1、第一章函數(shù)的極限和連續(xù)性，1.1函數(shù)的極限，1，函數(shù)的概念，2，函數(shù)的極限，3，無(wú)窮小和無(wú)窮小，因變量，獨(dú)立變量，數(shù)集D被稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的定義域，1，函數(shù)的概念，獨(dú)立變量，因變量，對(duì)應(yīng)規(guī)則F，函數(shù)的兩個(gè)元素：定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則。人們一致認(rèn)為，域是自變量可以用來(lái)使公式有意義的實(shí)用值。(1)符號(hào)函數(shù)，例如幾個(gè)特殊函數(shù)，(3)整數(shù)函數(shù)y=xx表示不超過(guò)的最大整數(shù)和階躍曲線(xiàn)。在自變量的不同變化范圍內(nèi)，由不同公式表示的相應(yīng)函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)。(3)分段函數(shù)，例1，解，因此，有界和無(wú)界。(1)函數(shù)：的有界性，2，函數(shù)的性質(zhì)，(2)函數(shù)：的單調(diào)性，(3)函數(shù)：的奇偶性，偶數(shù)函數(shù)，奇數(shù)函數(shù)，(4)函數(shù)：的周期性(一

2、般來(lái)說(shuō)，周期函數(shù)的周期性是指它的最小正周期)。對(duì)于函數(shù)f(x)，如果有一個(gè)非零的數(shù)L，那么這個(gè)關(guān)系適用于域中的任何X值，f(x)稱(chēng)為周期函數(shù)，而L稱(chēng)為f(x)的周期。(1)反函數(shù)，3)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)。設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閐，函數(shù)的定義域?yàn)閣。如果有一個(gè)唯一值x對(duì)應(yīng)于y w，d和(x)=y。如果y被視為自變量，x被視為因變量，那么函數(shù)x=f-1(y)被稱(chēng)為函數(shù)y=(x)的反函數(shù)。原始函數(shù)y=(x)稱(chēng)為直接函數(shù)；當(dāng)x和y互換時(shí)，y=(x)(y=f-1(x)，因此函數(shù)和反函數(shù)的域、范圍和像之間有一定的關(guān)系。直接函數(shù)和反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。(2)復(fù)合函數(shù)，例如：注釋?zhuān)?。沒(méi)有任何兩個(gè)函數(shù)可以組合成一

3、個(gè)復(fù)合函數(shù)；復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)組合而成，例如：(1)冪函數(shù)、4。初等函數(shù)，(2)指數(shù)函數(shù)，(3)對(duì)數(shù)函數(shù)，(4)三角函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)，余切函數(shù)，(5)反三角函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)。初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)組成的函數(shù)，通過(guò)有限階的四個(gè)運(yùn)算和有限階的函數(shù)復(fù)合步驟，可以用一個(gè)表達(dá)式來(lái)表示。它們被稱(chēng)為初等函數(shù)。除了分段函數(shù)之外，我們以后遇到的大多數(shù)函數(shù)都是初等函數(shù)。問(wèn)題1，回答問(wèn)題1，設(shè)置，然后，因此，2，函數(shù)的極限，字段：設(shè)置為正數(shù)，調(diào)用開(kāi)區(qū)間(x0-，x0 )以為x0的中心和半徑的鄰域，縮寫(xiě)為點(diǎn)

4、x0的鄰域，設(shè)置為U(x0，)，函數(shù)的極限(x)當(dāng)空心字段為：1.x, (1)設(shè)置函數(shù)(x)，當(dāng)x0無(wú)限增加時(shí)，函數(shù)(x)趨于某一常數(shù)a，然后函數(shù)(x)記住，例如，(2)設(shè)置函數(shù)(x)。當(dāng)x0和x的絕對(duì)值無(wú)限增加時(shí)，函數(shù)(x)趨向于某一常數(shù)a，那么當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)(x)被稱(chēng)為以a為極限。記住，例如，定義2:設(shè)置函數(shù)(x)。當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增加時(shí)，函數(shù)(x)趨向于某一常數(shù)a，那么當(dāng)x時(shí)，函數(shù)(x)被稱(chēng)為以a為極限。記住，定理1函數(shù)y=(x)當(dāng)x ，極限存在并且是一個(gè)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y=(x)當(dāng)x，x，都存在并且等于a。也就是說(shuō)，在例2中函數(shù)(x)的極限，2.xx0，當(dāng)x從大于1小于1的方向接近1時(shí)，也

5、就是說(shuō)，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)(x)無(wú)限接近1，表示為f(x)1、 o，x，y，1，1，y=x，(1，1)，例3函數(shù)y=(x)=x(如右圖所示)，例4，注意：(3)雖然函數(shù)在x=1時(shí)沒(méi)有定義，但極限存在于x 1。 這表明函數(shù)的極限是否存在于x0與函數(shù)是否在x0有定義無(wú)關(guān)。這是因?yàn)楹瘮?shù)在x0的極限是函數(shù)在x0附近的變化趨勢(shì)，而不是函數(shù)值在x0。例如，3。函數(shù)(x)的左極限和右極限，(1)左極限，當(dāng)x從x0的左側(cè)接近x0時(shí)(小于)和(x)取a作為極限，則a是(x)x0處的左極限。如果記錄為，則只能檢查x從0和0的右側(cè)接近時(shí)的極限。因此，必須引入左右極限的概念。(2)右側(cè)極限，當(dāng)x從x0右側(cè)接近x0(大于)

6、時(shí)，(x)以A為極限。那么A是x0的(x)的右極限。請(qǐng)注意，左極限和右極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限。它們有以下關(guān)系：定理2。函數(shù)Y=(x)當(dāng)xx0時(shí)，極限存在，且A的充要條件是函數(shù)Y=(x)的左極限和右極限都存在且等于A。也就是說(shuō)，該定理給出了一種利用單側(cè)極限判斷函數(shù)極限存在的方法。特別是，它適用于分段函數(shù)。示例5設(shè)置(x)=| x |，計(jì)算并解決原因，然后討論當(dāng)x 0時(shí)下列函數(shù)的極限。o，x，y，y=| x |，和示例6y=x當(dāng)x1時(shí)，是否存在限制？因此，例7，例3，無(wú)窮小和無(wú)窮小，當(dāng)研究函數(shù)的極限時(shí)，有兩個(gè)變量非常重要。一個(gè)是，在極限過(guò)程中，變量可以無(wú)限小，盡管它們很小。一個(gè)是在極限的過(guò)程中，變量可

7、以變得無(wú)限大，并且它們可以任意大。我們分別稱(chēng)它們?yōu)闊o(wú)窮小和無(wú)窮小。1.無(wú)窮小，并定義4個(gè)變量，以零作為無(wú)窮小的極限。示例：注釋1。非常小和非常小的非零常數(shù)都不是無(wú)窮小，但是數(shù)字“0”是無(wú)窮小。然而，無(wú)窮小不一定是數(shù)字“0”。極限值僅為0。無(wú)窮小的性質(zhì)是：性質(zhì)1。附注2。無(wú)窮小與自變量的變化過(guò)程有關(guān)。財(cái)產(chǎn)2。有界變量(x)和無(wú)窮小(x)的乘積仍然是無(wú)窮小。例如，2。無(wú)窮小是一個(gè)變量，它的絕對(duì)值可以任意增加。但不是很大的常數(shù)。當(dāng)(x)取正值并無(wú)限增加(取負(fù)值并在絕對(duì)值上無(wú)限增加)時(shí)，稱(chēng)為正無(wú)窮大(負(fù)無(wú)窮大)。注釋2通常被記錄為不存在限額的標(biāo)志。定義5如果它無(wú)限增加，在變化過(guò)程中它被稱(chēng)為無(wú)限量的函數(shù)(x)。注3是無(wú)限量和無(wú)限量之間的關(guān)系：定理3在相同的自變量變化趨勢(shì)下，無(wú)限量的倒數(shù)是無(wú)限量；非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮小。從這個(gè)定理可以看出，要證明，例8只需要證明。(1)如果，3。比較無(wú)窮小的階次，無(wú)窮小都被0所限制，但是它們朝向0的“速度”不一定相同。例如，y=2x，y=x，為了描述這種情況，下面的定義：將(x)，(x)設(shè)置為同一極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，然后(x)被稱(chēng)為比(x)更高階的無(wú)窮小，被表示為(x)=o(x)，(3)如果(x)被表示為比(x)更低階的無(wú)窮小，被表示為，(2