高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)學(xué)案之直線與方程引言同學(xué)們，進(jìn)入高三復(fù)習(xí)階段，每一個(gè)專題的梳理都至關(guān)重要?！爸本€與方程”作為解析幾何的入門與基礎(chǔ)，不僅在高考中占有一席之地，更為后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線等內(nèi)容提供了重要的工具和思想方法。本學(xué)案旨在幫助大家系統(tǒng)回顧這部分知識(shí)，理清脈絡(luò)，掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提升解題能力。希望大家在使用本學(xué)案時(shí)，能主動(dòng)思考，勤于動(dòng)筆，真正做到溫故而知新。一、核心知識(shí)梳理解析幾何的精髓在于用代數(shù)方法研究幾何問題。直線是最簡單的幾何圖形，我們通過建立坐標(biāo)系，將直線與方程聯(lián)系起來，從而實(shí)現(xiàn)了“以數(shù)解形”。（一）直線的傾斜角與斜率1.傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角，叫做這條直線的傾斜角。通常用α表示。*規(guī)定：當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0；當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，其傾斜角為直角。*范圍：傾斜角α的取值范圍是[0,π)。2.斜率：傾斜角不是直角的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。通常用k表示，即k=tanα。*當(dāng)α∈[0,π/2)時(shí)，k≥0，且α增大時(shí)，k增大；*當(dāng)α∈(π/2,π)時(shí)，k<0，且α增大時(shí)，k增大（絕對(duì)值減?。?；*當(dāng)α=π/2時(shí)，直線垂直于x軸，斜率不存在。3.斜率計(jì)算公式：已知直線上兩點(diǎn)P?(x?,y?)、P?(x?,y?)，則直線P?P?的斜率k=(y?-y?)/(x?-x?)(x?≠x?)。*若x?=x?，則直線垂直于x軸，斜率不存在；*若y?=y?，則直線平行于x軸，斜率k=0。（二）直線方程的幾種形式1.點(diǎn)斜式：已知直線過點(diǎn)(x?,y?)，斜率為k，則直線方程為y-y?=k(x-x?)。*適用條件：斜率存在（即直線不垂直于x軸）。*特例：當(dāng)直線過點(diǎn)(x?,y?)且垂直于x軸時(shí)，方程為x=x?。2.斜截式：已知直線斜率為k，在y軸上的截距為b（即直線過點(diǎn)(0,b)），則直線方程為y=kx+b。*適用條件：斜率存在（直線不垂直于x軸）。*b的幾何意義：直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。3.兩點(diǎn)式：已知直線過兩點(diǎn)P?(x?,y?)、P?(x?,y?)(x?≠x?,y?≠y?)，則直線方程為(y-y?)/(y?-y?)=(x-x?)/(x?-x?)。*適用條件：直線不垂直于x軸且不垂直于y軸。*若x?=x?，則直線方程為x=x?；若y?=y?，則直線方程為y=y?。4.截距式：已知直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b（a≠0,b≠0），即直線過點(diǎn)(a,0)和(0,b)，則直線方程為x/a+y/b=1。*適用條件：直線不垂直于坐標(biāo)軸，且不過原點(diǎn)（因?yàn)閍、b均不為0）。*a、b的幾何意義：分別是直線與x軸、y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。截距可以是正的，也可以是負(fù)的，還可以是零（但截距式中a、b不為零）。5.一般式：任何直線都可以表示為Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)的形式。*當(dāng)B≠0時(shí)，直線的斜率k=-A/B，在y軸上的截距為-C/B。*當(dāng)A≠0時(shí)，直線在x軸上的截距為-C/A。*當(dāng)A=0,B≠0時(shí)，直線方程為By+C=0，即y=-C/B，平行于x軸。*當(dāng)B=0,A≠0時(shí)，直線方程為Ax+C=0，即x=-C/A，平行于y軸（垂直于x軸）。（三）兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩條直線的方程分別為：l?:A?x+B?y+C?=0l?:A?x+B?y+C?=01.平行：l?∥l??A?B?-A?B?=0且A?C?-A?C?≠0(或B?C?-B?C?≠0)。*若兩直線斜率存在，設(shè)為k?,k?，則l?∥l??k?=k?且b?≠b?(斜截式下)。*若兩直線斜率都不存在（即都垂直于x軸），則它們的方程分別為x=a?,x=a?，此時(shí)l?∥l??a?≠a?。2.垂直：l?⊥l??A?A?+B?B?=0。*若兩直線斜率存在，設(shè)為k?,k?，則l?⊥l??k?·k?=-1。*若一條直線斜率為0（平行于x軸），另一條直線斜率不存在（垂直于x軸），則這兩條直線也垂直。3.相交：l?與l?相交?A?B?-A?B?≠0。*交點(diǎn)坐標(biāo)：解方程組{A?x+B?y+C?=0;A?x+B?y+C?=0}得到。（四）距離公式1.點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P(x?,y?)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)。*注意公式中直線方程必須是一般式。2.兩條平行直線間的距離：設(shè)兩條平行直線l?:Ax+By+C?=0，l?:Ax+By+C?=0(C?≠C?)，則它們之間的距離d=|C?-C?|/√(A2+B2)。*注意：應(yīng)用此公式時(shí)，兩直線方程中x、y的系數(shù)必須對(duì)應(yīng)相等。若不相等，需先化為系數(shù)對(duì)應(yīng)相等的形式。二、要點(diǎn)剖析與易錯(cuò)警示1.傾斜角與斜率的關(guān)系：*傾斜角是角度，范圍是[0,π)；斜率是數(shù)值，可正可負(fù)可為零，也可能不存在。*斜率k=tanα，其中α是傾斜角。當(dāng)α從0增大到π/2時(shí)，k從0增大到+∞；當(dāng)α從π/2增大到π時(shí)，k從-∞增大到0。*切勿錯(cuò)誤地認(rèn)為傾斜角越大，斜率越大。例如，α?=30°，k?=√3/3；α?=120°，k?=-√3，此時(shí)α?>α?，但k?<k?。2.直線方程形式的選擇與局限性：*在求直線方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知條件靈活選擇合適的形式。例如，已知一點(diǎn)和斜率，首選點(diǎn)斜式；已知斜率和截距，首選斜截式；已知兩點(diǎn)，考慮兩點(diǎn)式或先求斜率再用點(diǎn)斜式。*要特別注意各種形式的適用條件。例如，使用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)，若題目未明確直線斜率存在，需考慮斜率不存在的情況，必要時(shí)進(jìn)行分類討論。*截距式方程x/a+y/b=1，其中a、b分別為橫、縱截距。這里的“截距”不是“距離”，可以是正的，也可以是負(fù)的，甚至可以是零（但截距式中a、b不能為零）。若直線過原點(diǎn)，則不能用截距式表示（除非認(rèn)為a=0且b=0，但此時(shí)方程無意義）。3.兩條直線平行與垂直的判定：*利用斜率判定時(shí)，務(wù)必先考慮斜率是否存在。這是一個(gè)極易出錯(cuò)的地方。例如，“兩條直線斜率相等則平行”是錯(cuò)誤的，因?yàn)檫€可能重合；“兩條直線斜率之積為-1則垂直”也是在兩條直線斜率都存在的前提下才成立。*一般式方程判定平行和垂直的條件（A?B?-A?B?=0且A?C?≠A?C?；A?A?+B?B?=0）具有一般性，可避免對(duì)斜率是否存在的討論，建議熟練掌握。4.距離公式的應(yīng)用：*點(diǎn)到直線的距離公式中，直線方程必須化為一般式Ax+By+C=0，且A、B不同時(shí)為0。分子是絕對(duì)值，分母是√(A2+B2)。*兩平行線間的距離公式，要求兩直線方程中x、y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等。若不相等，需先通過變形化為對(duì)應(yīng)系數(shù)相等。例如，求l?:2x-3y+1=0與l?:4x-6y-5=0的距離，可將l?化為4x-6y+2=0，再應(yīng)用公式。三、典例精析例1已知直線l過點(diǎn)P(2,1)。(1)若直線l的傾斜角為45°，求直線l的方程；(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程。分析與解答：(1)已知傾斜角α=45°，則斜率k=tan45°=1。由點(diǎn)斜式方程得：y-1=1·(x-2)，即y=x-1。所以直線l的方程為x-y-1=0。(2)題目中“截距相等”需要仔細(xì)分析。①當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，即直線過原點(diǎn)。此時(shí)直線方程可設(shè)為y=kx，將點(diǎn)P(2,1)代入得1=2k，解得k=1/2。所以直線方程為y=(1/2)x，即x-2y=0。②當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)其方程為x/a+y/a=1(a≠0)，即x+y=a。將點(diǎn)P(2,1)代入得2+1=a，解得a=3。所以直線方程為x+y-3=0。綜上，所求直線l的方程為x-2y=0或x+y-3=0。易錯(cuò)警示：容易忽略截距為0的情況，直接設(shè)截距式方程導(dǎo)致漏解。例2已知直線l?:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0，l?:2x+4(m-3)y-1=0。問：當(dāng)m為何值時(shí)，直線l?與l?：(1)平行；(2)垂直。分析與解答：(1)若l?∥l?，則需滿足：A?B?-A?B?=0且A?C?-A?C?≠0。即：(m+2)·4(m-3)-2·(m2-3m)=0，①且(m+2)·(-1)-2·4≠0。②先化簡①式：4(m+2)(m-3)-2m(m-3)=0提取公因式2(m-3)：2(m-3)[2(m+2)-m]=02(m-3)(m+4)=0解得m=3或m=-4。再看②式：-(m+2)-8≠0?-(m+10)≠0?m≠-10。當(dāng)m=3時(shí)，檢查l?和l?的方程：l?:(3+2)x+(9-9)y+4=0?5x+4=0；l?:2x+4(0)y-1=0?2x-1=0。此時(shí)l?與l?均垂直于x軸，且不重合，故平行。當(dāng)m=-4時(shí)，l?:(-4+2)x+(16+12)y+4=0?-2x+28y+4=0?x-14y-2=0；l?:2x+4(-4-3)y-1=0?2x-28y-1=0?x-14y-0.5=0。顯然兩直線平行且不重合。m=3和m=-4均滿足②式。所以，當(dāng)m=3或m=-4時(shí)，l?∥l?。(2)若l?⊥l?，則需滿足A?A?+B?B?=0。即(m+2)·2+(m2-3m)·4(m-3)=0?；喌茫?(m+2)+4m(m-3)(m-3)=02(m+2)+4m(m-3)2=0提取公因式2：2[(m+2)+2m(m-3)2]=0即(m+2)+2m(m2-6m+9)=0m+2+2m3-12m2+18m=02m3-12m2+19m+2=0嘗試因式分解或代入特殊值。當(dāng)m=2時(shí)：2*(8)-12*(4)+19*(2)+2=16-48+38+2=8≠0。當(dāng)m=-0