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x?+x?=-4k2/(2-k2)，由中點(diǎn)在y軸，得-4k2/(2-k2)=0?k=0，直線方程為y=0。三、數(shù)列與不等式綜合題（2題，每題15分）第1題（15分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=√(a?+3)，n∈N。（1）證明數(shù)列{a?}單調(diào)遞增；（2）若數(shù)列{b?}滿足b?=√(a?+2)-√a?，求證：1/3<b?<1且∑b?收斂。答案與解析（1）a???-a?=√(a?+3)-a?=(√(a?+3)-√a?)(√(a?+3)+√a?)/√(a?+3)+√a?=(3)/(√(a?+3)+√a?)>0，又√(a?+3)>√a?，故a???-a?>0，數(shù)列單調(diào)遞增。（2）b?=√(a?+2)-√a?=(a?+2-a?)/(√(a?+2)+√a?)=1/(√(a?+2)+√a?)，由(1)知a?∈[1,+∞)，√a?∈[1,+∞)，√(a?+2)∈[√3,+∞)，1/(√(a?+2)+√a?)∈(0,1/2)，又b?=1/(√(a?+2)+√a?)>1/(√3+1)>1/4>1/3，故1/3<b?<1。b?>1/(2√3)>0，且b?遞減，由級(jí)數(shù)比較法，∑b?收斂。第2題（15分）已知不等式x2+2x+m>√(x2+4x+3)對(duì)任意x∈[0,1]恒成立，且函數(shù)f(x)=(x2+px+q)/x3在(0,+∞)上單調(diào)遞增。（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若f(1)=6且f(x)在x=1處取得極小值，求p，q的值。答案與解析（1）令g(x)=x2+2x+m-√(x2+4x+3)，則g(x)在[0,1]上恒大于0?g(0)>0且g(1)>0?m>1且m>0，故m>1。（2）f'(x)=(x2+px+q)'x3-(x2+px+q)x2/x?=(2x+p)x3-(x2+px+q)x2/x?=(x2(2x+p-x2-px-q))/x?=(x2(p-x2+2x-q))/x?，由f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，得p-x2+2x-q≥0在(0,+∞)上恒成立?Δ≤0?p=q，又f(1)=1+p+q=6?2p=5?p=5/2，q=5/