小學奧數(shù)間隔問題專項訓(xùn)練題同學們在學習數(shù)學的過程中，一定遇到過這樣的問題：一根木頭鋸成幾段需要鋸幾次？一排樹之間有多少個空檔？敲鐘時，鐘聲的間隔時間該怎么算？這些都屬于我們今天要重點探討的“間隔問題”。間隔問題看似簡單，實則蘊含著巧妙的數(shù)學邏輯，它能很好地鍛煉我們的空間想象能力和邏輯思維能力。掌握了間隔問題的規(guī)律，很多看似復(fù)雜的題目就能迎刃而解。一、認識間隔：點與段的關(guān)系在間隔問題中，我們首先要明確兩個基本概念：“點”和“段”。*“點”：指的是事物的主體，比如樹、電線桿、人、敲鐘的次數(shù)、鋸木頭的次數(shù)等。*“段”：指的是兩個點之間的間隔部分，比如兩棵樹之間的距離、兩次鐘聲之間的時間、木頭被鋸成的段數(shù)等。最核心的關(guān)系就是：點的數(shù)量和段的數(shù)量之間的關(guān)系。這個關(guān)系會根據(jù)具體問題情境的不同而有所變化。二、間隔問題的幾種基本類型及數(shù)量關(guān)系1.直線型（兩端都有點）情境：路邊植樹（兩端都栽）、從頭到尾插旗、排隊（兩端都有人）等。關(guān)系：段數(shù)=點數(shù)-1舉例：小朋友排隊，從前往后數(shù)，小明排第1，小紅排第5，他們之間有幾個人？這里“人”是點，“之間的人數(shù)”其實問的是間隔（段）中的點，但基礎(chǔ)關(guān)系仍是段數(shù)=點數(shù)-1（5-1=4段間隔，每段間隔1個人的話，就是3個人，這個后續(xù)會有具體題目）。更直接的例子：一條路上種了5棵樹（兩端都種），有幾個間隔？段數(shù)=5-1=4個。2.直線型（兩端都沒有點）情境：木頭鋸成幾段（鋸的次數(shù)是點）、封閉圖形內(nèi)的某些情況（較少見）、或者從起點后開始，到終點前結(jié)束的植樹。關(guān)系：段數(shù)=點數(shù)+1舉例：一根木頭，鋸了2次，能鋸成幾段？這里“鋸的次數(shù)”是點，“段數(shù)”是段。段數(shù)=2+1=3段。3.直線型（一端有點，另一端沒有點）情境：有時從墻邊開始植樹，墻的一端沒有樹；或者某些特定的排列。關(guān)系：段數(shù)=點數(shù)舉例：小明從家門口開始種樹，沿著小路種了4棵，家門口不種樹，小路盡頭種1棵。那么間隔數(shù)就和樹的棵數(shù)相等，都是4個間隔。（這個類型相對不那么常見，但理解了有助于全面掌握）4.封閉型（環(huán)形）情境：池塘邊植樹、操場邊上插旗、圍成一個圓圈的人數(shù)等。關(guān)系：段數(shù)=點數(shù)舉例：一個圓形池塘邊上種了6棵柳樹，有幾個間隔？段數(shù)=6個。因為首尾相接，起點和終點重合了。三、專項訓(xùn)練題基礎(chǔ)鞏固篇1.題目：公園里有一條小路長20米，在小路的一旁從頭到尾每隔5米栽一棵桃樹，一共要栽多少棵桃樹？思路點睛：這是“兩端都有點”的直線型問題。先求段數(shù)，段數(shù)=總長度÷每段長度。再求點數(shù)（桃樹棵數(shù)）。2.題目：一根鋼管長18米，要把它鋸成3米長的小段，每鋸一次需要2分鐘，一共需要多少分鐘？思路點睛：這是“兩端都沒有點”的直線型問題。先求能鋸成多少段（段數(shù)），再求需要鋸幾次（點數(shù)）。注意，鋸的次數(shù)比段數(shù)少1哦，因為鋸一次得兩段。3.題目：一個圓形花壇的周長是30米，現(xiàn)在要在花壇周圍每隔3米放一盆月季花，一共需要多少盆月季花？思路點睛：這是“封閉型”問題。盆數(shù)（點數(shù)）等于間隔數(shù)（段數(shù)）。直接用周長除以間隔長度即可。4.題目：同學們排隊做操，每兩人之間相距2米，從第一人到最后一人共相距18米，這一排一共有多少個同學？思路點睛：“人”是點，“兩人之間的距離”是段。已知總長度和每段長度，先求段數(shù)，再根據(jù)“兩端都有點”求點數(shù)（人數(shù)）。5.題目：時鐘3點鐘敲3下，用了6秒鐘，那么6點鐘敲6下，需要多少秒鐘？思路點睛：敲鐘問題，“敲的次數(shù)”是點，“兩次敲鐘之間的時間”是段。3下有幾個間隔（段）？6秒鐘是這些間隔的總時間，先求每個間隔的時間。6下有幾個間隔？再求總時間。進階提升篇6.題目：在一條長400米的公路兩旁從頭到尾每隔8米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？思路點睛：注意是“兩旁”都栽樹。先求一旁的棵數(shù)（直線型兩端有點），再乘以2。7.題目：一根木頭，要把它鋸成5段，每鋸開一處需要4分鐘，全部鋸?fù)晷枰嗌俜昼?？思路點睛：鋸成5段，需要鋸幾次？（段數(shù)=點數(shù)+1，所以點數(shù)=段數(shù)-1）。每次4分鐘，總時間就是次數(shù)乘以4。8.題目：學校有一個長方形的操場，長100米，寬60米?，F(xiàn)在要在操場四周每隔5米插一面彩旗（四個角都要插），一共需要多少面彩旗？思路點睛：長方形操場是封閉圖形嗎？是的，因為它首尾相連?？梢韵扔嬎阒荛L，再用周長除以間隔長度得到段數(shù)，也就是彩旗數(shù)（點數(shù)）?；蛘叻謩e計算長和寬上的彩旗數(shù)，注意四個角的彩旗不要重復(fù)計算。9.題目：從一樓到三樓需要走36級臺階，那么從一樓到六樓需要走多少級臺階？（各樓層之間臺階數(shù)相同）思路點睛：樓層是點，樓梯臺階是段。從一樓到三樓，走了幾層樓梯（段數(shù)）？先求每層樓梯的臺階數(shù)。從一樓到六樓，走幾層樓梯？再求總臺階數(shù)。10.題目：一個湖泊周圍長1800米，沿湖泊周圍每隔3米栽一棵柳樹，每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹，湖泊周圍栽了多少棵柳樹？多少棵桃樹？思路點睛：封閉型問題。柳樹棵數(shù)=間隔數(shù)。每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹，桃樹的棵數(shù)與柳樹的間隔數(shù)有什么關(guān)系呢？綜合拓展篇11.題目：在一條小路的一側(cè)從頭到尾共種了10棵樹，每兩棵樹之間相距5米，后來由于樹木長大，要改為每兩棵樹之間相距10米。如果起點的一棵樹不動，那么至少再隔多少米又有一棵樹不需要移動？這條小路上一共有多少棵樹不需要移動？思路點睛：這道題結(jié)合了最小公倍數(shù)的知識。原來10棵樹，有9個間隔，小路總長可求。不需要移動的樹，其位置到起點的距離應(yīng)該是原來間隔距離（5米）和新間隔距離（10米）的公倍數(shù)。先求最小公倍數(shù)，再看總長里有幾個這樣的公倍數(shù)，加上起點的一棵就是不需要移動的總棵數(shù)。12.題目：同學們在一個正方形的操場上做游戲，每邊都站了8個人（四個角都站人），這個操場上一共站了多少個同學？思路點睛：正方形是封閉圖形。每邊8人，四條邊看似4×8，但四個角的人重復(fù)計算了，需要減去重復(fù)的?；蛘撸窟叢凰銉蓚€角，中間有幾人，再加上四個角的4人。13.題目：一根粗細均勻的木頭，要把它鋸成若干段，如果鋸成3段需要8分鐘，那么用同樣的速度鋸成7段需要多少分鐘？思路點睛：先根據(jù)“鋸成3段”求出鋸的次數(shù)和每次鋸的時間。再根據(jù)“鋸成7段”求出需要鋸的次數(shù)，進而求出總時間。14.題目：綠化隊在一條南北走向的大道兩邊從頭到尾栽樹，路東側(cè)栽楊樹91棵，相鄰兩棵楊樹之間相距10米。路西側(cè)栽柳樹，相鄰兩棵柳樹之間相距9米。栽柳樹多少棵？思路點睛：先根據(jù)東側(cè)楊樹的棵數(shù)和間隔距離，求出大道的長度（直線型兩端有點）。再根據(jù)西側(cè)柳樹的間隔距離和大道長度，求出西側(cè)柳樹的棵數(shù)（同樣是直線型兩端有點）。15.題目：一個車隊以每秒5米的速度緩緩?fù)ㄟ^一座長200米的大橋，共用了145秒。已知每輛車長5米，兩車間隔8米。這個車隊共有多少輛車？思路點睛：這是行程問題與間隔問題的結(jié)合。車隊通過大橋所行的路程=車隊長+橋長。車隊長由所有車輛的長度和所有兩車之間的間隔長度組成。先求車隊長，再設(shè)車輛數(shù)為n，用車長和間隔表示出總長，列方程求解?；蛘?，車隊長=車輛數(shù)×5+(車輛數(shù)-1)×8。四、參考答案與簡要提示（請在獨立思考后核對）基礎(chǔ)鞏固篇1.20÷5=4（段），4+1=5（棵）提示：兩端都栽。2.18÷3=6（段），6-1=5（次），5×2=10（分鐘）提示：鋸的次數(shù)=段數(shù)-1。3.30÷3=10（盆）提示：封閉型，盆數(shù)=間隔數(shù)。4.18÷2=9（段），9+1=10（個）提示：人數(shù)=段數(shù)+1。5.3下有2個間隔，6÷2=3（秒/間隔）；6下有5個間隔，5×3=15（秒）提示：間隔數(shù)=敲鐘次數(shù)-1。進階提升篇6.400÷8=50（段），50+1=51（棵），51×2=102（棵）提示：注意“兩旁”。7.5-1=4（次），4×4=16（分鐘）提示：鋸成5段需鋸4次。8.周長：(100+60)×2=320（米），320÷5=64（面）提示：封閉圖形，彩旗數(shù)=間隔數(shù)。9.3-1=2（層），36÷2=18（級/層），6-1=5（層），18×5=90（級）提示：樓梯層數(shù)=樓層數(shù)-1。10.柳樹：1800÷3=600（棵），桃樹：600棵提示：封閉型，桃樹棵數(shù)=柳樹間隔數(shù)=柳樹棵數(shù)。綜合拓展篇11.原來間隔5米，10棵樹有9個間隔，路長：9×5=45（米）。5和10的最小公倍數(shù)是10。45÷10=4（個）……5（米），即有4個間隔點不需要移動，加上起點1棵，共5棵。提示：不需要移動的樹的位置是5和10的公倍數(shù)處。12.每邊8人，4邊：8×4=32（人），但四個角各重復(fù)1次，32-4=28（人）。或(8-2)×4+4=28（人）提示：減去重復(fù)計算的四個角的人。13.鋸成3段需鋸2次，每次：8÷2=4（分鐘）。鋸成7段需鋸6次，6×4=24（分鐘）。提示：關(guān)鍵在鋸的次數(shù)。14.東側(cè)楊樹間隔數(shù)：91-1=90（個），路長：90×10=900（米）。西側(cè)柳樹間隔數(shù)：900÷9=100（個），柳樹棵數(shù)：100+1=101（棵）。提示：先求路長。15.車隊145秒行駛路程：5×145=725（米）。車隊長：____=525（米）。設(shè)車輛數(shù)為n，則5n+