順義區(qū)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高三數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，由并集的定義求解即可.【詳解】，，則.故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為的形式，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，從而得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第幾象限.【詳解】則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第二象限.故選：B.3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，又，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，符合，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：B．4.已知向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算，再根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，，則，故.故選：D5.若雙曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線漸近線方程，結(jié)合待定系數(shù)法即可求解.【詳解】由雙曲線的漸近線方程為，可得，再由過點(diǎn)可得：，代入得：，則，所以雙曲線的方程為，故選：A6.已知是等比數(shù)列，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，則，再解方程組結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，，，代入，，解得，，．故選：C．7.在量子計(jì)算研發(fā)中，某量子計(jì)算機(jī)處理任務(wù)的時(shí)間（單位：秒），其中為常數(shù)，是量子比特的數(shù)量.已知當(dāng)量子比特?cái)?shù)量從個(gè)增加到個(gè)時(shí)，處理時(shí)間增加了10秒；當(dāng)量子比特?cái)?shù)量從個(gè)增加到個(gè)時(shí)，處理時(shí)間增加了20秒，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件列出方程通過對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算出的值，然后再求對(duì)應(yīng)條件下即可.【詳解】由于當(dāng)量子比特?cái)?shù)量從個(gè)增加到個(gè)時(shí)，處理時(shí)間增加了10秒，所以，解得：,當(dāng)量子比特?cái)?shù)量從個(gè)增加到個(gè)時(shí)，處理時(shí)間增加了20秒,則，即，解得：，故選：D8.已知函數(shù)滿足，則“單調(diào)遞減”是“存在，對(duì)任意的，均有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行分析得解.【詳解】充分性分析：，，單調(diào)遞減，，，，，，，“單調(diào)遞減”是“存在，對(duì)任意的，均有”的充分條件；必要性分析：設(shè)，取，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)；故存在，對(duì)任意的，均有，但是不是單調(diào)遞減函數(shù)，故“單調(diào)遞減”是“存在，對(duì)任意的，均有”的不必要條件；綜上可知，“單調(diào)遞減”是“存在，對(duì)任意的，均有”的充分不必要條件.故選：A.9.過直線上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的面積與面積相等，則的一個(gè)可能取值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的面積與的面積相等這一條件，結(jié)合圓的切線性質(zhì)，得出的長度，最后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出的范圍.【詳解】由，得，所以.因?yàn)椋运狞c(diǎn)共圓，所以，所以，又，所以，又，所以=1，因此得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且的最小值為圓心到直線的距離,，因?yàn)?，所以，解得，在各選項(xiàng)中只有選項(xiàng)C滿足.故選：C10.如圖，在水平面上有兩個(gè)單位圓和，在時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)甲從點(diǎn)（與水平面平行）開始按逆時(shí)針方向在圓上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)乙從點(diǎn)（為圓的最低點(diǎn)）開始按逆時(shí)針方向在圓上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，甲轉(zhuǎn)一周需要秒，乙轉(zhuǎn)一周需要秒.在時(shí)刻，設(shè)質(zhì)點(diǎn)甲的豎直高度為，質(zhì)點(diǎn)乙的豎直高度為，設(shè)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①在上的單調(diào)遞減；②若，則的最小值為；③若，則的最大值為；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題圖和旋轉(zhuǎn)周期，可以得出在時(shí)甲、乙的運(yùn)動(dòng)方向，從而得出、的單調(diào)性，從而判斷結(jié)論①；根據(jù)，可以得出此時(shí)甲、乙的位置，再代入時(shí)刻進(jìn)行計(jì)算即可判斷結(jié)論②；根據(jù)甲、乙的實(shí)際旋轉(zhuǎn)，可以得出旋轉(zhuǎn)軌跡，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷結(jié)論③.【詳解】根據(jù)題意得甲的角速度，乙的角速度.①在時(shí)：甲從與水平面平行的位置向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，單調(diào)遞減；乙從最低點(diǎn)向最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，單調(diào)遞增.由，故單調(diào)遞減，故①正確；②要使，需同時(shí)滿足且.當(dāng)時(shí)，是甲到最低點(diǎn)的時(shí)刻；當(dāng)時(shí)，是乙到最高點(diǎn)的時(shí)刻.取，兩時(shí)刻重合，，此時(shí)，故②正確；③由題意得，，則，代入，化簡得.令，則，對(duì)稱軸，此時(shí)，所以的最大值不是1，故③錯(cuò)誤.綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在的展開式中，的系數(shù)為_____________.【答案】【解析】【分析】先求出的展開式的通項(xiàng)，令，求出代入通項(xiàng)即可得出答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，，令，解得：，則.故答案為：.12.已知點(diǎn)在拋物線C：上，則點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為__________．【答案】2【解析】【分析】將點(diǎn)代入拋物線方程，求出及準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因?yàn)樵趻佄锞€C：上，所以，解得，故拋物線C的準(zhǔn)線為，所以點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.13.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，記函數(shù)，若，則的最小值為________；若的最大值為，則的一個(gè)取值為____________．【答案】①.②.（答案不唯一）.【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖像變換，求得，得到，根據(jù)，得到，求得，進(jìn)而得到的最小值；再由的最大值為，得到，求得，得到答案.【詳解】將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位長度，得到，則，因?yàn)?，可得，所以，解得，因?yàn)?，所以的最小值為，若的最大值為，即，即，所以，所以的一個(gè)取值可以為.故答案為：；（答案不唯一）.14.由兩個(gè)全等的正四棱臺(tái)組合而得到的幾何體（如圖），，分別在上，滿足，則幾何體的體積為__________；___________.【答案】①.②.【解析】【分析】先求面積，再求三棱錐和的高度，進(jìn)一步求三棱錐的體積，且根據(jù)兩個(gè)三棱錐和全等得出幾何體的體積；構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理，根據(jù)已知線段長度計(jì)算，得出長度.【詳解】幾何體看作以為公共底面的兩個(gè)三棱錐和的組合，又因?yàn)樵谡睦馀_(tái)中，，，所以，又因?yàn)?，連接，則為等腰直角三角形，其面積為：，連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則垂直于面且為三棱錐的高，平移到，則，即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，分別是，的中點(diǎn)，且，為等腰直角三角形，所以，，，直角三角形中，由勾股定理可得，所以幾何體的體積,連接，交于點(diǎn)，連接，，由題意可得，幾何體是由兩個(gè)全等的正四棱臺(tái)組合，所以平行且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平行，又因?yàn)槭莾蓚€(gè)全等的正四棱臺(tái)組合的組合體的高，所以，為直角三角形，由勾股定理可得：.故答案為：，.15.已知無窮數(shù)列前項(xiàng)和為，若存在，當(dāng)時(shí)，，則稱為“平衡數(shù)列”.給出下列四個(gè)結(jié)論：①已知數(shù)列，則數(shù)列為“平衡數(shù)列”；②若等比數(shù)列為“平衡數(shù)列”，則公比為；③若數(shù)列和均為“平衡數(shù)列”，則為“平衡數(shù)列”；④存在兩個(gè)公差均不為的等差數(shù)列和，其中數(shù)列，，和均為“平衡數(shù)列”；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.【答案】②④【解析】【分析】①利用反證法求證；②分和兩種情況討論；③舉例說明，數(shù)列為；數(shù)列為；④舉例說明，數(shù)列為；數(shù)列為.【詳解】因?yàn)?，所以，假設(shè)存在，使，則，則，則，因?yàn)?，所以，故假設(shè)不成立，故①錯(cuò)誤；若公比為，則，顯然此時(shí)不為“平衡數(shù)列”，則公比，則，則由，即，可得，因?yàn)榈缺葦?shù)列為“平衡數(shù)列”，所以，則，故②正確；設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，的前項(xiàng)和為，設(shè)數(shù)列為；數(shù)列為，則，，則數(shù)列和均為“平衡數(shù)列”，但，且數(shù)列為遞增數(shù)列，故不是“平衡數(shù)列”，故③錯(cuò)誤；設(shè)數(shù)列、、、的前項(xiàng)和分別為，，設(shè)數(shù)列為；數(shù)列為，則，，故數(shù)列，，和均為“平衡數(shù)列”，故④正確.故答案為：②④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)，，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將直接代入，化簡求值即可；（2）先根據(jù)求出的表達(dá)式，再結(jié)合的取值范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【小問1詳解】.【小問2詳解】因?yàn)?當(dāng)，，所以，所以的最大值為，此時(shí).17.如圖，在四棱錐中，，底面是菱形，其中.（1）若是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，求證：；（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先由可得平面，再由線面平行的性質(zhì)可得線線平行；（2）解法一：取的中點(diǎn)為，再分別以坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量計(jì)算面面角的余弦值；解法二：取的中點(diǎn)為，再分別以為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法計(jì)算面面的夾角；解法三：設(shè)，再分別以為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法計(jì)算面面的夾角.【小問1詳解】證明：連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑危?又因?yàn)槠矫?，平面所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫嫠?【小問2詳解】（法一）取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭橇庑?，，所?所以，又，所以因?yàn)槠矫?，所以，即兩兩相互垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，所以可得，所以，令，則，所以，.又因?yàn)椋?設(shè)平面的法向量為，則，即，所以.令，則，．所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則（法二）取的中點(diǎn)為，連接，則，又，所以因?yàn)槠矫?，所以．所以兩兩相互垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，設(shè)平面的法向量為，則，即所以，所以，，令，所以，.又，設(shè)平面的法向量為，則，即，所以，所以，令，．所以，.設(shè)平面與平面的夾角為，則.（法三）連接，則，設(shè).因?yàn)槠矫?，過作的平行線，則平面.所以．即兩兩相互垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，所以所以，令，則，所以，又，.設(shè)平面的法向量為，則，即.所以，令，則，，所以，.設(shè)平面與平面的夾角為，則.18.某高中舉辦“京劇臉譜體驗(yàn)展”，通過增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)讓學(xué)生沉浸式感受京劇文化魅力.為了解全校學(xué)生的體驗(yàn)效果，研究團(tuán)隊(duì)在三個(gè)不同年級(jí)中各隨機(jī)抽取人作為樣本，統(tǒng)計(jì)其體驗(yàn)時(shí)長，并通過問卷方式調(diào)查認(rèn)知度提升效果.已知體驗(yàn)時(shí)長（單位：分鐘）分為三段，，，各段人數(shù)及認(rèn)知度顯著提升人數(shù)如下表：人數(shù)年級(jí)體驗(yàn)時(shí)長體驗(yàn)時(shí)長體驗(yàn)時(shí)長認(rèn)知度顯著提升高一年級(jí)55人30人15人70人高二年級(jí)40人45人15人50人高三年級(jí)25人30人45人30人假設(shè)三個(gè)年級(jí)人數(shù)相同，以頻率估計(jì)概率.（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生為高二年級(jí)學(xué)生且體驗(yàn)時(shí)長的概率；（2）從全校所有“認(rèn)知度顯著提升”的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記為抽取的3人中高二年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)學(xué)生的認(rèn)知提升度只受年級(jí)與體驗(yàn)時(shí)長的影響，且當(dāng)“體驗(yàn)時(shí)長”時(shí)，每個(gè)年級(jí)的學(xué)生“認(rèn)知度顯著提升”的概率相等，當(dāng)“體驗(yàn)時(shí)長”時(shí)，高一學(xué)生“認(rèn)知度顯著提升”的概率為；高三學(xué)生“認(rèn)知度顯著提升”的概率為，判斷，的大小關(guān)系.（結(jié)論無需證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型計(jì)算即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意列出高一年級(jí)與高三年級(jí)“認(rèn)知度顯著提升”概率等式，從而求得，，再比較大小即可.【小問1詳解】設(shè)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生為高二年級(jí)學(xué)生且體驗(yàn)時(shí)長為事件，則中包含基本事件總數(shù)，所有參與體驗(yàn)的學(xué)生總數(shù)為人，所以.【小問2詳解】“認(rèn)知度顯著提升”的學(xué)生共有人，其中高二年級(jí)有人，所占比例為，所以的所有可能取值為，，，，.所以的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望.小問3詳解】.不妨設(shè)當(dāng)“體驗(yàn)時(shí)長”時(shí)，每個(gè)年級(jí)的學(xué)生“認(rèn)知度顯著提升”的概率相等且為，則可得①，②，由①得，由②得，所以=，即.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，分別是的左、右頂點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).若，求的值.【答案】（1）；離心率（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）設(shè)，由，求得，得到，再由直線方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理證得，結(jié)合，得到，求得，代入橢圓的方程，求得的值，結(jié)合斜率公式，即可求解.【小問1詳解】解：由橢圓的右焦點(diǎn)為，是的左、右頂點(diǎn)，且，可得，解得，則，所以橢圓的方程為，離心率.【小問2詳解】解：設(shè)，，因?yàn)?，可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，所以，可得，即，下面證明：三點(diǎn)共線.因?yàn)?，，所以①又因?yàn)橹本€方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，，則所以，即，所以三點(diǎn)共線，又因?yàn)?，可得，所以，可得，解得，將其代入橢圓的方程，可得，解得，所以，所以實(shí)數(shù)的值為.20.已知函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線.（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)；（3）記的零點(diǎn)為，當(dāng)直線與軸相交時(shí)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為.若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程；（2）先用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證；（3）先解得，再構(gòu)造函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)判斷成立的條件可得.【小問1詳解】由，可得，.又因?yàn)闀r(shí)，.因?yàn)橹本€是曲線在點(diǎn)處的切線，所以直線的方程為，所以，