宜春市2025－2026學年上學期高三期末考試數(shù)學試卷（宜春市教育教學研究中心命制）試卷共4頁，19小題，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1．考查范圍：集合與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、平面向量、復數(shù)、空間向量與立體幾何、數(shù)列、解析幾何。2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上。3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知命題，，則命題的否定為A．， B．，C．， D．，3．已知拋物線，為的焦點，為上的點，則A．3 B． C．2 D．44．已知，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A． B．R C． D．5．已知單位向量，滿足，則A．1 B． C． D．26．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則A． B． C． D．27．已知函數(shù)存在兩個極值點，滿足，則實數(shù)的值為A． B． C． D．8．定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)，使得當時，（是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列為“聚點數(shù)列”，稱為數(shù)列的聚點．已知數(shù)列的首項，滿足，則數(shù)列的聚點的值為A．-1 B．1 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則下列關于的說法正確的是A．的最小正周期是 B．是的一個對稱中心C．直線是的一條對稱軸 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增10．已知在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，上的動點，且，則A．平面B．平面C．三棱錐的體積有最小值D．三棱錐的外接球的表面積是11．若定義域為R的奇函數(shù)滿足，且時，則A． B．當時，C．至少有3個實根 D．在區(qū)間上不可能單調(diào)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，，則的所有非空子集的個數(shù)為________．13．已知，則的取值范圍是________．14．已知雙曲線的左頂點，直線與的右支交于一點，點關于軸對稱的點為．若，則的離心率為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）當時，求在點處的切線方程；（2）當時，求的極值．16．（15分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．（1）求角；（2）若，求的面積的最大值．17．（15分）若數(shù)列的前項積為，滿足且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，且數(shù)列的前項和為，證明：．18．（17分）如圖，四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，為的中點，平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離；（3）在平面內(nèi)是否存在一點，使得直線平面，若不存在，請說明理由；若存在，說明點的軌跡，并求出軌跡和點所確定的平面與平面夾角的余弦值．19．（17分）已知橢圓的短軸長為，由的上頂點、右頂點及右焦點組成的三角形的面積為，直線與交于A，B兩點，直線與交于M，N兩點，為坐標原點．（1）求的方程；（2）若直線OM，ON的斜率之積為，求的值；（3）若，判斷梯形的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

宜春市2025－2026學年上學期高三期末考試數(shù)學參考答案及評分細則1．【答案】B【解析】因為，所以，所以復平面內(nèi)對應的點為，位于第二象限．故選B．2．【答案】B【解析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，故命題的否定為，．故選B．3．【答案】A【解析】因為為上的點，所以，所以，所以．故選A．4．【答案】B【解析】令，則，得，即，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增．故選B．5．【答案】C【解析】因為單位向量，滿足，所以，，所以。故選C。6．【答案】D【解析】由余弦定理及，得，即，所以，所以．故選D．7．【答案】C【解析】由，得。因為存在兩個極值點，，所以，，又，所以，，所以，解得，，所以．故選C．8．【答案】D【解析】由，得，又，故，所以數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以，即，，取，則，有，故。故選D．9．【答案】ACD（每選對1個得2分）【解析】函數(shù)的最小正周期是，故A正確；的對稱中心為，，令，得，故B錯誤；令，，即，，當時，，故C正確；因為，，即，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，由，，故D正確．故選ACD．10．【答案】BD（每選對1個得3分）【解析】如圖，在正方體中，因為，，所以平面，又平面與平面相交，所以平面錯誤，故A錯誤；由E，F(xiàn)分別是棱，上的動點，平面，平面平面，所以平面，故B正確；設，，則，故，所以，故C錯誤；設三棱錐的外接球的半徑為，則，所以，所以三棱錐的外接球的表面積是，故D正確．故選BD．11．【答案】ACD（每選對1個得2分）【解析】在中取得，所以，故A正確；當時，，所以，即，所以，故B錯誤；因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，當時，令，得，把代入中得，所以0，又，所以至少有3個實根，故C正確；由，得，即，因為，且，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故D正確．故選ACD．12．【答案】3【解析】因為，所以的所有非空子集的個數(shù)為．13．【答案】【解析】，所以，又，即，解得或，所以或，即0或．14．【答案】【解析】設，，，則，，又，則，，所以①．因為點在上，所以，則②，將②代入①得，所以，即，所以的離心率為．15．解：（1）當時，，，則，（2分）則，，（4分）故所求切線方程為，即．（6分）（2）當時，，，則，（7分）令，得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；（9分）令，得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，（11分）所以的極小值為，無極大值．（13分）【評分細則】1．第一問：按評分標準給分，最后結(jié)果直線方程若是其他形式不扣分，未分別計算各值直接計算其結(jié)果，若正確不扣分；2．第二問：求出了極小值沒有說明無極大值扣1分．16．解：（1）由，得，（1分）即，即，即，（3分）又是銳角三角形，所以，所以，（5分）故，即．（7分）（2）由余弦定理得，（9分）即，當且僅當時等號成立，（12分）所以，即面積的最大值為．（15分）【評分細則】1．第一問：未說明銳角三角形中角的范圍扣1分；2．第二問：未說明不等式取等號的條件扣1分，方法不同但結(jié)果正確給滿分。17．（1）解：當時，。（1分）當時，，，所以，（3分）所以數(shù)列從第2項開始是以為首項、2為公比的等比數(shù)列。所以，即；（5分）當時，不符合上式．（6分）所以數(shù)列的通項公式（8分）（2）證明：由（1）知，，（11分）所以．（14分）所以得證．（15分）【評分細則】1．第一問：漏討論時通項式的值扣1分．中間步驟部分跳躍但結(jié)果正確不扣分；2．第一問：結(jié)果寫成也給分；3．第二問：求和時列式正確結(jié)果錯誤給1分。18．（1）證明：如圖，連接，因為為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為菱形，，同理，所以，（2分）因為平面，平面平面，平面平面，所以平面，（4分）又平面，所以平面平面.（5分）（2）解：以的中點為坐標原點，易知OA，OE，OP兩兩相互垂直，以OA，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，（6分）則，，．（7分）設平面的法向量為，則即令，得，，則平面的一個法向量為．（8分）則點到平面的距離．（10分）（3）解：假設在平面內(nèi)存在一點使得直線平面，設點坐標為，由，則．因為平面，所以，即，（11分）所以點的軌跡是一條直線，當時，；當時，，延長AD，BC交于點，則，，（12分）所以，所以點的軌跡是過點且與平行的直線．（13分）設點的軌跡和點所確定的平面為，的法向量為，則即令，得，則平面的一個法向量為．（15分）設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．（17分）【評分細則】1．第一問：證明過程中省略關鍵步驟酌情扣分，思路方法不同，證明理由充分不扣分；2．第二問：建系正確給1分，結(jié)果未分母有理化扣1分；3．第三問：結(jié)果未分母有理化扣1分．19．解：（1）設的半焦距為，由題意得，解得（3分）所以的方程為．（4分）（2）設，，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，，可得，（5分）由韋達定理可得，（6分）所以，（7分）所以，（8分）