1、小組成員姓名專業(yè)電話北京sars的傳播研究摘要sars從2003年陸續(xù)傳入，期間先后感染6000多人其中北京感染2847，我國(guó)給我過經(jīng)濟(jì)社會(huì)帶來嚴(yán)重額的影響，為減少疾病的危害，提高人們對(duì)疾病的ars的認(rèn)識(shí)，疫情分析及對(duì)北京疫情走勢(shì)的預(yù)測(cè)研究也變得尤為重要。為改善現(xiàn)狀并提高人們對(duì)疾病的是sars的認(rèn)識(shí)，我們對(duì)北京市的sars傳播問題建立數(shù)學(xué)模型。關(guān)鍵詞： sars 人群分類 微分模型 整體擬合 1、問題重述1.1問題的背景嚴(yán)重急性呼吸綜合征（severe acute respiratory syndromes），又稱傳染性非典型肺炎，簡(jiǎn)稱sars，是一種因感染sars冠狀病毒引起的新的呼吸系統(tǒng)傳

2、染性疾病。主要通過近距離空氣飛沫傳播，以發(fā)熱，頭痛，肌肉酸痛，乏力，干咳少痰等為主要臨床表現(xiàn)，嚴(yán)重者可出現(xiàn)呼吸窘迫。本病具有較強(qiáng)的傳染性，在家庭和醫(yī)院有顯著的聚集現(xiàn)象。首發(fā)病例，也是全球首例。于2002年11月出現(xiàn)在廣東佛山，并迅速形成流行態(tài)勢(shì) 1.2問題的敘述現(xiàn)階段北京sars的傳播正處于高峰期。由于人們對(duì)該種疾病的傳播機(jī)理還不太清楚，因此引起人們的恐慌，它關(guān)系社會(huì)的穩(wěn)定和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。因此對(duì)該問題的研究非常有必要，我們把人口分成四類，即:健康人s(t)sars病人i(t)病人免疫（包括死亡）的人r(t)及疑似病人p(t)四類人，利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)著重從四類人口中：把該傳染病進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，歸納出主

3、要特征通過假設(shè)，參數(shù)以及它們的相互聯(lián)系，進(jìn)行數(shù)據(jù)判定，數(shù)據(jù)假設(shè)，數(shù)據(jù)處理，數(shù)據(jù)分析，建立模型，數(shù)據(jù)總結(jié)等得出較為科學(xué)的sars問題的分析，相關(guān)信息（見附件1、2、3）附件1sars疫情分析及對(duì)北京走勢(shì)的預(yù)測(cè) 附件2北京市疫情的數(shù)據(jù)附件3北京市接待海外游客人數(shù)附件4相關(guān)編程1.3問題的提出問題一：對(duì)附件1所提供的一個(gè)早期的模型，評(píng)價(jià)其合理性和實(shí)用性。問題二：建立自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型，對(duì)于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評(píng)論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。問題三：影響sars傳播因素以及對(duì)sars疫情期間北京疫區(qū)人群進(jìn)行分類。2、符號(hào)說明n: 北

4、京人口基數(shù)s：健康易感人群在人口基數(shù)中所占的比例，是與時(shí)間t有關(guān)的函數(shù) ：i:未被隔離的sars病毒感染者在人口基數(shù)中所占的比例;e:已被隔離人群在人口基數(shù)中的比例（確診、疑似）： ：隔離人群中sars病毒感染者在人口基數(shù)中的比例，排除了e(t)例中沒有非典的那部分人：r:人口基數(shù)中所占的比例:死亡人數(shù)在人口基數(shù)中所占的比例: :每個(gè)未被隔離的sars病毒感染者每天接觸傳染的人數(shù)： :每個(gè)已被隔離sars病毒感染者每天接觸傳染的人數(shù) : :隔離率，隨著時(shí)間推移會(huì)發(fā)生變化 : :表示每天被隔離的人數(shù) :非典患者的治愈率:非典患者的死亡率:3、問題分析我們?cè)诳茖W(xué)、客觀數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上，對(duì)未來幾個(gè)月北

5、京sars病人發(fā)展形勢(shì)做出科學(xué)、合理、簡(jiǎn)單的假設(shè)。不計(jì)影響較小的因素。在假設(shè)的條件之下，建立數(shù)學(xué)模型。然后要參考附件1，預(yù)測(cè)從2003年至2004年的北京sars病人數(shù)量的變化情況。可以考慮的到擬合的方法。針對(duì)問題一：1)合理性：附件1所給出的模型為：n(t)=no(1+k)它是基于現(xiàn)實(shí)中的自然狀態(tài)，描述出了sars傳染病最核心最本質(zhì)的變化趨勢(shì)。k的取值采用半模擬循環(huán)計(jì)算方法，發(fā)展趨勢(shì)由k值的變化體現(xiàn)。該模型的優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)單，易行，方便對(duì)數(shù)據(jù)采用擬合處理和利用取對(duì)數(shù)求方差估計(jì)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差，說明了該模型所具有的合理性。2)實(shí)用性：任何具有傳染性的疾病大致都是會(huì)經(jīng)歷“發(fā)展(快速蔓延)期一相對(duì)穩(wěn)定

6、期一逐漸消亡期”這樣的一個(gè)過程，附件一模型準(zhǔn)確地體現(xiàn)出了這點(diǎn)，因此它具有普遍實(shí)用性。3)模型的缺陷：此模型把實(shí)際問題過于簡(jiǎn)單化了，有不合理的地方：(1)模型中的k的取值只能根據(jù)已經(jīng)有的數(shù)據(jù)擬合，因此模型的精確度嚴(yán)重地依賴與所給數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。實(shí)際中，統(tǒng)計(jì)所給的數(shù)據(jù)本身就有一定誤差，擬合一個(gè)本身就包含偏差的數(shù)據(jù)勢(shì)必造成與現(xiàn)實(shí)規(guī)律更大的背離。我們根據(jù)圖直觀的看出，模型只能給出接近的前期發(fā)展趨勢(shì)，后期擬合與實(shí)際曲線有相當(dāng)誤差。(2)模型本身不具有預(yù)測(cè)性，它的k值是由數(shù)據(jù)擬合決定的。如果背離題目本意，我們讓k按照某種規(guī)律變化，預(yù)測(cè)發(fā)展趨勢(shì)，其產(chǎn)生的誤差是很大的。(圖略)(3)隨著時(shí)間的推移，社會(huì)中存在各

7、種控制的綜合作用，用一個(gè)單純籠統(tǒng)的k 的變化已很難刻畫出復(fù)雜因素的影響，因?yàn)楦鞣N因素對(duì)sars的影響不盡相同，有的可能抑制傳播，有的則可能促進(jìn)流行，致使模型的一致性在后期變差，誤差越來越大。因此，至少應(yīng)設(shè)為某種函數(shù)形式，引入一些參量因子進(jìn)行考慮。(4)此模型單單刻畫出了傳染病的一般性，那么sars和其它的傳染病也就沒什么本質(zhì)上的區(qū)別了，缺乏對(duì)其sars的，特征進(jìn)行具體深入分析。針對(duì)問題二：對(duì)于附件1的模型建立優(yōu)于它的模型。根據(jù)定義與假設(shè)列出相應(yīng)的所需的方程組，由直接擬合推導(dǎo)各個(gè)參數(shù)存在較大的困難，因此采用整體擬合。再通過相應(yīng)式子計(jì)算預(yù)測(cè)每日新增的隔離的sars病毒感染者，整理相應(yīng)的數(shù)據(jù)；最后預(yù)

8、測(cè)北京最終的累計(jì)感染非典人數(shù)。據(jù)此，在后標(biāo)題“模型的評(píng)論與改進(jìn)”中闡述對(duì)衛(wèi)生部門鎖采取的措施的評(píng)論。針對(duì)問題三通過對(duì)早期模型和實(shí)際情況的分析，我們認(rèn)為影響sars傳播因素眾多，大致可分為時(shí)域因素和地域因素。列舉如下：(1)時(shí)域因素a媒體宣傳：初期疫情較輕，媒體宣傳強(qiáng)度很弱，導(dǎo)致民眾的自我保護(hù)意識(shí)不足，容易感染；后期疫情較重，媒體宣傳強(qiáng)度很大，民眾的自我保護(hù)意識(shí)大大加強(qiáng)。b政府干預(yù)：初期疫情較輕，政府介入不足，后期疫情較重，政府加強(qiáng)干預(yù)（如：強(qiáng)行隔離，公共場(chǎng)所消毒等行為）。c認(rèn)識(shí)程度：當(dāng)一種新的傳染病出現(xiàn)時(shí)，初期由于人們的認(rèn)識(shí)程度不足，無法采取有效的預(yù)防和治療措施，但隨著研究的深入，認(rèn)識(shí)程度會(huì)越

9、來越高。(2)地域因素a經(jīng)濟(jì)水平和醫(yī)學(xué)水平：經(jīng)濟(jì)水平和醫(yī)學(xué)水平高的地區(qū)的疫情控制情況會(huì)明顯比水平低的地方好。b人口密度和人口流動(dòng)：人口密度和人口流動(dòng)大的城市若爆發(fā)傳染病，疫情程度會(huì)比人口密度和人口流動(dòng)小的城市大。c氣候：sars適合在春秋兩季傳播，且各城市的氣候會(huì)疫情程度。綜上我們認(rèn)為一個(gè)較好的傳染病傳播模型因該具有如下功能： a能較好的描述疫情的大致走勢(shì)。 b能較精確的給出關(guān)鍵時(shí)間（初期爆發(fā)時(shí)刻；中期穩(wěn)定時(shí)刻；高峰期；0病例增長(zhǎng)的時(shí)刻），以便政府和衛(wèi)生部門針對(duì)不同作出及時(shí)而正確的措施。 c能給出描述疫情的指標(biāo)，以便政府和衛(wèi)生部門決定其各項(xiàng)工作的力度。4、模型的相關(guān)假設(shè)1、所獲得的數(shù)據(jù)由權(quán)威部

10、門提供的全國(guó)疫情統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)真實(shí)可信；2、將sars所有傳播途徑都視為與病源的接觸 3、在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)視為常數(shù)n，即認(rèn)為本地區(qū)流入的人數(shù)與流出的人數(shù)均相等，時(shí)間以天為單位：4、假設(shè)每個(gè)病人單位時(shí)間有效接觸人數(shù)r(所謂“有效接觸”是指病人與健康這接觸時(shí)，足以使健康者受到感染而成為病人)為常數(shù)：5、根據(jù)國(guó)家衛(wèi)生部門資料可知處于潛伏期的sars病人不具有傳染性：6、根據(jù)國(guó)家衛(wèi)生部資料，sars康復(fù)者二度感染的概率為0，他們已經(jīng)退出傳染體系，因此將他們歸為“退出者”。7、將人群分為五類： 1. 健康者：(易感人群) 2已被隔離的sars感染患者 疑似病人：被隔離但沒有確診或排除的人員。確

11、診sars感染患者3. 未被隔離的sars感染患者。 4. 治愈人群（不會(huì)傳染sars的人群）死亡人群治愈人群5、模型的建立與求解5.1 sars傳播模型的建立1 根據(jù)之前的定義和假設(shè)，我們知道每個(gè)未被隔離的sars病毒感染者每天可以使s個(gè)健康易感染者，假設(shè)未被感染者的sars感染人數(shù)為。因而知道每天被未隔離感染者感染的健康易感染者共有s。同理，每天被已隔離的感染者感染的健康者共有。此外還知道每天新增被隔離的感染sars患者總數(shù)為：。綜合可得出，每天新增的、未被隔離病人感染的數(shù)量總數(shù)為：+ （1）在每天新增被隔離的sars感染者中減去每天治愈的人數(shù)和死亡的人數(shù)，可以得到有效的每天感染者的數(shù)量：

12、 （2）每日治愈人數(shù) = （3）每日死亡人數(shù) (4)并且，根據(jù)所占比例。應(yīng)有： (5)上述式（1）（5）構(gòu)成了求解sars模型所需的常微分方程組，即sars模型。5.2問題的求解。考慮到直接擬合推導(dǎo)各個(gè)比率參數(shù), 存在很大的難度, 我們采取了整體擬合的策略, 以避免求解、時(shí)遇到相關(guān)數(shù)據(jù)缺乏所造成的困難。5.2.1預(yù)測(cè)北京最終的累計(jì)非典感染人數(shù)根據(jù)假設(shè)，每日新增的sars病毒的感染者人數(shù)為 ，其中有來自新收治病例的20%，來自疑似病例中的 80%，根據(jù)已知數(shù)據(jù)有當(dāng)天新隔離感染者為： =（當(dāng)天確診人數(shù)-前一天確診人數(shù)）20%+（后一天確診人數(shù)-當(dāng)天確診人數(shù)）80%以2003年4月21日作為第一天，

13、據(jù)此計(jì)算從4.21-5.17,每日新增隔離的病毒感染者人數(shù)如表1所示：日期123456789113.4105.285.898.6109.412393.2135.4104日期10111213141516171810989100.670.687.669.283.887.450.2日期19202122232425262748.240.438.842.2271917.215414.2根據(jù)這27組數(shù)據(jù)，對(duì)表1所得計(jì)算結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)單的描點(diǎn)（如圖1折線所示）其分布與指數(shù)曲線 近似(如圖1曲線所示)，所以對(duì)其進(jìn)行整體回歸擬合得到的表達(dá)式為： 通過擬合的曲線能夠看到，在t=76的時(shí)候，新增隔離病毒感染者人數(shù)已近趨

14、于0。5.2.2 預(yù)測(cè)北京sars疫情結(jié)束的大致時(shí)間當(dāng)北京當(dāng)天需要被隔離的人數(shù)降到0時(shí)，說明sars病毒已經(jīng)不再傳播，疫情已經(jīng)解除。每日處在隔離中的sars感染的總?cè)藬?shù)為。 =當(dāng)天已經(jīng)確診的病例-當(dāng)天死亡人數(shù)-當(dāng)天治愈出院人數(shù)t123456789113.4105.285.598.6109.412393.2135.4104103999320573743683796.499.269.585.697.411483.2132.492t10111213141516171810989100.670.687.669.283.887.450.2710963313711979543432937282.659.6

15、80.663.266.877.437.2t19202122232425262748.240.438.842.2271917.215.414.26711223685163422495511440.231.423.811.2-14611.2-1.4-23.8對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的描點(diǎn)，其圖像大致和高斯函數(shù)圖像較為吻合，如圖2所示當(dāng)=0時(shí)，也就是說在7月10或7月11左右，北京地區(qū)當(dāng)天隔離的sars感染人數(shù)為0，我們預(yù)測(cè)此時(shí)北京的非典疫情結(jié)束。6、模型評(píng)價(jià)及改進(jìn)1、評(píng)價(jià)模型對(duì)北京地區(qū)中期的計(jì)算值與實(shí)際值基本吻合，說明該模型有一定的實(shí)用性。但對(duì)后期預(yù)測(cè)與后來的實(shí)際情況卻有一定差距，而實(shí)際上，各地區(qū)的政策及人們

16、生活習(xí)慣各有所不同，因此用一個(gè)地區(qū)所獲得的參數(shù)去預(yù)測(cè)另一地區(qū)，其結(jié)果只具有參考性，而不具備很強(qiáng)的可靠性。所以該模型的實(shí)用性有一定局限。經(jīng)過計(jì)算，以4月20 日作為嚴(yán)格隔離開始時(shí)間，那么在外未被隔離的病人大概為1500人，如果嚴(yán)格隔離往后推5天，那么開始嚴(yán)格隔離時(shí)的在外患者人數(shù)約為2500人，那么這樣的結(jié)果時(shí)sars的疫情大大加深，當(dāng)然，如果嚴(yán)格隔離提前5天起，那個(gè)疫情將會(huì)減輕。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們的模型中沒有考慮sars病的潛伏期，sars病毒的潛伏期一般為2-7天，并在潛伏期內(nèi)，該病人不具有傳染性，因此對(duì)北京最終sars病毒感染者的總數(shù)沒有太大影響，但它明顯一定程度會(huì)影響高峰期和結(jié)束期，這是該

17、預(yù)測(cè) 模型需要改進(jìn)的地方。模型采用微分方程本身就有一定的缺限，其計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性、可靠性將受到限制，再加之?dāng)?shù)值解的不確定性，模型對(duì)長(zhǎng)時(shí)間的預(yù)測(cè)有它的局限性。因時(shí)間限制模型沒能更多考慮交叉分類進(jìn)行。2、改進(jìn)若能建立以隨機(jī)偏微分方程組為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，將大大提高計(jì)算的準(zhǔn)確性與可靠性，使得預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確，但這樣做將遇到模型求解，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確收集和數(shù)值求解的不精確性等諸多困難。參考文獻(xiàn)1中華人民共和國(guó)衛(wèi)生部網(wǎng)站，http：wwwm0hgovcn2百度百科：http：3王樹禾著常微分方程模型與混沌m 4朱道元編著數(shù)學(xué)建模精品案例m東南大學(xué)出版社，1999年8月第1版5王兵團(tuán)編著.數(shù)學(xué)

18、建?；A(chǔ)。6吳建國(guó)編著.數(shù)學(xué)建模案例精編。附錄附件1：北京市疫情的數(shù)據(jù)( 據(jù)：/resource/detail.asp?resourceid=66070 )已確診病例累計(jì)現(xiàn)有疑似病例死亡累計(jì)治愈出院累計(jì)當(dāng)天退出數(shù)當(dāng)天病人數(shù)當(dāng)天病例退出率治愈率3394021833174310.0394430.076566482610254365200.0115380.0826925886662846166190.0258480.0743136937823555136840.0190060.0804097748633964127740.0155040.0826878

19、77954427398730.0103090.0836298810934876109900.0101010.076768111412555678310650.0028170.0732391199127559781212100.0099170.0644631347135866831612910.0123930.0642911440140875901713880.0122480.06484115531415821001814540.012380.06877616361468911091115410.0071380.0707331741149396115715920.0043970.07223618

20、031537100118616790.0035740.07028189715101031211717360.0097930.0697196015231071341018080.0055310.074115204915141101411318850.0068970.074801213614861121521819130.0094090.07945621771425114168919450.0046270.086375222713971161751519740.0075990.088652226514111201863119980.0155160.0930932304137812920841201

21、00.0203980.103483234713381342441319920.0065260.1224923701308139252619970.0030050.126189238813171402571720080.0084660.127988240512651412733820060.0189430.136092242012501453072719820.0136230.154894243412501473322019580.0102150.169561243712491503495019450.0257070.179434244412251543955418950.0284960.208

22、443244412211564478318530.0447920.24123245612051585285617790.0314780.296796246511791605828817480.0503430.332952249011341636674116690.0245660.399641249911051677044416330.0269440.431108250410691687478515970.0532250.467752251210051728284115140.0270810.54689625149411758666314760.0426830.58672125178031769

23、287914160.0557910.655367252076017710068513380.0635280.7518682521747181108797512530.7781320.86751825217391902053672780.2410077.38489225217341902120352110.16587710.0473925217241912154171760.09659112.2386425217181912171181590.11320813.6540925217161912189421410.29787215.524822521713191223126990.26262622

24、.535352521550191225720730.27397330.9178125214511912277-116354-21.53742.16667252235118111243312170.0271160.92358325227118111573211840.0270270.9771962522418111897411520.0642361.0321182522318112635810780.0538031.171614252266818113218410200.0823531.295098252225718314031419360.1506411.4989322522155184154

25、31107950.1383651.940881252231841653966850.1401462.4131392522518617471985890.3361632.966044252241871944523910.1329924.971867252231891994213390.0619475.882006252231892015-575319-1.802516.3166142523218314463788940.4228191.61745252321861821565160.1085273.52907252321871876-0.289883.118497附件3：北京市接待海外旅游人數(shù)（

26、單位：萬人）年1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.511.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32

27、.8 18.511.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.713.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.915.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2附4t123456789113.4105.285.598.6109.412393.2135.4104103999320573743683796.499.269.585.697.411483.2132.492t10111213141516171810989100.670.68

28、7.669.283.887.450.2710963313711979543432937282.659.680.663.266.877.437.2t19202122232425262748.240.438.842.2271917.215.414.26711223685163422495511440.231.423.811.2-14611.2-1.4-23.8113.4105.285.898.6109.4 123 93.2 135.4104日期10111213141516171810989100.670.687.669.283.887.450.2日期19202122232425262748.240

29、.438.842.2271917.215414.2附5 x=1:1:27;y=113.4 , 105.2, 85.8 , 98.6 , 109.4 , 123 , 93.2 , 135.4 , 104 , 109 , 89 , 100.6 , 70.6 , 87.6 , 69.2 , 83.8 , 87.4 , 50.2 , 43.2 , 40.4 , 38.8 , 42.2 , 27 , 19 , 17.2 , 15.4 , 14.2;plot(x,y);clf;x=1:1:27;y=113.4 , 105.2, 85.8 , 98.6 , 109.4 , 123 , 93.2 , 135.4 , 104 , 109 , 89 , 100.6 , 70.6 , 87.6 , 69.2 , 83.8 , 87.4 , 50.2 , 43