第五章數(shù)列·單元測評卷建議用時：120分鐘，滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．數(shù)列的一個通項公式為（）A． B． C．nn D．【答案】B【詳解】將數(shù)列7，25，79，241，…的各項都加上2后為9，27，81，243，…，故該數(shù)列的一個通項公式為.故選：B.2．已知等比數(shù)列的公比為，則“數(shù)列是遞增數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】若等比數(shù)列是遞增數(shù)列，則或，則必有；取，數(shù)列的公比，而數(shù)列是遞減數(shù)列，所以“數(shù)列是遞增數(shù)列”是“”的充分不必要條件.故選：A3．在數(shù)列中，點在直線上，則（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【詳解】因為點在直線上，所以，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.故選：C.4．等差數(shù)列前n項的和為，已知，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，又因為，即，解得或，若，則，不合題意；若，則，解得；綜上所述：.故選：D.5．如圖，正方形的邊長為4，取正方形各邊的中點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第3個正方形.如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么這些正方形的面積之和將趨近于（

）A．32 B．40 C．48 D．64【答案】A【詳解】記第1個正方形的面積為，第2個正方形的面積為，，第n個正方形的面積為，設第n個正方形的邊長為,則第n個正方形的對角線長為，所以第n+1個正方形的邊長為，，即數(shù)列{}是首項為，公比為的等比數(shù)列，，數(shù)列{}是首項為，公比為的等比數(shù)列，，所以如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于32.故選：A6．已知數(shù)列滿足：，對，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，，所以為公比為的等比數(shù)列，則，故．取，則．故選：C．7．已知數(shù)列滿足，，，記，為數(shù)列的前項和，則（

）A．63 B．127 C．255 D．256【答案】C【詳解】由得，又，易得，兩邊同時取以為底的對數(shù)得，即，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則.故選：C.8．已知等差數(shù)列滿足，在和之間插入k個1，得到新數(shù)列，則的前90項和為（

）A．168 B．188 C．212 D．222【答案】D【詳解】設新數(shù)列的前90項包含原數(shù)列的前項，因為和之間插入k個1，所以在前插入的1的總數(shù)為，則新數(shù)列到為止的前的總項數(shù)為，當時，可得；當時，可得，所以新數(shù)列的前90項包含原數(shù)列的前項和78個1，因為等差數(shù)列滿足，所以新數(shù)列的前90項和為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．已知數(shù)列的通項公式為，則下列結論正確的是（

）A．B．數(shù)列是等差數(shù)列，且公差C．對于任意的正整數(shù)，均有成立D．存在唯一的正整數(shù)，使數(shù)列的前項和取得最小值【答案】AB【詳解】因為，所以為常數(shù)，又，故數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以選項B正確；由等差中項的性質故C錯誤；又，所以，所以選項A正確；對于選項D，因為，令，二次函數(shù)的對稱軸為.由二次函數(shù)的對稱性知，當或時，取到最小值，所以選項D錯誤．故選：AB.10．設數(shù)列的前項和為，已知，，記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】因為，，所以，即的偶數(shù)項均為-2，B正確．因為，所以．又因為，所以的奇數(shù)項均為2，A正確．，C，D錯誤．故選：AB11．記為數(shù)列的前項和，已知，則（

）A．為等比數(shù)列 B．為等比數(shù)列C． D．【答案】BCD【詳解】由，可得：，兩式相減得：，即，所以為等比數(shù)列，故B正確；再由，可得，即，當時，有，由于不滿足上式，所以，故A錯誤；由，故C正確；由，則，兩式相減得：，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.12．用數(shù)學歸納法證明且，第一步要證的不等式是.【答案】【詳解】因為，且可知：的第一個取值為，由題意可知，當時，，所以第一步需驗證的不等式為．故答案為：.13．設等差數(shù)列的前項和為，則的最小值是.【答案】【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，設公差為，則，化簡得，解得，所以，.所以.令，此函數(shù)為對勾函數(shù)，根據(jù)對勾函數(shù)的單調性可知，所以當時，單調遞增；當時，單調遞減；因為只能取整數(shù)，當時，；當時，；即時取最小值為.故答案為：.14．已知正項數(shù)列的前n項和為，．數(shù)列的首項，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列中的最小值為．【答案】【詳解】因為正項數(shù)列的前n項和為，，所以當時，，所以，所以，又因為，所以，由，令，則，所以，所以數(shù)列是以6為首項以6為公差的等差數(shù)列，所以，數(shù)列的首項，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比，則，則，又因為，當時，可得，當時，可得，則數(shù)列中的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，求的最小值.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，則， 2分得， 4分則. 6分（2）得；得， 9分故當時有最小值，為. 13分16．（15分）記數(shù)列的前項和為，已知.(1)求；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)求.【詳解】（1）因為，當時，則，可得； 2分當時，則，即，可得；綜上所述：，. 4分（2）因為，，當時，則，，兩式相減得，即，整理可得， 7分且，所以是以首項為3，公比為3的等比數(shù)列. 9分（3）由（2）可知，即，可得， 11分所以. 15分17．（15分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，前n項和為.(1)求出，并求其最值；(2)數(shù)列中是否存在三項構成等比數(shù)列，如果存在則求出k、p、q，如果不存在，請說明理由.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得， 2分由，可知， 4分二次函數(shù)的對稱軸，故當取正整數(shù)時，單調遞增，故有最小值，無最大值； 7分（2）不妨假設三項構成等比數(shù)列，則有，即，展開上式得：， 9分因為k、p、q均為正整數(shù)，所以上式要成立，等價于 11分，所以，則，所以，與已知矛盾，故不存在三項成等比數(shù)列； 15分18．（17分）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)若，從數(shù)列中依次取出第2項，第4項，第8項，…，第項，按原來順序組成新數(shù)列，求使得不等式成立的最小正整數(shù)n的值.【詳解】（1）由，得, 2分即數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故所以; 5分（2）由題意得,從數(shù)列中依次取出第2項，第4項，第8項，…，第項， 8分按原來順序組成新數(shù)列，可知, 10分則,可通過分組求和，即一個等比數(shù)列求和和一個常數(shù)列求和，故, 13分故問題轉化為求解滿足的最小正整數(shù)，由可知時，;時，,故使得不等式成立的最小正整數(shù)的值為10. 17分19．（17分）已知正項數(shù)列的前項為，且滿足，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，，為其前項和，且滿足.(1)求，的通項公式；(2)設，當時，若對