《循環(huán)小數(shù)》教學(xué)方案——基于數(shù)學(xué)建模與差異化探究的設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析??本課隸屬于人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第三單元《小數(shù)除法》，是學(xué)生在掌握了小數(shù)除以整數(shù)、一個(gè)數(shù)除以小數(shù)及用“四舍五入”法求商的近似數(shù)之后，對(duì)數(shù)系認(rèn)識(shí)的又一次關(guān)鍵性擴(kuò)展。從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》看，本課內(nèi)容直接對(duì)應(yīng)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中對(duì)小數(shù)除法的深化理解，其認(rèn)知坐標(biāo)在于引導(dǎo)學(xué)生從“有限”邁向“無(wú)限”，初步接觸“循環(huán)”這一重要的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。在知識(shí)技能圖譜上，它既是小數(shù)除法計(jì)算中特殊情況的總結(jié)，又是未來(lái)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（如圓周率）乃至中學(xué)階段研究有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的認(rèn)知基石，起著承上啟下的樞紐作用。課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的“模型意識(shí)”與“推理意識(shí)”在本課得以生動(dòng)體現(xiàn)：學(xué)生通過(guò)連續(xù)的計(jì)算實(shí)踐，從“永遠(yuǎn)除不盡”的現(xiàn)象中抽象出“循環(huán)小數(shù)”的數(shù)學(xué)模型，并學(xué)習(xí)用規(guī)范化的數(shù)學(xué)符號(hào)（循環(huán)節(jié)、循環(huán)點(diǎn)）予以表達(dá)，這本身就是一次微型的“數(shù)學(xué)建模”過(guò)程。其素養(yǎng)價(jià)值遠(yuǎn)超越計(jì)算本身，它引導(dǎo)學(xué)生正視計(jì)算中的“異?！?，學(xué)會(huì)用發(fā)展的、精確的數(shù)學(xué)眼光去描述和定義一種新的數(shù)，從而培養(yǎng)敢于探究、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的理性精神，感悟數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔與統(tǒng)一之美。??基于“以學(xué)定教”原則，本課的學(xué)情研判需立體展開(kāi)。學(xué)生的已有基礎(chǔ)是熟練的除法筆算技能和“四舍五入”的近似意識(shí)，生活經(jīng)驗(yàn)中對(duì)“循環(huán)”（如日夜交替、四季輪回）有模糊感知，這為理解“循環(huán)”概念提供了感性支點(diǎn)。然而，潛在的認(rèn)知障礙顯著：一是思維定勢(shì)，學(xué)生習(xí)慣于得出一個(gè)“確定的”商，面對(duì)“除不盡”的豎式易產(chǎn)生困惑與挫敗感；二是抽象困難，從具體的、無(wú)限延續(xù)的豎式余數(shù)規(guī)律中，抽象出“循環(huán)小數(shù)”這一概念并理解其“無(wú)限性”本質(zhì)，存在認(rèn)知跨度；三是符號(hào)化障礙，掌握循環(huán)小數(shù)的兩種記法，特別是循環(huán)點(diǎn)的正確標(biāo)注，易出現(xiàn)遺漏或范圍錯(cuò)誤。因此，教學(xué)中的過(guò)程性評(píng)估至關(guān)重要，我將通過(guò)觀察學(xué)生計(jì)算時(shí)的表情與自語(yǔ)、小組討論中的觀點(diǎn)交鋒、隨堂練習(xí)的典型錯(cuò)誤，動(dòng)態(tài)把握理解進(jìn)程。針對(duì)不同層次學(xué)生，教學(xué)調(diào)適策略包括：為計(jì)算能力較弱的學(xué)生提供已部分完成的豎式腳手架，引導(dǎo)其聚焦觀察余數(shù)規(guī)律；為思維敏捷的學(xué)生設(shè)置“為什么一定會(huì)循環(huán)？”的探究性追問(wèn)，并鼓勵(lì)其嘗試解釋循環(huán)產(chǎn)生的算理本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)差異化的思維攀升。二、教學(xué)目標(biāo)??知識(shí)目標(biāo)：學(xué)生通過(guò)一系列除法計(jì)算與觀察比較，能準(zhǔn)確識(shí)別循環(huán)小數(shù)的特征，理解循環(huán)小數(shù)是無(wú)限小數(shù)的一種，并能用自己的語(yǔ)言解釋循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因（余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)）。他們能掌握循環(huán)小數(shù)的兩種表示方法，特別是用循環(huán)節(jié)和簡(jiǎn)便記法正確、規(guī)范地書(shū)寫(xiě)循環(huán)小數(shù)，同時(shí)能辨析有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)與后續(xù)將學(xué)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，建構(gòu)起關(guān)于小數(shù)更為完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。??能力目標(biāo)：重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與邏輯推理能力。在“計(jì)算觀察發(fā)現(xiàn)歸納”的探究過(guò)程中，學(xué)生能夠從特殊的、個(gè)別的除法算式中，通過(guò)不完全歸納，抽象概括出循環(huán)小數(shù)的普遍定義與核心特征，完成從具體現(xiàn)象到數(shù)學(xué)概念的模型建構(gòu)。同時(shí)，能基于除法計(jì)算中余數(shù)必須小于除數(shù)的規(guī)則，進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理論證，理解循環(huán)現(xiàn)象產(chǎn)生的必然性。??情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在探索“除不盡”這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象的過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生面對(duì)認(rèn)知沖突時(shí)的好奇心和探究欲，培養(yǎng)其不回避問(wèn)題、深入思考的堅(jiān)韌學(xué)習(xí)品質(zhì)。通過(guò)欣賞循環(huán)小數(shù)中數(shù)字排列的規(guī)律之美，以及數(shù)學(xué)符號(hào)（循環(huán)點(diǎn)）創(chuàng)造的簡(jiǎn)潔之美，提升數(shù)學(xué)審美情趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的精確與概括力量。??科學(xué)（學(xué)科）思維目標(biāo)：本節(jié)課重點(diǎn)錘煉學(xué)生的歸納思維與模型化思維。設(shè)計(jì)“發(fā)現(xiàn)規(guī)律定義概念符號(hào)表示”的完整問(wèn)題鏈，引導(dǎo)其經(jīng)歷從大量實(shí)例中尋找共性（歸納），再將共性提煉為本質(zhì)屬性并賦予名稱(chēng)和符號(hào)（模型化）的完整科學(xué)思維過(guò)程。同時(shí)，初步滲透極限思想，理解“無(wú)限”但“循環(huán)”的數(shù)學(xué)含義。??評(píng)價(jià)與元認(rèn)知目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)依據(jù)“是否無(wú)限”、“是否循環(huán)”這兩個(gè)核心標(biāo)準(zhǔn)對(duì)小數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，并能對(duì)同伴的循環(huán)小數(shù)簡(jiǎn)寫(xiě)進(jìn)行判斷與修正。在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，通過(guò)結(jié)構(gòu)化反思，回顧自己是如何從“除不盡”的困惑走向“認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)”的清晰，提煉“觀察猜想驗(yàn)證概括”的學(xué)習(xí)策略，提升學(xué)習(xí)的目的性與方法論意識(shí)。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)??教學(xué)重點(diǎn)：循環(huán)小數(shù)概念的理解與正確表示。此重點(diǎn)的確立基于雙重考量：從課標(biāo)與學(xué)科本質(zhì)看，“循環(huán)小數(shù)”是本課需要建構(gòu)的核心大概念，是學(xué)生數(shù)感與符號(hào)意識(shí)發(fā)展的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，對(duì)其理解深度直接影響后續(xù)數(shù)系擴(kuò)展的學(xué)習(xí)。從學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)導(dǎo)向看，循環(huán)小數(shù)的辨識(shí)、讀寫(xiě)是各類(lèi)評(píng)測(cè)中的基礎(chǔ)高頻考點(diǎn)，且常作為背景知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際情境問(wèn)題，是體現(xiàn)學(xué)生是否真正掌握小數(shù)除法內(nèi)涵的能力標(biāo)尺。??教學(xué)難點(diǎn)：理解循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的本質(zhì)原因，以及循環(huán)小數(shù)簡(jiǎn)便記法中循環(huán)節(jié)與循環(huán)點(diǎn)的精準(zhǔn)確定。難點(diǎn)成因在于：第一，從“余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)”推導(dǎo)出“商的小數(shù)部分?jǐn)?shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)”，這一邏輯鏈條對(duì)于部分學(xué)生而言具有隱蔽性，需突破僅關(guān)注商的表面觀察，深入算理層面。第二，簡(jiǎn)便記法雖簡(jiǎn)潔，但學(xué)生極易混淆循環(huán)節(jié)的長(zhǎng)度（如誤將7.14545…記作7.145），或遺漏表示循環(huán)起止的點(diǎn)，這源于對(duì)“依次不斷重復(fù)”這一動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行靜態(tài)符號(hào)化表征時(shí)，理解不夠透徹。突破方向在于，利用豎式動(dòng)態(tài)演示，將余數(shù)與商的對(duì)應(yīng)關(guān)系可視化，并設(shè)計(jì)針對(duì)性辨析練習(xí)，在糾錯(cuò)中強(qiáng)化認(rèn)知。四、教學(xué)準(zhǔn)備清單1.教師準(zhǔn)備1.1媒體與教具：多媒體課件，內(nèi)含情境動(dòng)畫(huà)、動(dòng)態(tài)豎式計(jì)算演示、分類(lèi)對(duì)比圖；實(shí)物投影儀。1.2學(xué)習(xí)材料：設(shè)計(jì)分層《課堂探究任務(wù)單》（含基礎(chǔ)計(jì)算區(qū)、觀察發(fā)現(xiàn)區(qū)、概念生成區(qū)、練習(xí)鞏固區(qū)）；準(zhǔn)備寫(xiě)有不同小數(shù)卡片的“小數(shù)回家”分類(lèi)板貼。2.學(xué)生準(zhǔn)備2.1知識(shí)準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)鞏固小數(shù)除法的計(jì)算法則；完成前置性任務(wù)：尋找生活中的“循環(huán)”現(xiàn)象。2.2學(xué)具準(zhǔn)備：常規(guī)文具。3.環(huán)境準(zhǔn)備3.1座位安排：四人小組合作式座位，便于討論與互評(píng)。3.2板書(shū)記劃：預(yù)留主板書(shū)區(qū)域，規(guī)劃為“現(xiàn)象區(qū)”、“概念區(qū)”、“表示區(qū)”、“分類(lèi)區(qū)”。五、教學(xué)過(guò)程第一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)1.情境激疑，引發(fā)沖突1.1播放簡(jiǎn)短趣味動(dòng)畫(huà)：老和尚給小和尚講故事——“從前有座山，山里有座廟…”故事內(nèi)容循環(huán)往復(fù)，永無(wú)盡頭。“同學(xué)們，這個(gè)故事有什么特點(diǎn)？”（預(yù)設(shè)回答：一直在重復(fù)，講不完）。1.2承接生活，轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)：“生活中有些現(xiàn)象會(huì)‘循環(huán)’。在我們的數(shù)學(xué)計(jì)算里，會(huì)不會(huì)也藏著這樣的‘循環(huán)’秘密呢？請(qǐng)大家當(dāng)一回‘計(jì)算偵探’，算一算這幾道題。”課件出示：400÷75，28÷18，78.6÷11。1.3提出核心驅(qū)動(dòng)問(wèn)題：“請(qǐng)大家在任務(wù)單上認(rèn)真計(jì)算。老師有個(gè)預(yù)感，這些算式的商可能會(huì)有點(diǎn)‘特別’。你們的計(jì)算結(jié)果會(huì)告訴我們什么秘密呢？這節(jié)課，我們就一起來(lái)揭開(kāi)這個(gè)謎底?！钡诙?、新授環(huán)節(jié)任務(wù)一：計(jì)算初探，感知“異常”1.教師活動(dòng)：巡視全班，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的計(jì)算過(guò)程。邀請(qǐng)第一位完成400÷75計(jì)算的學(xué)生上臺(tái)板書(shū)豎式。教師指向其豎式，引導(dǎo)全體觀察：“大家看，他算完了嗎？商5.333…這個(gè)‘…’表示什么？他的豎式余數(shù)有什么變化？”（引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注余數(shù)“25”重復(fù)出現(xiàn)）。接著，讓其他學(xué)生匯報(bào)28÷18、78.6÷11的豎式計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，教師同步課件動(dòng)態(tài)演示豎式，用不同顏色標(biāo)出依次出現(xiàn)的余數(shù)。2.學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成三道題的計(jì)算。觀察自己和他人的豎式，聚焦余數(shù)的變化。發(fā)現(xiàn)并匯報(bào)：400÷75余數(shù)25不斷重復(fù)，商的小數(shù)部分“3”不斷重復(fù)；28÷18余數(shù)10、10交替出現(xiàn)？不，請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)看，是10、100、10、100…實(shí)際上商是1.555…；78.6÷11的余數(shù)出現(xiàn)循環(huán)，商是7.14545…。產(chǎn)生認(rèn)知沖突：這些題都“除不盡”，而且余數(shù)和商的部分?jǐn)?shù)字好像有規(guī)律地在重復(fù)。3.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.計(jì)算過(guò)程是否規(guī)范，書(shū)寫(xiě)是否清晰。2.能否從“除不盡”的現(xiàn)象中，將注意力從“商”轉(zhuǎn)移到觀察“余數(shù)”的變化規(guī)律上。3.小組交流時(shí)，能否清晰描述自己發(fā)現(xiàn)的重復(fù)現(xiàn)象。4.形成知識(shí)、思維、方法清單：★計(jì)算發(fā)現(xiàn)：在進(jìn)行小數(shù)除法時(shí)，有些情況是除不盡的?！镪P(guān)鍵觀察點(diǎn)：當(dāng)余數(shù)依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，商的小數(shù)部分相應(yīng)的數(shù)字也會(huì)依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)?！椒ㄒ龑?dǎo)：遇到“除不盡”時(shí)，不要急于下結(jié)論或取近似值，應(yīng)繼續(xù)除下去，觀察余數(shù)的規(guī)律。（教學(xué)提示：此環(huán)節(jié)重在制造“憤悱”狀態(tài)，不必急于給出概念，讓“循環(huán)”現(xiàn)象充分暴露。）任務(wù)二：深入辨析，理解“循環(huán)”本質(zhì)5.教師活動(dòng)：聚焦78.6÷11的豎式，提問(wèn)：“為什么余數(shù)會(huì)5、6、5、6…地重復(fù)出現(xiàn)？想一想，在除法計(jì)算中，余數(shù)有沒(méi)有可能無(wú)限地變大？”學(xué)生思考后，引導(dǎo)回憶：“余數(shù)必須比除數(shù)小。這里的除數(shù)是11，那么余數(shù)最大可能是幾？”（10）。接著追問(wèn)：“在除的過(guò)程中，余數(shù)的可能性有多少種？”（010，共11種）。繼續(xù)推理：“既然可能性是有限的，我們一直除下去，總有一次，余數(shù)會(huì)怎么樣？”引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：余數(shù)一定會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。然后課件高亮顯示“余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)”與“商的小數(shù)部分?jǐn)?shù)字重復(fù)出現(xiàn)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。6.學(xué)生活動(dòng)：跟隨教師的提問(wèn)進(jìn)行思考與推理。理解因?yàn)橛鄶?shù)的大小是有限的（小于除數(shù)），在無(wú)限次的除法步驟中，余數(shù)必然會(huì)出現(xiàn)重復(fù)，從而導(dǎo)致商的小數(shù)部分出現(xiàn)循環(huán)。嘗試用自己的話解釋循環(huán)產(chǎn)生的原因。7.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否將“余數(shù)必須小于除數(shù)”這一舊知，與“余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)”這一新現(xiàn)象建立邏輯關(guān)聯(lián)。2.推理表達(dá)是否清晰、有邏輯。3.能否從個(gè)例理解上升到對(duì)循環(huán)必然性的一般化思考。8.形成知識(shí)、思維、方法清單：★核心原理：循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因是“余數(shù)的重復(fù)出現(xiàn)”。因?yàn)橛鄶?shù)總是小于除數(shù)，所以在無(wú)限除下去的過(guò)程中，余數(shù)的種類(lèi)是有限的，必然會(huì)出現(xiàn)重復(fù)?！锼季S升華：從有限（余數(shù)可能性有限）推導(dǎo)出無(wú)限過(guò)程中的規(guī)律（循環(huán)），是數(shù)學(xué)中一種重要的推理方式?！拍钋白啵合襁@樣的小數(shù)，就是我們今天要認(rèn)識(shí)的主角。這個(gè)“不斷重復(fù)”的隊(duì)伍，就是我們今天要認(rèn)識(shí)的新朋友。任務(wù)三：歸納定義，建構(gòu)概念9.教師活動(dòng)：指著黑板上三個(gè)商：5.333…、1.555…、7.14545…，提問(wèn)：“有沒(méi)有同學(xué)發(fā)現(xiàn)這些商有什么共同特點(diǎn)？”引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“小數(shù)部分有數(shù)字在依次不斷重復(fù)”。教師肯定并板書(shū)關(guān)鍵詞。然后給出規(guī)范定義：“一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。”請(qǐng)學(xué)生齊讀，并圈出定義中的關(guān)鍵詞“某一位起”、“依次不斷”、“重復(fù)出現(xiàn)”。隨后，指著7.14545…問(wèn)：“這個(gè)循環(huán)小數(shù)，是從第幾位開(kāi)始循環(huán)的？重復(fù)出現(xiàn)的‘隊(duì)伍’是哪個(gè)？”引出“循環(huán)節(jié)”的概念。10.學(xué)生活動(dòng)：觀察、比較、歸納三個(gè)商的共同特征。嘗試用自己的語(yǔ)言描述特征，再與數(shù)學(xué)規(guī)范定義進(jìn)行對(duì)照，理解關(guān)鍵詞的含義。找出7.14545…的循環(huán)起始位（第二位）和循環(huán)節(jié)（“45”）。11.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.歸納是否準(zhǔn)確，能否抓住“依次不斷重復(fù)”這一本質(zhì)特征。2.能否理解定義中“某一位起”的含義，并非所有小數(shù)部分從一開(kāi)始就循環(huán)。3.能否準(zhǔn)確找出給定循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。12.形成知識(shí)、思維、方法清單：★核心概念（循環(huán)小數(shù)）：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)?！锖诵母拍睿ㄑh(huán)節(jié)）：循環(huán)小數(shù)中依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字。例如，5.333…的循環(huán)節(jié)是“3”，7.14545…的循環(huán)節(jié)是“45”。★學(xué)習(xí)策略：理解數(shù)學(xué)定義時(shí)，要學(xué)會(huì)抓住關(guān)鍵詞，并用自己的例子來(lái)解釋它們。任務(wù)四：符號(hào)化表達(dá)，掌握簡(jiǎn)寫(xiě)13.教師活動(dòng)：“同學(xué)們，每次寫(xiě)循環(huán)小數(shù)都要加‘…’太麻煩了。數(shù)學(xué)家們也這么覺(jué)得，所以他們發(fā)明了一種簡(jiǎn)便記法。”以5.333…和7.14545…為例進(jìn)行示范：只寫(xiě)第一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)。強(qiáng)調(diào)：如果循環(huán)節(jié)只有一個(gè)數(shù)字，就只在這個(gè)數(shù)字上點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。板書(shū)示范：5.333…=5.3，7.14545…=7.145。設(shè)置辨析環(huán)節(jié)：出示錯(cuò)誤寫(xiě)法如7.145，提問(wèn)：“這樣寫(xiě)對(duì)嗎？錯(cuò)在哪里？”引導(dǎo)學(xué)生明確循環(huán)節(jié)是“45”，而非“145”。14.學(xué)生活動(dòng)：觀察教師示范，學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便記法的規(guī)則。在任務(wù)單上嘗試將之前遇到的循環(huán)小數(shù)用簡(jiǎn)便記法表示。參與辨析討論，明確簡(jiǎn)寫(xiě)必須精準(zhǔn)對(duì)應(yīng)循環(huán)節(jié)。15.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.簡(jiǎn)寫(xiě)格式是否規(guī)范，圓點(diǎn)位置是否準(zhǔn)確。2.能否判斷他人簡(jiǎn)寫(xiě)是否正確，并說(shuō)明理由。3.能否解釋清楚循環(huán)節(jié)與簡(jiǎn)便記法圓點(diǎn)位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系。16.形成知識(shí)、思維、方法清單：★規(guī)范表示（簡(jiǎn)便記法）：寫(xiě)循環(huán)小數(shù)時(shí)，可以只寫(xiě)第一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。★易錯(cuò)點(diǎn)警示：必須準(zhǔn)確判斷循環(huán)節(jié)，不能多寫(xiě)或少寫(xiě)數(shù)字。例如，7.14545…的循環(huán)節(jié)是“45”，不能寫(xiě)成7.145?！鴶?shù)學(xué)文化：數(shù)學(xué)符號(hào)是為了表達(dá)的簡(jiǎn)潔與精確。用這個(gè)符號(hào)把循環(huán)小隊(duì)“保護(hù)”起來(lái)，既簡(jiǎn)單又明了。任務(wù)五：比較分類(lèi)，完善認(rèn)知17.教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧以前學(xué)過(guò)的小數(shù)，如0.9375、1.5等，提問(wèn)：“這些小數(shù)和循環(huán)小數(shù)有什么不同？”（它們的小數(shù)部分的位數(shù)是有限的）。引出“有限小數(shù)”概念。進(jìn)而提問(wèn)：“循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)是有限的嗎？”（不是，是無(wú)限的）。所以，循環(huán)小數(shù)屬于“無(wú)限小數(shù)”。利用板貼，開(kāi)展“小數(shù)回家”活動(dòng)：出示一組小數(shù)卡片（包括有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)），請(qǐng)學(xué)生判斷并貼在板書(shū)相應(yīng)的“有限小數(shù)”或“無(wú)限小數(shù)（循環(huán)小數(shù)）”區(qū)域。18.學(xué)生活動(dòng)：對(duì)比有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)的區(qū)別，從“小數(shù)部分位數(shù)是否有限”的角度進(jìn)行分類(lèi)。理解循環(huán)小數(shù)是無(wú)限小數(shù)中的一類(lèi)。參與分類(lèi)游戲，鞏固辨識(shí)能力。19.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否清晰說(shuō)出有限小數(shù)與無(wú)限小數(shù)（循環(huán)小數(shù)）的根本區(qū)別。2.分類(lèi)操作是否快速準(zhǔn)確。3.是否初步形成“小數(shù)→有限小數(shù)/無(wú)限小數(shù)→（無(wú)限小數(shù)又分為循環(huán)小數(shù)和不循環(huán)小數(shù)）”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖式。20.形成知識(shí)、思維、方法清單：★概念辨析（有限小數(shù)）：小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù)?！锔拍畋嫖觯o(wú)限小數(shù)）：小數(shù)部分的位數(shù)是無(wú)限的小數(shù)。循環(huán)小數(shù)是無(wú)限小數(shù)的一種?！镏R(shí)結(jié)構(gòu)：小數(shù)家族可以分為有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù)兩大部分，我們今天學(xué)習(xí)的循環(huán)小數(shù)就是無(wú)限小數(shù)家族中的重要成員?！曇巴卣梗簾o(wú)限小數(shù)里還有不循環(huán)的成員，比如我們以后會(huì)認(rèn)識(shí)的圓周率π，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。第三、當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練??本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)分層、變式練習(xí)，旨在診斷學(xué)習(xí)效果，提供差異化鞏固路徑。1.基礎(chǔ)層（全員通關(guān)）：完成《任務(wù)單》上的“辨識(shí)與書(shū)寫(xiě)”題。①判斷哪些是循環(huán)小數(shù)（如：2.888、4.3737…、0.…）。②將循環(huán)小數(shù)用簡(jiǎn)便記法表示（如：0.…）。【反饋機(jī)制】同桌互換批改，教師投影典型答案，重點(diǎn)講評(píng)循環(huán)節(jié)判斷錯(cuò)誤和簡(jiǎn)寫(xiě)格式不規(guī)范的案例?？谡Z(yǔ)化點(diǎn)評(píng)：“看來(lái)‘循環(huán)節(jié)’這個(gè)小隊(duì)長(zhǎng)，大家要找得又準(zhǔn)又快才行！”2.綜合層（情境應(yīng)用）：出示情境題：“一輛賽車(chē)在環(huán)形跑道上行駛，通過(guò)計(jì)時(shí)點(diǎn)的時(shí)間間隔依次是1.5分鐘、1.5分鐘、1.5分鐘…哪個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)可能是循環(huán)小數(shù)？它表示的實(shí)際意義是什么？”此題需學(xué)生辨析有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)在現(xiàn)實(shí)語(yǔ)境中的不同含義?！痉答仚C(jī)制】小組討論后匯報(bào)，教師引導(dǎo)理解1.5分鐘代表時(shí)間間隔是無(wú)限精確且循環(huán)的，而1.5分鐘是一個(gè)精確值。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注能否將數(shù)學(xué)概念與情境合理關(guān)聯(lián)。3.挑戰(zhàn)層（思維拓展）：探究題：“計(jì)算1÷7，2÷7，3÷7…觀察它們的商，你發(fā)現(xiàn)了什么關(guān)于循環(huán)節(jié)的規(guī)律？”此題為學(xué)有余力者設(shè)計(jì)，引導(dǎo)其感受循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度與除數(shù)的關(guān)系，激發(fā)探究興趣?！痉答仚C(jī)制】課后分享或于班級(jí)“數(shù)學(xué)角”展示，教師給予個(gè)性化反饋與鼓勵(lì)。第四、課堂小結(jié)??引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)化總結(jié)與元認(rèn)知反思。知識(shí)整合：“請(qǐng)同學(xué)們閉上眼睛，回想一下，這節(jié)課我們從小數(shù)除法的‘異常’出發(fā)，走過(guò)了一座怎樣的知識(shí)橋梁？”鼓勵(lì)學(xué)生用思維導(dǎo)圖關(guān)鍵詞（現(xiàn)象→原因→定義→表示→分類(lèi)）復(fù)述學(xué)習(xí)路徑。方法提煉：“我們用了什么‘法寶’認(rèn)識(shí)了新朋友‘循環(huán)小數(shù)’？”（計(jì)算、觀察、比較、歸納、推理）。作業(yè)布置：公布分層作業(yè)（詳見(jiàn)第六部分）。并設(shè)下伏筆：“今天我們認(rèn)識(shí)了無(wú)限小數(shù)中的循環(huán)小數(shù)，那無(wú)限小數(shù)里還有沒(méi)有其他性格的成員呢？大家可以提前了解一下神秘的π。”最后，以親切的結(jié)束語(yǔ)收束：“數(shù)學(xué)的世界里，有時(shí)‘除不盡’不是終點(diǎn)，而是發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、認(rèn)識(shí)新朋友的起點(diǎn)。希望大家永遠(yuǎn)保持這份探究的熱情?！绷?、作業(yè)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性作業(yè)（必做）4.完成教材練習(xí)九第1、2題。鞏固循環(huán)小數(shù)的辨識(shí)與簡(jiǎn)便記法。5.寫(xiě)出兩個(gè)循環(huán)小數(shù)，并標(biāo)出它們的循環(huán)節(jié)，再用簡(jiǎn)便記法表示出來(lái)。拓展性作業(yè)（建議大多數(shù)學(xué)生完成）6.生活發(fā)現(xiàn)家：尋找生活中存在“循環(huán)”現(xiàn)象的例子，并嘗試用數(shù)學(xué)的方式（文字或圖畫(huà)）描述其“循環(huán)節(jié)”。7.計(jì)算探秘者：任選一個(gè)除數(shù)（如3,6,9,12等），用分子是1的分?jǐn)?shù)（如1/3,1/6…）化成小數(shù)，觀察是否是循環(huán)小數(shù)，記錄你的發(fā)現(xiàn)。探究性/創(chuàng)造性作業(yè)（選做）8.數(shù)學(xué)小論文（雛形）：以“為什么1/3=0.3？”為題，撰寫(xiě)一段簡(jiǎn)短的解釋?zhuān)髲某ㄘQ式的計(jì)算過(guò)程出發(fā)，說(shuō)明循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。9.創(chuàng)意設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)一個(gè)圖案或一段節(jié)奏，體現(xiàn)“循環(huán)”的美感，并為你的作品命名，指出其“循環(huán)節(jié)”。七、本節(jié)知識(shí)清單及拓展★循環(huán)小數(shù)定義：一個(gè)小數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)。理解關(guān)鍵在于“依次不斷”和“重復(fù)出現(xiàn)”。（提示：注意是從“某一位起”，不一定從小數(shù)點(diǎn)后第一位開(kāi)始。）★循環(huán)節(jié)：循環(huán)小數(shù)中，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的那個(gè)或那幾個(gè)數(shù)字。它是循環(huán)小數(shù)的“身份證”。（提示：找循環(huán)節(jié)時(shí)，務(wù)必確認(rèn)是從哪一位開(kāi)始進(jìn)入“依次不斷重復(fù)”狀態(tài)的。）★循環(huán)小數(shù)的簡(jiǎn)便記法：只寫(xiě)第一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)字上方各點(diǎn)一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)。這是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美的體現(xiàn)。（易錯(cuò)點(diǎn)：循環(huán)節(jié)只有一個(gè)數(shù)字時(shí)，只在這個(gè)數(shù)字上點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)；循環(huán)節(jié)是多個(gè)數(shù)字時(shí)，要找準(zhǔn)首位和末位。）★循環(huán)小數(shù)的產(chǎn)生原因：源于除法計(jì)算中“余數(shù)的重復(fù)出現(xiàn)”。因?yàn)橛鄶?shù)必須小于除數(shù)，余數(shù)的可能性是有限的，在無(wú)限除下去的過(guò)程中，重復(fù)必然發(fā)生。這是理解循環(huán)本質(zhì)的算理基礎(chǔ)?！镉邢扌?shù)：小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù)。例如0.75、3.0。其本質(zhì)是能夠被精確表示為分母為10的冪的分?jǐn)?shù)?！餆o(wú)限小數(shù)：小數(shù)部分的位數(shù)是無(wú)限的小數(shù)。循環(huán)小數(shù)是無(wú)限小數(shù)的一種重要類(lèi)型。（認(rèn)知拓展：無(wú)限小數(shù)包括循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，后者如π。）▲純循環(huán)小數(shù)與混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位就開(kāi)始的，叫純循環(huán)小數(shù)（如0.3）；循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的，叫混循環(huán)小數(shù)（如7.145）。此為進(jìn)一步分類(lèi)了解?！h(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系：所有的循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)形式。例如，0.3=1/3。這為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化埋下伏筆。▲計(jì)算中的處理：在解決問(wèn)題時(shí)，如果需要用循環(huán)小數(shù)的數(shù)值，通常根據(jù)實(shí)際情況取它的近似值（用“四舍五入”法），或者保留其簡(jiǎn)便記法形式以體現(xiàn)精確性。（教學(xué)提示：清單可作為學(xué)生課后復(fù)習(xí)的“知識(shí)地圖”，引導(dǎo)其自主梳理，建立聯(lián)系。）八、教學(xué)反思??假設(shè)本課教學(xué)已實(shí)施完畢，基于預(yù)設(shè)與生成的對(duì)照，進(jìn)行如下深度反思：（一）目標(biāo)達(dá)成度分析。從后測(cè)練習(xí)反饋看，約85%的學(xué)生能準(zhǔn)確識(shí)別循環(huán)小數(shù)并進(jìn)行規(guī)范簡(jiǎn)寫(xiě)，表明知識(shí)技能目標(biāo)基本達(dá)成。在解釋“為什么會(huì)產(chǎn)生循環(huán)”的訪談中，約70%的學(xué)生能關(guān)聯(lián)到“余數(shù)重復(fù)”，但表達(dá)的邏輯嚴(yán)密性有差異，能力目標(biāo)的達(dá)成呈現(xiàn)梯度。課堂中學(xué)生對(duì)“規(guī)律之美”的驚嘆和探究的專(zhuān)注，印證了情感目標(biāo)的滲透是有效的。然而，元認(rèn)知目標(biāo)中的策略提煉環(huán)節(jié)，學(xué)生自發(fā)生成的反思較淺，多停留在“要認(rèn)真計(jì)算”，需教師更強(qiáng)的引導(dǎo)框架。（二）核心環(huán)節(jié)有效性評(píng)估?！叭蝿?wù)二”的推理環(huán)節(jié)是本節(jié)課的思維高峰，也是分化點(diǎn)。實(shí)際教學(xué)中，通過(guò)動(dòng)態(tài)課件將余數(shù)與商對(duì)應(yīng)閃爍，有效搭建了視覺(jué)腳手架，幫助中等及以下學(xué)生理解了必然性。但小組討論時(shí)，仍有部分學(xué)生停留在“看商”而非“析余數(shù)”，提示我在設(shè)計(jì)討論提示語(yǔ)時(shí)，應(yīng)更直指核心：“別光看商怎么重復(fù)，想想是什么在背后‘指揮’商重復(fù)？”任務(wù)四的簡(jiǎn)寫(xiě)辨析至關(guān)重要，學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤（如將7.145誤寫(xiě)為7.145）與預(yù)設(shè)完全吻合，通過(guò)即時(shí)投影糾錯(cuò)，強(qiáng)化了正確認(rèn)知。（三）差異化應(yīng)對(duì)的深度剖析。課堂中，計(jì)算能力強(qiáng)的學(xué)生很快完成計(jì)算并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我通過(guò)追問(wèn)“你能解釋為什么余數(shù)最多只有10種可