一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與考題練習(xí)解析在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)旅程中，一次函數(shù)無疑是一塊重要的基石。它不僅是函數(shù)概念的初次系統(tǒng)呈現(xiàn)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜函數(shù)的基礎(chǔ)，同時(shí)在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。理解一次函數(shù)的本質(zhì)，掌握其圖像與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用，對提升數(shù)學(xué)思維和解題能力至關(guān)重要。本文將系統(tǒng)梳理一次函數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)，并通過典型考題的練習(xí)與解析，幫助同學(xué)們深化理解，學(xué)以致用。一、一次函數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)梳理（一）函數(shù)的基本概念在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。（二）一次函數(shù)的定義與表達(dá)式一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。其中，x是自變量，y是因變量。*當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b就變成了y=kx（k是常數(shù)，且k≠0），這時(shí)我們把它叫做正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式。*這里的k稱為一次項(xiàng)系數(shù)，b稱為常數(shù)項(xiàng)。k的取值不能為0，這是判斷一個(gè)函數(shù)是否為一次函數(shù)的關(guān)鍵。（三）一次函數(shù)的圖像及其畫法1.圖像的形狀：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像是一條直線。因此，一次函數(shù)也被稱為線性函數(shù)。2.圖像的畫法：由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時(shí)，只需找出圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，然后過這兩點(diǎn)作直線即可。*通常選取的兩個(gè)點(diǎn)是：與y軸的交點(diǎn)（0，b）和與x軸的交點(diǎn)（-b/k，0）。這兩個(gè)點(diǎn)分別稱為y軸截距點(diǎn)和x軸截距點(diǎn)。*當(dāng)b=0時(shí)，正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），此時(shí)只需再找一個(gè)除原點(diǎn)外的點(diǎn)即可，例如（1，k）。*在實(shí)際畫圖時(shí)，也可根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，選取更容易計(jì)算和描點(diǎn)的整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)。（四）一次函數(shù)的性質(zhì)（k和b的作用）一次函數(shù)的性質(zhì)主要由其表達(dá)式中的系數(shù)k和b共同決定。1.系數(shù)k的作用：*k的符號(hào)決定函數(shù)的增減性：*當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，函數(shù)圖像是從左到右上升的。*當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而增大，函數(shù)圖像是從左到右下降的。*k的絕對值大小決定直線的傾斜程度：|k|的值越大，直線越陡峭；|k|的值越小，直線越平緩。2.常數(shù)項(xiàng)b的作用：*b決定了一次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)位置。交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b）。*當(dāng)b>0時(shí)，圖像與y軸交于正半軸。*當(dāng)b=0時(shí)，圖像經(jīng)過原點(diǎn)（正比例函數(shù)）。*當(dāng)b<0時(shí)，圖像與y軸交于負(fù)半軸。3.一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限：*k>0，b>0：圖像經(jīng)過第一、二、三象限。*k>0，b=0：圖像經(jīng)過第一、三象限（正比例函數(shù)）。*k>0，b<0：圖像經(jīng)過第一、三、四象限。*k<0，b>0：圖像經(jīng)過第一、二、四象限。*k<0，b=0：圖像經(jīng)過第二、四象限（正比例函數(shù)）。*k<0，b<0：圖像經(jīng)過第二、三、四象限。（五）一次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系1.一次函數(shù)與一元一次方程：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，就是一元一次方程kx+b=0的解。2.一次函數(shù)與二元一次方程組：兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是相應(yīng)的二元一次方程組的解。3.一次函數(shù)與一元一次不等式：*對于kx+b>0（k≠0），其解集是使一次函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值為正的x的取值范圍，反映在圖像上，就是函數(shù)圖像在x軸上方部分對應(yīng)的x的取值。*對于kx+b<0（k≠0），其解集是使一次函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值為負(fù)的x的取值范圍，反映在圖像上，就是函數(shù)圖像在x軸下方部分對應(yīng)的x的取值。二、考題練習(xí)與解析（一）概念辨析與基礎(chǔ)應(yīng)用例題1：下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？(1)y=-3x+7(2)y=4x2(3)y=6/x(4)y=-x(5)y=8(6)y=(2/3)x-1解析：判斷一個(gè)函數(shù)是否為一次函數(shù)，關(guān)鍵看其是否能化為y=kx+b（k≠0）的形式。(1)y=-3x+7，符合y=kx+b（k=-3≠0，b=7），是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)（b≠0）。(2)y=4x2，x的次數(shù)是2，不是1，所以不是一次函數(shù)。(3)y=6/x，可化為y=6x?1，x的次數(shù)是-1，不是1，所以不是一次函數(shù)。(4)y=-x，可化為y=-1x+0（k=-1≠0，b=0），既是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)。(5)y=8，可看作y=0x+8，但k=0，不符合一次函數(shù)k≠0的定義，所以不是一次函數(shù)（它是常函數(shù)）。(6)y=(2/3)x-1，符合y=kx+b（k=2/3≠0，b=-1），是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)。答案：一次函數(shù)有(1)(4)(6)；正比例函數(shù)有(4)。例題2：已知一次函數(shù)y=(m-2)x+m2-4。(1)若函數(shù)是正比例函數(shù)，求m的值。(2)若函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,5)，求m的值。解析：(1)正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，即b=0且k≠0。因此，對于y=(m-2)x+m2-4是正比例函數(shù)，需滿足：m2-4=0且m-2≠0由m2-4=0，得m=2或m=-2。由m-2≠0，得m≠2。綜上，m=-2。(2)函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,5)，即當(dāng)x=0時(shí)，y=5。將x=0，y=5代入函數(shù)表達(dá)式得：5=(m-2)*0+m2-4即m2-4=5m2=9解得m=3或m=-3。由于題目未對函數(shù)是否為正比例函數(shù)或k的取值有額外限制（除一次函數(shù)本身k≠0外，但m=3時(shí)，m-2=1≠0；m=-3時(shí)，m-2=-5≠0，均滿足一次函數(shù)定義），故m=3或m=-3。答案：(1)m=-2；(2)m=3或m=-3。（二）圖像與性質(zhì)綜合考察例題3：已知一次函數(shù)y=(2-k)x+(k+1)。(1)若函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限，求k的取值范圍。(2)若y隨x的增大而增大，且函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，求k的取值范圍。解析：(1)一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過的象限由k和b的符號(hào)決定。圖像經(jīng)過第一、二、四象限，則需滿足：k<0且b>0。在本題中，k'=2-k（這里為避免與題目中的k混淆，用k'表示一次項(xiàng)系數(shù)），b'=k+1。所以：2-k<0（即k'<0）k+1>0（即b'>0）解不等式2-k<0，得k>2。解不等式k+1>0，得k>-1。綜合兩個(gè)不等式的解集，取其公共部分，得k>2。(2)y隨x的增大而增大，說明k'=2-k>0，即2-k>0，解得k<2。函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，即b'=k+1>0，解得k>-1。綜合可得，-1<k<2。答案：(1)k>2；(2)-1<k<2。（三）一次函數(shù)與方程、不等式的結(jié)合例題4：如圖，是一次函數(shù)y=ax+b的圖像。（*此處應(yīng)有圖像：圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0)和(0,-2)*）根據(jù)圖像回答下列問題：(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式。(2)當(dāng)x為何值時(shí)，y=3？(3)當(dāng)x為何值時(shí)，y>0？當(dāng)x為何值時(shí)，y<0？解析：(1)要求一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=ax+b，需確定a和b的值。圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,-2)，即當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，代入得b=-2。圖像還經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x=1時(shí)，y=0，代入y=ax-2得：0=a*1-2，解得a=2。所以，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-2。(2)當(dāng)y=3時(shí)，即2x-2=3。解方程2x=5，得x=5/2。(3)y>0，即函數(shù)圖像在x軸上方時(shí)對應(yīng)的x值。從圖像上看，函數(shù)與x軸交于點(diǎn)(1,0)，且函數(shù)值y隨x的增大而增大（a=2>0）。因此，當(dāng)x>1時(shí)，y>0。同理，當(dāng)x<1時(shí)，y<0。答案：(1)y=2x-2；(2)x=5/2；(3)x>1時(shí)，y>0；x<1時(shí)，y<0。（四）實(shí)際問題與建模例題5：小明從家出發(fā)去學(xué)校，先走一段平路，然后上坡到達(dá)學(xué)校。他平路每分鐘走60米，上坡每分鐘走40米，從家到學(xué)校共用了15分鐘，路程共計(jì)800米。設(shè)他在平路上走了x分鐘，上坡走了y分鐘。(1)列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。(2)若小明放學(xué)回家時(shí)，平路速度不變，下坡速度為每分鐘80米，那么他從學(xué)?；丶倚枰嗌俜昼姡拷馕觯?1)題目中涉及兩個(gè)等量關(guān)系：①平路時(shí)間+上坡時(shí)間=總時(shí)間（15分鐘），即x+y=15。②平路路程+上坡路程=總路程（800米）。平路路程=平路速度×平路時(shí)間=60x，上坡路程=上坡速度×上坡時(shí)間=40y，即60x+40y=800。所以方程組為：{x+y=15{60x+40y=800(2)要求放學(xué)回家的時(shí)間，需先求出平路路程和上坡路程（即放學(xué)時(shí)的下坡路程）。解(1)中的方程組：由x+y=15，得x=15-y。代入60x+40y=800：60(15-y)+40y=800900-60y+40y=800-20y=-100y=5。則x=15-5=10。平路路程=60x=60*10=600米。上坡路程=40y=40*5=200米，即下坡路程為200米。放學(xué)回家時(shí)，平路時(shí)間=平路路程/平路速度=600/60=10分鐘。下坡時(shí)間=下坡路程/下坡速度=200/80=2.5分鐘?？偦丶視r(shí)間=10+2.5=12.5分鐘。答案：(1)方程組為{x+y=15;60x+40y=800}；(2)12.5分鐘。三、總結(jié)與提升一次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，其概念、圖像、性質(zhì)以及與方程、不等式的聯(lián)系，都是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。通過上述知識(shí)點(diǎn)的梳理和例題的練習(xí)，我們可以看到，學(xué)好一次函數(shù)，首先要深刻理解其定義和表達(dá)式中各參數(shù)的幾何意義與代數(shù)意義，其次要能熟練運(yùn)用