考研數(shù)2考試題目及答案姓名：_____?準(zhǔn)考證號(hào)：_____?得分：__________

一、選擇題(每題2分，總共10題)

1.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln(1+x)

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是

A.-8

B.2

C.8

D.0

3.極限lim(x→0)(sinx)/x的值是

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是

A.∑(n=1to∞)1/n

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

C.∑(n=1to∞)1/n^2

D.∑(n=1to∞)n

5.函數(shù)f(x)=sinx在區(qū)間[0,π]上的積分值是

A.0

B.1

C.π

D.2

6.微分方程y''-4y=0的通解是

A.y=C1e^2x+C2e^-2x

B.y=C1sin2x+C2cos2x

C.y=C1x+C2x^2

D.y=C1e^x+C2e^-x

7.下列函數(shù)中，在x=0處取得極小值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

8.曲線y=x^3在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率是

A.1

B.2

C.3

D.4

9.下列積分中，值不為0的是

A.∫[0,π]sinxdx

B.∫[0,π]cosxdx

C.∫[0,π]sinxcosxdx

D.∫[0,π]1dx

10.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/2)^n的和是

A.1/2

B.1

C.2

D.∞

二、填空題(每題2分，總共10題)

1.函數(shù)f(x)=x^2在x=1處的導(dǎo)數(shù)是__________。

2.極限lim(x→2)(x^2-4)/x-2的值是__________。

3.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1/2)^n的前3項(xiàng)和是__________。

4.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的積分值是__________。

5.微分方程y'-2y=0的通解是__________。

6.曲線y=sinx在x=π/2處的切線方程是__________。

7.函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=0處的極值是__________。

8.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)1/n^3的和是__________。

9.函數(shù)f(x)=cosx在區(qū)間[0,π/2]上的積分值是__________。

10.微分方程y''+y=0的通解是__________。

三、多選題(每題2分，總共10題)

1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln(1+x)

2.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是

A.∑(n=1to∞)1/n

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

C.∑(n=1to∞)1/n^2

D.∑(n=1to∞)n

3.下列積分中，值不為0的是

A.∫[0,π]sinxdx

B.∫[0,π]cosxdx

C.∫[0,π]sinxcosxdx

D.∫[0,π]1dx

4.下列函數(shù)中，在x=0處取得極小值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

5.下列微分方程中，其通解為指數(shù)函數(shù)的是

A.y''-4y=0

B.y''-2y'+y=0

C.y''+4y=0

D.y''+y=0

6.下列級(jí)數(shù)中，發(fā)散的是

A.∑(n=1to∞)1/n

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

C.∑(n=1to∞)1/n^2

D.∑(n=1to∞)1/n^3

7.下列函數(shù)中，在x=0處取得極大值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

8.下列積分中，值等于π的是

A.∫[0,π]sinxdx

B.∫[0,π]cosxdx

C.∫[0,π]sinxcosxdx

D.∫[0,π]1dx

9.下列微分方程中，其通解為三角函數(shù)的是

A.y''-4y=0

B.y''-2y'+y=0

C.y''+4y=0

D.y''+y=0

10.下列級(jí)數(shù)中，其部分和有界的是

A.∑(n=1to∞)1/n

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

C.∑(n=1to∞)1/n^2

D.∑(n=1to∞)1/n^3

四、判斷題(每題2分，總共10題)

1.函數(shù)f(x)=x^2在x=0處的導(dǎo)數(shù)是0。

2.極限lim(x→0)(sinx)/x的值是1。

3.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1/2)^n是收斂的。

4.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的積分值是e-1。

5.微分方程y'-2y=0的通解是y=Ce^2x。

6.曲線y=sinx在x=π/2處的切線方程是y=x-π/2。

7.函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=0處的極值是0。

8.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)1/n^3的和是有限的。

9.函數(shù)f(x)=cosx在區(qū)間[0,π/2]上的積分值是1。

10.微分方程y''+y=0的通解是y=C1sinx+C2cosx。

五、問答題(每題2分，總共10題)

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x的二階導(dǎo)數(shù)。

2.討論級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/n)的收斂性。

3.求函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的積分值。

4.解微分方程y''-4y=0。

5.求曲線y=sinx在x=π/4處的切線方程。

6.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=0處的極值。

7.求級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1/2)^n的前5項(xiàng)和。

8.求函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的積分值。

9.解微分方程y'-2y=0。

10.求函數(shù)f(x)=cosx在區(qū)間[0,π/2]上的積分值。

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)，因?yàn)槠渥笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

2.C

解析：f(x)=x^3-3x在x=-2時(shí)取值為-8，在x=2時(shí)取值為8，故最大值為8。

3.B

解析：這是著名的極限，lim(x→0)(sinx)/x=1。

4.C

解析：p級(jí)數(shù)中，當(dāng)p>1時(shí)收斂，1/n^2的p值為2，故收斂。

5.D

解析：∫[0,π]sinxdx=-cosx|_[0,π]=-cosπ-(-cos0)=2。

6.A

解析：y''-4y=0的特征方程為r^2-4=0，解得r=±2，故通解為y=C1e^2x+C2e^-2x。

7.B

解析：f(x)=-x^2在x=0處取得極小值0。

8.C

解析：y=x^3在點(diǎn)(1,1)處的導(dǎo)數(shù)即切線斜率為y'=3x^2，在x=1時(shí)為3。

9.A

解析：∫[0,π]sinxdx=2，其余積分均為0。

10.B

解析：這是等比級(jí)數(shù)，首項(xiàng)為1，公比為1/2，和為1/(1-1/2)=1。

二、填空題答案及解析

1.2

解析：f'(x)=2x，在x=1處f'(1)=2。

2.2

解析：利用洛必達(dá)法則，lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)(2x)/1=4。

3.7/8

解析：前3項(xiàng)和為1+(-1/2)+(-1/4)=7/8。

4.e-1

解析：∫[0,1]e^xdx=e^x|_[0,1]=e-1。

5.Ce^2x

解析：y'-2y=0的特征方程為r-2=0，解得r=2，故通解為y=Ce^2x。

6.y=0

解析：y=sinx在x=π/2處的導(dǎo)數(shù)為cosx，cos(π/2)=0，故切線斜率為0，方程為y=0。

7.極小值0

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=0，f(1)=-2，f(-1)=-2，故x=0處為極小值0。

8.π^3/6

解析：p級(jí)數(shù)中，當(dāng)p>1時(shí)收斂，1/n^3的p值為3，和為π^3/6（近似值）。

9.1

解析：∫[0,π/2]cosxdx=sinx|_[0,π/2]=sin(π/2)-sin0=1。

10.y=C1sinx+C2cosx

解析：y''+y=0的特征方程為r^2+1=0，解得r=±i，故通解為y=C1sinx+C2cosx。

三、多選題答案及解析

1.B,C

解析：f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)，f(x)=x^2在x=0處可導(dǎo)，f(x)=e^x在x=0處可導(dǎo)，f(x)=ln(1+x)在x=0處可導(dǎo)。

2.B,C

解析：B是交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)，條件收斂；C是p級(jí)數(shù)，p=2>1，收斂；A是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散；D是p級(jí)數(shù)，p=1，發(fā)散。

3.A,C,D

解析：A的積分值為2，B的積分值為0，C的積分值為1/2，D的積分值為π。

4.A,D

解析：A在x=0處取得極小值0，D在x=0處取得極大值0。

5.A,C,D

解析：A的通解為指數(shù)函數(shù)，C和D的通解為三角函數(shù)。

6.A,B

解析：A是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散；B是交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)，條件收斂；C和D是p級(jí)數(shù)，p>1，收斂。

7.B,D

解析：B在x=0處取得極大值0，D在x=0處取得極大值0。

8.A,B,D

解析：A的積分值為2，B的積分值為0，C的積分值為0，D的積分值為π。

9.C,D

解析：C的通解為三角函數(shù)，D的通解為三角函數(shù)。

10.C,D

解析：C和D是p級(jí)數(shù)，p>1，部分和有界；A是調(diào)和級(jí)數(shù)，部分和無界；B是交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)，部分和有界但不是絕對(duì)收斂。

四、判斷題答案及解析

1.正確

解析：f'(x)=2x，f'(0)=2*0=0。

2.正確

解析：這是著名的極限，lim(x→0)(sinx)/x=1。

3.正確

解析：這是等比級(jí)數(shù)，首項(xiàng)為1，公比為-1/2，|r|<1，故收斂。

4.錯(cuò)誤

解析：∫[0,1]e^xdx=e^x|_[0,1]=e-1。

5.錯(cuò)誤

解析：y'-2y=0的特征方程為r-2=0，解得r=2，故通解為y=Ce^2x。

6.錯(cuò)誤

解析：y=sinx在x=π/2處的導(dǎo)數(shù)為cosx，cos(π/2)=0，故切線斜率為0，方程為y=π/4。

7.正確

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=0，f(1)=-2，f(-1)=-2，故x=0處為極小值0。

8.正確

解析：p級(jí)數(shù)中，當(dāng)p>1時(shí)收斂，1/n^3的p值為3，故收斂。

9.錯(cuò)誤

解析：∫[0,π/2]cosxdx=sinx|_[0,π/2]=sin(π/2)-sin0=1。

10.正確

解析：y''+y=0的特征方程為r^2+1=0，解得r=±i，故通解為y=C1sinx+C2cosx。

五、問答題答案及解析

1.解析：f''(x)=6x。

2.解析：級(jí)數(shù)發(fā)散，因?yàn)樗钦{(diào)和級(jí)數(shù)。

3.解析：∫[0,1]x^2dx=x^3/3|_[0,1]=1/3。

4.解析：特征方程為r^2-4=0，解得r=±2，通解為y=C1e^2x+C2e^-2x。

5.解析：y'|_(x=π/4)=cos(π/4)=√2/2，切線方程為y-√2/2=√2/2(x-π/4)，即y=√2/2x-π√2/8+√2/2。

6.