1、絕對值與絕對值方程【概念引入】觀察上圖，小明、小麗家離學校多遠？在數(shù)軸上點A、點B所表示的數(shù)分別是3，-5，它們與原點的距離分別是3和5，我們把3叫做3的絕對值；5叫做-5的絕對值.一個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點與原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值.的絕對值記作.【絕對值的意義】 代數(shù)意義從數(shù)值上看： 幾何意義從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點之間的距離。如果，則例1. 求5.3，-18，0，的絕對值.解：【絕對值的性質(zhì)】可以概括為：一個正數(shù)的絕對值是它本身；零的絕對值是零；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等.練習1.，求x的值.解：x-3=5或x-3=-5，解得

2、x=8或x=-2練習2. 如果有理數(shù)a，b滿足a=5,b=4且ab，求a和b的值.解：a=-5，b=4鞏固題1. 已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖所示，化簡.解：| a | + | a+b | +|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a2. 已知：，且，化簡.解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所以3.（非負性）已知|ab2|與|a1|互為相反數(shù)，試求下式的值分析：利用絕對值的非負性，我們可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=24.已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)，兩點之間的距離為8，求這兩個數(shù)；若數(shù)

3、軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)呢？解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y。由題意得：，（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè)：若x在原點左側(cè)，y在原點右側(cè)，即 x0，則 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原點右側(cè)，y在原點左側(cè)，即 x0，y0，則 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)：若x、y在原點左側(cè)，即 x0，y0，y0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12【含絕對值的方程】 絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的方程，稱之為含有絕對值的方程。 解含有絕對值的方程，關(guān)鍵是根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，化成不含絕對值的方程，從而求出方程的解。為了去掉絕對值符號，有時要對字母

4、取值進行分段討論（即零點分段）。1. 解下列方程（1）; （2）;（3）; 解：（1）由 得：。所以。（2）原方程可化為：，由絕對值的定義得：或，分別求得： 或 。（3）由于任何數(shù)的絕對值是非負數(shù)，所以不論取什么數(shù)，都有，故原方程無解。2. 解下列方程：（1）； （2）； （3） （4） .解：（1）由題意知： 或 分別解得：（2）由題意知，解得 （3）由題意知 ： 即由絕對值的意義知，原方程化為 或 ，分別解得： 或 又由于 ，不合題意，舍去。所以原方程的解為： 。提示：強調(diào)驗根。（4）由原方程得：，且 解 ，得；解 ，得； 由于時，；時，所以原方程的解為： 或 3. 若與互為相反數(shù)，試求代

5、數(shù)式的值。解：因為與互為相反數(shù)，所以，故有，解之得， 所以:。4. 若，化簡。解：，因此 5. 設(shè)，且 試化簡.6. 若，則滿足條件的整數(shù)的值有多少個，并求出它們的和。則a的值有7個，它們的和為21。7. 已知關(guān)于的方程的解滿足，求的值。8. 已知，求的值。解：若，則原方程可化為：，解得，舍去；若，則原方程可化為：，解得，符合。所以。9. 求的最小值。解：法一：利用絕對值的幾何意義求解：數(shù)軸上的點到1，-1這兩點的距離之和只有兩種情況，一是y=2,二是y2，所以y最小值為2法二：10. 滿足的整數(shù)共有多少個？解：利用絕對值的幾何意義求解：當為整數(shù)時，必為整數(shù)。由圖可知，數(shù)軸上到這兩點距離之和為

6、6的整數(shù)點為：，其中，只有當和時有整數(shù)，分別解得和，即滿足條件的整數(shù)共有2個。11. 化簡。分析 零點分段法?；啽绢}的關(guān)鍵在于去掉兩個絕對值符號，只去掉一個絕對值符號很容易，如，只考慮的正負，可以分為與兩種情況來討論。這里是使的的值。我們稱它為一個零點，同理，對于，也有一個零點。為了同時去掉兩個絕對值符號，我們將零點都標在同一數(shù)軸上。這兩點將數(shù)軸分為三個部分（如圖所示），即。我們就分這三種情況進行討論。解 當時， 原式當時， 原式當時， 原式即 原式=12. 解方程分析 解含有絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，這可用“零點分段法”，即令，分別得到。用將數(shù)軸分為3段：，然后在每一段上去掉絕對值符號再求解。解： （1）當時，原方程化為 解得 。在所給范圍之內(nèi)，所以是原方程的解。 （2）當時，原方程化為 解得 。它不在的范圍之內(nèi)，所以不是原方程的解，舍去。 （3）當時，原方程化為 解得 。在所給范圍之內(nèi)，所以是原方程的解。 綜上，原方程的解為或。當時， 原式即 原式=13. 解方程分析 解含有絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，這可用“零點分段法”，即令，分別得到。用將數(shù)軸分為3段：，然后在每一段上去掉絕對值符號再求解。解： （1）當時，原方程化為 解得 。在所給范圍之內(nèi)，所以是原方程的解。 （2）當時，原方程化為 解得 。它不在的