2025~2026學年度第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學試題本試卷共19道題，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效.2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.4.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.第I卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的斜率為（）A.0 B. C. D.不存在2.點關(guān)于平面對稱點的坐標為（）A B. C. D.3.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.4.某農(nóng)科所在甲、乙、丙三個地塊培育同一種苗，甲地塊培育的一等種苗占比95%，乙地塊培育的一等種苗占比80%，丙地塊培育的一等種苗占比70%，甲、乙、丙培育的種苗數(shù)分別占總數(shù)的40%、30%、30%，將三個地塊培育的種苗混放在一起.從這批種苗中隨機抽取一株，它是一等種苗的概率為（）A. B. C. D.5.直線被圓所截得的最短弦長為（）A.5 B. C.10 D.6.除以9的余數(shù)為（）A.1 B.2 C.7 D.87.已知直線，異面，上有，，，四個點，上有，，三個點，這七個點中任意兩點可連成直線，其中異面直線有（）對A.37 B.54 C.66 D.678.已知，為圓的某直徑的兩端點，動點在拋物線上，則的最小值為（）A. B.9 C. D.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，，，為空間四個兩兩不同的點，則下列式子為零向量的是（）A.B.C.D.10.曲線左、右焦點分別為，，直線與曲線的左、右兩支分別交于，兩點，則（）A.且B.C.若直線與圓相切，則D.若，則的內(nèi)切圓半徑為11.已知的二項式展開式中，二項式系數(shù)和為256，所有項的系數(shù)絕對值的和為，則（）A.B.二項式系數(shù)最大的項為C.第6項的系數(shù)為448D.所有奇數(shù)項的系數(shù)和為3281第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.為迎接溫馨祥和的2026年農(nóng)歷春節(jié)，某司法部門安排甲、乙、丙、丁四人去富強、民主、文明、和諧四個社區(qū)進行普法宣傳，要求每人必須去社區(qū)且只能去一個社區(qū)，且每個社區(qū)必須有人去宣傳，要求甲不去富強社區(qū)，乙或丙去民主社區(qū)，則不同的安排方法有___________種.13.已知事件，相互獨立，，，則______.14.數(shù)學家歐拉1765年在《三角形幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上”，這就是著名的歐拉線定理后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點，，，則的歐拉線的方程為__________.四、解答題：本大題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線，，.（1）若，為直線上的點，且，，求直線，的方程；（2）若，求實數(shù)值及，間的距離.16.已知橢圓的短軸長為4，離心率為，點，直線過點與曲線交于，兩點，為坐標原點.（1）求的方程；（2）當直線斜率不存在時，求過，，三點的圓的方程；（3）若，求直線的方程.17.已知：如圖，，，和都垂直于平面，是的中點，點滿足.（1）證明：；（2）記經(jīng)過，，，四點的球的球心為.（ⅰ）求球被平面所截得截面面積.（ⅱ）求與平面所成角的正弦值.18.某校組織趣味知識競賽，共有3道題目，甲、乙同時依次作答，3道試題作答完畢后比賽結(jié)束.規(guī)定：對同一道題目，若兩人同時答對或答錯，每人得0分；若一人答對另一人答錯，答對的得10分，答錯的得-10分，比賽結(jié)束累加得分為正數(shù)者獲勝，兩人分別獨立答題互不影響，每人每次的答題結(jié)果也互不影響.設(shè)甲、乙兩名選手正確回答每道題的概率分別為，.（1）甲、乙同時回答1道題時，分別求乙得10分、0分和分的概率；（2）求比賽結(jié)束后乙獲勝的概率；（3）求在乙獲勝的條件下，乙恰好得10分的概率.19.在平面直角坐標系中，，，動點與，所確定的直線斜率滿足，記點的軌跡為曲線，直線，.（1）求的方程；（2）動點在上，過點作曲線的切線，分別交，于點，，求的值；（3）動點，均在曲線上，且位于的兩側(cè)，現(xiàn)將坐標軸平面沿直線折成直二面角，求折后長度的最小值.2025~2026學年度第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學試題本試卷共19道題，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效.2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.4.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.第I卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的斜率為（）A.0 B. C. D.不存在【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式方程（，為常數(shù)），其中就是直線的斜率，所以要確定直線的斜率，只需根據(jù)斜截式方程的形式，找出對應(yīng)的值即可.【詳解】因為（，為常數(shù)），其中為直線的斜率，為直線在軸上的截距，將直線與斜截式方程進行對比，可得，，因此，直線的斜率為.故選：B.2.點關(guān)于平面對稱點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點關(guān)于坐標平面的對稱點的坐標為，即可求解.【詳解】點關(guān)于平面對稱點的坐標為.故選：A3.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對分和兩種情況討論，求拋物線的焦點坐標.【詳解】當時，開口向上，焦點在軸正半軸上，此時，所以拋物線焦點坐標為；當時，開口向下，焦點在軸負半軸上，此時，所以拋物線焦點坐標為.故選：D4.某農(nóng)科所在甲、乙、丙三個地塊培育同一種苗，甲地塊培育的一等種苗占比95%，乙地塊培育的一等種苗占比80%，丙地塊培育的一等種苗占比70%，甲、乙、丙培育的種苗數(shù)分別占總數(shù)的40%、30%、30%，將三個地塊培育的種苗混放在一起.從這批種苗中隨機抽取一株，它是一等種苗的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別計算從甲、乙、丙每塊地中抽取到一等種苗的概率，再利用全概率公式計算最終結(jié)果.【詳解】記事件表示“隨機抽取一株是一等種苗”，事件表示“抽取的種苗來自甲地塊”，事件表示“抽取的種苗來自乙地塊”，事件表示“抽取的種苗來自丙地塊”，則，，，，，，由全概率公式，因此從這批種苗中隨機抽取一株，它是一等種苗的概率為.故選：D5.直線被圓所截得的最短弦長為（）A.5 B. C.10 D.【答案】C【解析】【分析】求出直線所過定點，再求出圓心的坐標和半徑，要使直線被圓截得的線段長度最小，需圓心到直線的距離最大，的最大值為圓心到定點的距離，即可得出結(jié)論．【詳解】直線經(jīng)過定點，圓表示以為圓心，以為半徑的圓，設(shè)圓心到直線的距離為，要使直線被圓截得的線段長度最小，需最大，由題意可知，的最大值為與兩點間的距離，即.所以，直線被圓截得的最短的弦長為．故選：C．6.除以9的余數(shù)為（）A.1 B.2 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】先將轉(zhuǎn)化為與9相關(guān)的表達式，再利用二項式定理展開，通過分析展開式各項與9的關(guān)系，從而確定被9除所得的余數(shù)即可.【詳解】因為，又因為，所以，根據(jù)二項式定理，當，，時，則：由于9是9的倍數(shù)，那么對于展開式中的每一項（），當時，是9的倍數(shù)，所以這些項都能被9整除，當時，該項為，因為展開式中除最后一項外，其余各項都能被9整除，所以除以9的余數(shù)為（因為余數(shù)要為正數(shù)），則除以9的余數(shù)就相當于除以9的余數(shù)，，所以余數(shù)為7.故選：C.7.已知直線，異面，上有，，，四個點，上有，，三個點，這七個點中任意兩點可連成直線，其中異面直線有（）對A.37 B.54 C.66 D.67【答案】A【解析】【分析】首先共可得條不同的直線，共有對直線，排除掉共面的即可得解.【詳解】從上，，，取一個點和上，，取一個點，確定的直線數(shù)有條，再加上直線，，則共可得條不同的直線，則共有對直線，其中直線與新的條直線都共面，直線與新的條直線也都共面，共24對，新的條直線中，若直線過點，則形成直線，共有對共面，直線上有4個點，故共有對共面，新的條直線中，若直線過點，則形成4條直線，其中兩兩共面，有對，直線上有3個點，故共有對共面，故異面直線有對.故選：A8.已知，為圓的某直徑的兩端點，動點在拋物線上，則的最小值為（）A. B.9 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的加減運算得出，再令得出，將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上動點和圓上動點距離的最小值即可求解.【詳解】因為為圓的直徑，所以，則，令，則點為直線與圓的交點，且位于線段內(nèi)，則，設(shè)，且，則，則當時，，因為，等號成立時三點共線，所以，則的最小值為.故選：C二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，，，為空間四個兩兩不同的點，則下列式子為零向量的是（）A.BC.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】對于A選項，，故A錯誤；對于B選項，，故B正確；對于C選項，，故C錯誤；對于D選項，，故D正確.故選：BD.10.曲線左、右焦點分別為，，直線與曲線的左、右兩支分別交于，兩點，則（）A.且B.C.若直線與圓相切，則D.若，則的內(nèi)切圓半徑為【答案】ACD【解析】【分析】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后結(jié)合韋達定理可判斷A的正誤，利用特例可判斷B的正誤，根據(jù)相切求出直線的斜率，再求出的縱坐標后求出焦點三角形面積后判斷C，根據(jù)垂直求出焦半徑的和、積，根據(jù)等積法求得內(nèi)切圓半徑后可判斷D的正誤.【詳解】對于A，由可得，因為直線與雙曲線的左右支各交一點，故，故，故A正確；對于B，設(shè)，而，故，故，而，故，同理，故，取，由A的分析可得為方程的兩個不同的解，故，而，故，故B錯誤；對于C，因為直線與圓相切，故，故，由A的分析可得聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消元后的方程為：，故，故，故，故C正確；對于D，，故，故，而，故，所以，故，故，故，故且，故，其中為內(nèi)切圓半徑，故，故D正確.故選：ACD.11.已知的二項式展開式中，二項式系數(shù)和為256，所有項的系數(shù)絕對值的和為，則（）A.B.二項式系數(shù)最大的項為C.第6項的系數(shù)為448D.所有奇數(shù)項的系數(shù)和為3281【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)二項式定理相關(guān)性質(zhì)計算即可.【詳解】由題意可得，二項式系數(shù)之和為，解得，對于A選項，因為所有項的系數(shù)絕對值的和為，所以，解得，故A錯誤；對于B選項，當時，二項式系數(shù)最大的項是第項，，故B正確；對于C選項，，故第6項的系數(shù)為，故C錯誤；對于D選項，令，令，則，令，，所以所有奇數(shù)項之和為，將代入可得，所有奇數(shù)項的系數(shù)和為3281；將代入可得，所有奇數(shù)項系數(shù)和為3281，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.為迎接溫馨祥和的2026年農(nóng)歷春節(jié)，某司法部門安排甲、乙、丙、丁四人去富強、民主、文明、和諧四個社區(qū)進行普法宣傳，要求每人必須去社區(qū)且只能去一個社區(qū)，且每個社區(qū)必須有人去宣傳，要求甲不去富強社區(qū)，乙或丙去民主社區(qū)，則不同的安排方法有___________種.【答案】8【解析】【分析】乙去民主社區(qū)，先安排甲再排另外兩人，則有，同理丙去民主社區(qū)，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況討論：乙去民主社區(qū)，此時甲只能去文明或和諧社區(qū)，再排另外兩人，則有；同理丙去民主社區(qū)也有種方法，故不同的安排方法有種.故答案為：813.已知事件，相互獨立，，，則______.【答案】##【解析】【分析】先利用獨立事件的性質(zhì)求出，再通過條件概率公式完成計算即可.【詳解】由相互獨立，得，代入，，則，即，因為，所以.故答案為：14.數(shù)學家歐拉1765年在《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上”，這就是著名的歐拉線定理后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點，，，則的歐拉線的方程為__________.【答案】【解析】【分析】求出重心坐標，求出邊上的高和邊上的高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標，即可求出歐拉線方程.【詳解】因為的頂點，，，所以的重心為，即，可得直線的斜率為，則邊上的高所在的直線斜率為，則方程為，即，直線的斜率為，則邊上的高所在的直線斜率為，則方程為，即，聯(lián)立方程，解得，即的垂心為，則直線斜率為，則可得直線方程為，故的歐拉線方程為.故答案為：.四、解答題：本大題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線，，.（1）若，為直線上的點，且，，求直線，的方程；（2）若，求實數(shù)的值及，間的距離.【答案】（1）答案見解析（2）；【解析】【分析】（1）由題意可求，根據(jù)兩點間的距離公式求解，再由，，求解即可.（2）由直線平行求解，再由兩平行線間的距離公式求解即可.【小問1詳解】由條件，，因為，，則，即有當時，，；當時，，.【小問2詳解】當時，必有，且與不重合.若時，與重合，不符合題意，舍去，時，此時，與間的距離為.16.已知橢圓的短軸長為4，離心率為，點，直線過點與曲線交于，兩點，為坐標原點.（1）求的方程；（2）當直線的斜率不存在時，求過，，三點的圓的方程；（3）若，求直線的方程.【答案】（1）（2）（3）（或?qū)懗桑窘馕觥俊痉治觥浚?）利用橢圓短軸得出，結(jié)合離心率代入求得，從而求得橢圓方程；（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心為兩弦中垂線的交點進行求解；（3）根據(jù)題意，直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線，由，則，即，利用韋達定理化簡求解.【小問1詳解】根據(jù)條件，，離心率，則，可得曲線；【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，不妨假設(shè)在軸上方，可得，，，的中點坐標為，則線段的中垂線方程為，取得，從而可得過，，三點的圓的圓心為，半徑，因此過，，三點的圓的方程為；【小問3詳解】當直線的斜率為0時，，因此直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線，，，，，由，則，即，聯(lián)立，整理，方程的判別式，由韋達定理可得，可得，解得，因此直線的方程為.17.已知：如圖，，，和都垂直于平面，是中點，點滿足.（1）證明：；（2）記經(jīng)過，，，四點的球的球心為.（ⅰ）求球被平面所截得的截面面積.（ⅱ）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）由條件可得面，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得線線垂直，再由線面垂直的判定定理可得面，即可求證.（2）（i）建立空間直角坐標系，利用球的截面性質(zhì)求解即可.（ii）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】由已知面，面，從而，又因為，，，則是以為斜邊的等腰直角三角形，取中點為，如圖，則，由是的中點，點滿足，則為的中位線，可得，則，又且，則平面，又平面，所以.【小問2詳解】（ⅰ）由于，則，，，滿足，所以，又，從而可得三棱錐的外接球的直徑為線段，因此球心為中點，半徑，如圖，以為空間坐標系原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，取，則，，從而，又因，則球心到平面的距離為，則球被平面所截得的截面為圓面，其圓的半徑為，因此截面的面積為；（ⅱ）由（i）可知平面的一個法向量為，且，因此直線與平面所成角的正弦值為.18.某校組織趣味知識競賽，共有3道題目，甲、乙同時依次作答，3道試題作答完畢后比賽結(jié)束.規(guī)定：對同一道題目，若兩人同時答對或答錯，每人得0分；若一人答對另一人答錯，答對的得10分，答錯的得-10分，比賽結(jié)束累加得分為正數(shù)者獲勝，兩人分別獨立答題互不影響，每人每次的答題結(jié)果也互不影響.設(shè)甲、乙兩名選手正確回答每道題的概率分別為，.（1）甲、乙同時回答1道題時，分別求乙得10分、0分和分的概率；（2）求比賽結(jié)束后乙獲勝的概率；（3）求在乙獲勝的條件下，乙恰好得10分的概率.【答案】（1）;;;（2）（3）【解析】【分析】（1）按乙得分的三種場景，分別用獨立事件乘法、互斥事件加法計算概率；（2）先分類乙獲勝的得分情況，再用組合數(shù)和獨立事件乘法，分別計算每類得分的概率，最后將三類得分的概率相加，得到乙獲勝