2.2

全稱量詞與存在量詞明確目標(biāo)發(fā)展素養(yǎng)1.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義及全稱量詞命題與存在量詞命題的意義．2.掌握全稱量詞命題與存在量詞命題真假性的判定，能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.1.通過含量詞的命題的否定，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2.借助全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞與存在量詞(一)教材梳理填空1．全稱量詞命題與全稱量詞在給定集合中，斷言

都具有同一種性質(zhì)的命題叫作全稱量詞命題．在命題中，諸如“所有”“每一個(gè)”“任意”“任何”“一切”這樣的詞叫作全稱量詞，用符號(hào)“___”表示，讀作“對(duì)任意的”．所有元素[微思考]怎樣判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題？提示：判斷一個(gè)命題是否為全稱量詞命題，一是看該命題是否含有全稱量詞；二是看該命題是否為省去全稱量詞的命題，如果是，我們可以把全稱量詞補(bǔ)充出來看是否講得通．2．存在量詞命題與存在量詞在給定集合中，斷言

具有一種性質(zhì)的命題叫作存在量詞命題．在命題中，諸如“有些”“有一個(gè)”“存在”這樣的詞叫作存在量詞，用符號(hào)“___”表示，讀作“存在”．某些元素[微思考]全稱量詞命題與存在量詞命題有什么區(qū)別？提示：全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對(duì)象都具有某一性質(zhì)，無一例外，強(qiáng)調(diào)“整體、全部”．存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內(nèi)的對(duì)象有例外，強(qiáng)調(diào)“個(gè)別、部分”．(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)“所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”是全稱量詞命題．

(

)(2)“有些”“某個(gè)”等短語不是存在量詞．

(

)(3)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”．

(

)√×√2．(多選)下列語句是全稱量詞命題的是

(

)A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘零都等于零B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．高二(1)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x2≥0答案：ABD3．下列語句是存在量詞命題的是

(

)A．一次函數(shù)的圖象是一條直線B．正方體都是長(zhǎng)方體C．不相交的兩條直線是平行直線D．存在實(shí)數(shù)大于或等于3答案：D4．下列語句是全稱量詞命題且是真命題的是

(

)A．任意x∈R，|x|>0B．任意x∈Q，x2∈QC．存在x∈Z，x2>1D．任意x，y∈R，x2＋y2>0答案：B知識(shí)點(diǎn)二全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(一)教材梳理填空(1)對(duì)于全稱量詞命題p：?x∈M，x具有性質(zhì)p(x)，通常把它的否定表示為：_____________________．(2)對(duì)于存在量詞命題p：?x∈M，x具有性質(zhì)p(x)，通常把它的否定表示為：_______________________．?x∈M，x不具有性質(zhì)p(x)?x∈M，x不具有性質(zhì)p(x)(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)命題p與它的否定真假性相反．

(

)(2)命題“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是?x∈R，3x2－2x＋1>0. (

)(3)“被7整除的整數(shù)是奇數(shù)”的否定是“被7整除的整數(shù)不是奇數(shù)”．(

)√×√2．已知命題p：?x∈R，sinx≤1，則其否定是

(

)A．?x∈R，sinx≥1B．?x∈R，sinx≥1C．?x∈R，sinx＞1D．?x∈R，sinx＞1答案：C3．命題“任意一個(gè)x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是__________________．答案：存在一個(gè)x∈R，使得x2－2x＋4＞0題型一全稱量詞命題與存在量詞命題

【學(xué)透用活】[典例1]指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)任何數(shù)的0次方都等于1；(3)?x∈N,2x＋1是奇數(shù)；[解]

(1)可以改為所有的凸多邊形的外角和都等于360°，故為全稱量詞命題，為真命題．(2)含有全稱量詞“任何”，故是全稱量詞命題，為假命題．(3)是全稱量詞命題．因?yàn)?x∈N,2x＋1都是奇數(shù)，所以該命題是真命題．[方法技巧]1．判斷一個(gè)語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路(1)判命題：判斷該語句是否為命題．(2)看量詞：看命題中是否含有量詞或隱含量詞，判斷量詞或隱含量詞是全稱量詞還是存在量詞．(3)下結(jié)論：含有全稱量詞的命題為全稱量詞命題，含有存在量詞的命題為存在量詞命題．2．全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x，證明p(x)成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x，使得p(x)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”)．(2)要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x，使p(x)成立即可；否則，這個(gè)存在量詞命題就是假命題．

【對(duì)點(diǎn)練清】1．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題．(1)所有的合數(shù)都是偶數(shù)；(2)有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋x＋1＝0；(3)存在x∈R，x2＋1≥1；(4)正方形都是平行四邊形.答案：(1)全稱量詞命題(2)存在量詞命題(3)存在量詞命題(4)全稱量詞命題2．判斷下列命題的真假．(1)任意兩個(gè)面積相等的三角形一定相似；(2)?x，y為正實(shí)數(shù)，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P；(4)?x∈N，x2>0.解：(1)因?yàn)槊娣e相等的三角形不一定相似，故它是假命題．(2)因?yàn)楫?dāng)x2＋y2＝0時(shí)，x＝y(tǒng)＝0，所以不存在x，y為正實(shí)數(shù)，使x2＋y2＝0，故它是假命題．(3)由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，它是真命題．(4)因?yàn)?∈N,02＝0，所以它是假命題．題型二含有一個(gè)量詞的命題的否定

【學(xué)透用活】[典例2]寫出下列命題的否定，并判斷其真假．(1)p：?x，y∈N，x－y∈N；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3＋1＝0.[解]

(1)p的否定為?x，y∈N，x－y?N，真命題，因?yàn)楫?dāng)x＝2，y＝4時(shí)，x－y＝－2?N.(2)q的否定為至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題．(3)s的否定為?x∈R，x3＋1≠0，假命題，因?yàn)閤＝－1時(shí)，x3＋1＝0.[方法技巧]含有一個(gè)量詞的命題的否定的方法(1)一般地，寫含有一個(gè)量詞的命題的否定，首先要明確這個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時(shí)否定結(jié)論．(2)對(duì)于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定．

【對(duì)點(diǎn)練清】1．命題“?x∈R，?n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是

(

)A．?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2B．?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2C．?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2D．?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2解析：由于存在量詞命題的否定形式是全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定形式是存在量詞命題，所以“?x∈R，?n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式為“?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2”．答案：D

2．判斷下列命題的真假，并寫出它們的否定．(1)所有自然數(shù)的平方是正數(shù)；(2)任何實(shí)數(shù)x都是方程5x－12＝0的根；(3)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)；(4)所有能被5整除的整數(shù)都是奇數(shù)．解：(1)假命題．有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)．(2)假命題．存在實(shí)數(shù)x不是方程5x－12＝0的根．(3)真命題．所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)．(4)假命題．存在一個(gè)能被5整除的整數(shù)不是奇數(shù)．題型三全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用

【學(xué)透用活】[典例3]對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)y＝x2＋4x－1的函數(shù)值恒大于實(shí)數(shù)m，求m的取值范圍．[解]

令y＝x2＋4x－1，x∈R，則y＝(x＋2)2－5，因?yàn)?x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范圍是{m|m<－5}．[方法技巧]求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略(1)對(duì)于全稱量詞命題“?x∈M，a＞y(或a＜y)”為真的問題，實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin)．(2)對(duì)于存在量詞命題“?x∈M，a＞y(或a＜y)”為真的問題，實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax)．

【對(duì)點(diǎn)練清】(1)已知命題p(x)：x＋1>x為真命題，求x的取值范圍．(2)存在x∈R，使x2＋x＋a＝0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(3)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>a}，若?a∈A，都有a∈B成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)因?yàn)閤＋1>x，所以1>0(此式恒成立)，所以x∈R.【課堂思維激活】一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題．并用符號(hào)“?”(“?”表示“任意”)或“?”(“?”表示“存在”)表示下面的命題，再判斷真假：(1)實(shí)數(shù)的平方大于或等于0；(2)存在一對(duì)實(shí)數(shù)(x，y)，使2x－y＋1＜0成立；(3)勾股定理．解：(1)是全稱量詞命題，隱藏了全稱量詞“所有的”．改寫后命題為:?x∈R，x2≥0.它是真命題．(2)是存在量詞命題．改寫后命題為:?(x，y)，x∈R，y∈R，2x－y＋1＜0.它是真命題．如x＝0，y＝2時(shí)，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1＜0成立．(3)是全稱量詞命題，所有直角三角形都滿足勾股定理．改寫后命題為:?Rt