廣東省東莞市2025-2026學(xué)年上學(xué)期期末檢測(cè)高三數(shù)學(xué)考試試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．1.定義域?yàn)镽的函數(shù)，其圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.不能確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】給定自變量一個(gè)值為，根據(jù)函數(shù)的定義，它一定唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，所以該函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：B2.向量、分別表示向東和向北方向走，則表示（）A.向東北方向走 B.向西北方向走C.向東北方向走 D.向西北方向走【答案】A【解析】【分析】作，，以、為鄰邊作平行四邊形，則，求出以及的值，結(jié)合向量的幾何意義可得結(jié)論.【詳解】作，，以、為鄰邊作平行四邊形，如下圖所示：由題意可知，，故平行四邊形為正方形，所以，且，且，故表示向東北方向走，故選：A.3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法求出，再寫(xiě)出共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋?，故選：D4.雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則的離心率為（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以這條漸近線方程為，它的斜率為，所以，即.故選：C5.過(guò)正方體的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面平行的直線共有（）A.6條 B.8條 C.12條 D.16條【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出圖形，由圖形判斷即可.【詳解】由三角形的中位線易得平面，易得平面平面，所以平面內(nèi)有6條，平面關(guān)于平面對(duì)稱的平面內(nèi)有6條，共有12條.故選：C.6.已知函數(shù)對(duì)任意有，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.3 D.-3【答案】D【解析】【分析】先由題設(shè)依次求出函數(shù)周期和對(duì)稱性，進(jìn)而得到，再結(jié)合題意轉(zhuǎn)化即可計(jì)算求解.【詳解】由題可得任意有即函數(shù)具有周期性且周期為2，又為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又當(dāng)時(shí)，所以.故選：D7已知隨機(jī)變量X，Y均服從兩點(diǎn)分布，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以.故選：B8.設(shè)，函數(shù)，函數(shù)的極值為，則（）A.是遞增數(shù)列 B.是遞減數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合極值的定義、等比數(shù)列的定義、單調(diào)數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以的極值為；，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以的極值為；，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以極值為，歸納可得：，因?yàn)?，所以?shù)列不是等差數(shù)列.又因?yàn)椋詳?shù)列是等比數(shù)列，因?yàn)閿?shù)列是正負(fù)交替出現(xiàn)，故該數(shù)列不具有單調(diào)性.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．9.甲、乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射箭20次，兩人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚杭椎某煽?jī)乙的成績(jī)環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4583頻數(shù)5393則下列說(shuō)法正確的有（）A.甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)B.甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)C.甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差D.甲的成績(jī)的極差大于乙的成績(jī)的極差【答案】AC【解析】【分析】求出甲和乙的成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)、方差和極差即可判斷各選項(xiàng).【詳解】由題意可得甲的成績(jī)的中位數(shù)為9，平均數(shù)為，方差為，極差為3；乙的成績(jī)的中位數(shù)為9，平均數(shù)為，方差為，極差為3.故甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)、甲的成績(jī)的平均數(shù)等于乙的成績(jī)的平均數(shù)、甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差、甲的成績(jī)的極差等于乙的成績(jī)的極差.故AC正確，BD錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)為其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)D.若在上有且僅有個(gè)極值點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題干中函數(shù)的基本性質(zhì)求出該函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)極值點(diǎn)的定義可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則函數(shù)上取得最小值，則①，因?yàn)辄c(diǎn)為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則②，②①可得，故，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，可得，故，又因?yàn)榍?，故，所以，故，又因?yàn)?，所以，故，?duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，故所得函數(shù)為偶函數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，且，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，即，D對(duì).故選：BCD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.當(dāng)時(shí)，則D.當(dāng)時(shí)，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合平面向量共線的坐標(biāo)表示公式、數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式逐一判斷即可.【詳解】A：由，因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，所以，，，，當(dāng)時(shí)，顯然滿足，此時(shí)，而，顯然不成立；B：該拋物線的準(zhǔn)線為.當(dāng)時(shí)，，由拋物線的定義可知，顯然成立；C：當(dāng)時(shí)，，，所以可得；D：當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以本選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．12.已知集合，若，則____________．【答案】【解析】【分析】由子集關(guān)系得到或，計(jì)算并檢驗(yàn)即可得解.【詳解】集合，，所以或，解得或或，當(dāng)時(shí)，集合，與集合中元素的互異性矛盾，不符合；當(dāng)時(shí)，集合，與集合中元素的互異性矛盾，不符合；當(dāng)時(shí)，集合，符合；故答案為：13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,先求得在點(diǎn)處的切線的斜率.進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)斜式即可求得切線方程.【詳解】曲線則所以在點(diǎn)處的切線的斜率為由點(diǎn)斜式可得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線方程的點(diǎn)斜式應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.已知是銳角三角形，內(nèi)角、、所對(duì)應(yīng)邊分別為、、.若，則的最小值是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，求得，且，根據(jù)為銳角三角形求出角的取值范圍，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，可得，因?yàn)闉殇J角三角形，即、，故，因?yàn)檎液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，由可得，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，第15題13分，16、17題各15分，18、19題各17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．必須把解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效．15.已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）證明：；（2）求集合中元素個(gè)數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）6．【解析】【分析】（1）由等差和等比數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)結(jié)合已知列方程組計(jì)算可得；（2）先由基本量法求出等差等比數(shù)列的通項(xiàng)和等比數(shù)列的求和公式，再將問(wèn)題等價(jià)于，結(jié)合題意計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)數(shù)列的公差為，所以①，②，由①得，代入②得，所以原結(jié)論得證．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，，所以，所以原式等價(jià)于因?yàn)椋?，即，解得，所以滿足等式的解，共6個(gè)，故集合中元素個(gè)數(shù)為6．16.已知圓：，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作軸，垂足為，點(diǎn)滿足．（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）（1）求點(diǎn)的軌跡的方程并寫(xiě)出其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（直接寫(xiě)出2個(gè)不同類別即可，無(wú)需證明）；（2）圓的一條直徑交軌跡于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線，的斜率都存在時(shí)，證明：的乘積為定值．【答案】（1），答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入圓的方程即可得到點(diǎn)的軌跡方程.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)填寫(xiě)即可.（2）根據(jù)圓和橢圓的對(duì)稱性得到A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，代入斜率公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，，，則，.因?yàn)?，所以，，又點(diǎn)在圓上，所以，代入得，當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以點(diǎn)的軌跡為．簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)如何：范圍：.對(duì)稱性：關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，關(guān)于坐標(biāo)軸軸對(duì)稱.頂點(diǎn)：.離心率：，（寫(xiě)出上面的其中兩個(gè)即可）.【小問(wèn)2詳解】圓的直徑一定過(guò)原點(diǎn)，因?yàn)檐壽E為橢圓，根據(jù)圓和橢圓的對(duì)稱性，A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，.因?yàn)?，，直線的斜率，直線的斜率，所以，即的乘積為定值．17.如圖，在正四棱錐中，，把繞BC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．（1）證明：；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求：（i）點(diǎn)到平面的距離；（ii）平面與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理得出平面，進(jìn)而得出線線垂直；（2）（i）方法一：建系得出平面的法向量，再應(yīng)用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算求解；方法二：先應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面，再應(yīng)用面面平行，進(jìn)而得出點(diǎn)到平面距離；（ii）方法一：分別求出平面與平面的法向量，再應(yīng)用二面角余弦公式計(jì)算求解；方法二：應(yīng)用二面角定義得出為平面與平面所成角，最后計(jì)算邊長(zhǎng)應(yīng)用余弦定理計(jì)算求解.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖1，取中點(diǎn)，連接和，由題意得，且，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫妫琈是BC中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，最大，此時(shí)三棱錐的體積最大．方法一：（i）如圖2，設(shè)正方形中心為O，中點(diǎn)為，由正四棱錐的特征可得兩兩垂直，以O(shè)N，OM，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，直角三角形PMO中，，所以，因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，取，得因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為．（ii），設(shè)平面的法向量為則，即，解得，取，得設(shè)平面與平面夾角為，，因?yàn)椋?，所以平面與平面所成角的大小為．方法二：（i）如圖3，取PA中點(diǎn)，連接和，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，平面，所以平?所以平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫?，點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為．（ii）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面與平面所成角即平面與平面所成角，如圖4，過(guò)點(diǎn)作，連接和，因?yàn)?，所以，所以為平面與平面所成角，在中，AB邊上的高為，由等面積法可得，所以，在中，，因?yàn)槠矫媾c平面所成角的范圍為，所以平面與平面所成角的大小為.18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：曲線恒在曲線的上方；（3）當(dāng)恰有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)，證明：．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由解析式得到函數(shù)定義域，由導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）作差得，令，由導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證明，結(jié)合（1）中結(jié)論得到，從而得證；（3）令，求得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線共有四個(gè)交點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由（2）中結(jié)論，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，得到，由，得，由函數(shù)在上單調(diào)性得，即可求得，同理由，通過(guò)函數(shù)在上單調(diào)性得，即可求得，即可得證.【小問(wèn)1詳解】由得函數(shù)定義域?yàn)?，且，令，即，∴．?dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】．令，，故在上單調(diào)遞增．，即．由（1）可知在單調(diào)遞增，，∴，即，即曲線恒在曲線的上方．【小問(wèn)3詳解】令，得或由題意得直線與兩條曲線共有四個(gè)交點(diǎn)．對(duì)于且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，同（2）可證，當(dāng)時(shí)，曲線恒在曲線的下方如圖所示，，且．由，得．，且在上單調(diào)遞減，，即．．同理：，得，∵，且在上單調(diào)遞增，∴，即，∴.故，即，得證．19.座位錯(cuò)排問(wèn)題是一個(gè)十分有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．現(xiàn)有編號(hào)為的共個(gè)同學(xué)及與其對(duì)應(yīng)的編號(hào)為的座位，即第位同學(xué)的座位編號(hào)為，定義錯(cuò)排數(shù)為將共個(gè)同學(xué)安排在編號(hào)為的共個(gè)座位上，其中有個(gè)同學(xué)不在其對(duì)應(yīng)座位上的情