1、全等三角形的經(jīng)典模型（一）3滿分晉級(jí)三角形9級(jí)全等三角形的經(jīng)典模型（二）三角形8級(jí)全等三角形的經(jīng)典模型（一）三角形7級(jí)倍長中線與截長補(bǔ)短秋季班第四講秋季班第三講秋季班第二講漫畫釋義 作弊？知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 題型一：等腰直角三角形模型思路導(dǎo)航等腰直角三角形數(shù)學(xué)模型思路：利用特殊邊特殊角證題（ac=bc或）.如圖1；常見輔助線為作高，利用三線合一的性質(zhì)解決問題.如圖2；補(bǔ)全為正方形.如圖3，4. 圖1 圖2 圖3 圖4 典題精練【例1】 已知：如圖所示，rtabc中，ab=ac，o為bc的中點(diǎn)，寫出點(diǎn)o到abc的三個(gè)頂點(diǎn)a、b、c 的距離的關(guān)系（不要求證明）如果點(diǎn)m、n分別在線段ac、ab上移動(dòng)，且在移

2、動(dòng)中保持an=cm.試判斷omn的形狀，并證明你的結(jié)論.如果點(diǎn)m、n分別在線段ca、ab的延長線上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持an=cm，試判斷中結(jié)論是否依然成立，如果是請(qǐng)給出證明【解析】 oa=ob=oc連接oa,oa=oc an=cmanocmo on=om omn是等腰直角三角形onm依然為等腰直角三角形，證明：bac=90，ab=ac，o為bc中點(diǎn)bao=oac=abc=acb=45，ao=bo=oc，在ano和cmo中，anocmo（sas）on=om，aon=com，又comaom=90，omn為等腰直角三角形【例2】 兩個(gè)全等的含，角的三角板和三角板，如圖所示放置，三點(diǎn)在一條直線上，連接

3、，取的中點(diǎn)，連接，試判斷的形狀，并說明理由【解析】是等腰直角三角形證明：連接由題意，得 為等腰直角三角形.，又，是等腰直角三角形【例3】 已知：如圖，中，是的中點(diǎn)，于，交于，連接求證：【解析】 證法一：如圖，過點(diǎn)作于，交于，在和中，在和中，證法二：如圖，作交的延長線于，在和中，在和中，【例4】 如圖，等腰直角中，為內(nèi)部一點(diǎn)，滿足，求證：【解析】 補(bǔ)全正方形，連接dp，易證是等邊三角形，【探究對(duì)象】等腰直角三角形添補(bǔ)成正方形的幾種常見題型 在解有關(guān)等腰直角三角形中的一些問題，若遇到不易解決或解法比較復(fù)雜時(shí)，可將等腰直角三角形引輔助線轉(zhuǎn)化成正方形，再利用正方形的一些性質(zhì)來解，常?？梢云鸬交y為易的

4、效果，從而順利地求解。例4為求角度的應(yīng)用，其他應(yīng)用探究如下：【探究一】證角等【備選1】如圖，rtabc中，bac=90，ab=ac，m為ac中點(diǎn)，連結(jié)bm，作adbm交bc于點(diǎn)d，連結(jié)dm，求證:amb=cmd【解析】 作等腰rtabc關(guān)于bc對(duì)稱的等腰rtbfc，延長ad交cf于點(diǎn)n，anbm，由正方形的性質(zhì)，可得an=bm，易證rtabm rtcan，amb=cnd，cn=am，m為ac中點(diǎn)，cm=cn，1=2，可證得cmdcnd，cnd=cmd，amb=cmd【探究二】判定三角形形狀【備選2】如圖，rtabc中，bac= 90，ab=ac，ad=ce，anbd于點(diǎn)m，延長bd交ne的延長

5、線于點(diǎn)f，試判定def的形狀【解析】 作等腰rtabc關(guān)于bc對(duì)稱的等腰rtbhc，可知四邊形abhc為正方形，延長an交hc于點(diǎn)k，akbd，可知ak=bd，易證:rtabdrtcak，adb=ckn，ck=ad，ad=ec，ck=ce，易證ckncen，ckn=cen，易證edf=def，def為等腰三角形【探究三】利用等積變形求面積【備選3】如圖，rtabc中，a=90，ab=ac，d為bc上一點(diǎn)，deac，dfab，且be=4，cf=3，求s矩形dfae【解析】 作等腰rtabc關(guān)于bc的對(duì)稱的等腰rtgcb，可知四邊形abgc為正方形，分別延長fd、ed交bg、cg于點(diǎn)n、m，可知d

6、n=eb=4，dm=fc=3，由正方形對(duì)稱性質(zhì)，可知s矩形dfae=s矩形dmgn=dmdn=34=12【探究四】求線段長【備選4】如圖，abc中，adbc于點(diǎn)d，bac=45，bd=3，cd=2，求ad的長【分析】此題若用面積公式結(jié)合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但bac=45，若分別以ab、ac為對(duì)稱軸作rtadb的對(duì)稱直角三角形和rtadc的對(duì)稱直角三角形，這樣就出現(xiàn)兩邊相等且夾角為90的圖形，滿足等腰直角三角形的條件，然后再引輔助線使之轉(zhuǎn)化為正方形【解析】 以ab為軸作rtadb的對(duì)稱的rtaeb，再以ac為軸作rtadc的對(duì)稱的rt

7、afc可知be=bd=3，fc=cd=2，延長eb、fc交點(diǎn)g，bac=45，由對(duì)稱性，可得eaf=90，且ae=ad=af，易證四邊形afge為正方形，且邊長等于ad，設(shè)ad=x，則bg=x3，cg=x2，在rtbcg中，由勾股定理，得，解得x=6，即ad=6【探究五】求最小值【備選5】如圖，rtabc中，acb=90，ac=bc=4，m為ac的中點(diǎn)，p為斜邊ab上的動(dòng)點(diǎn)，求pm+pc的最小值【解析】 將原圖形通過引輔助線化歸為正方形，即作rtacb關(guān)于ab對(duì)稱的rtadb，可知四邊形acbd為正方形，連接cd，可知點(diǎn)c關(guān)于ab的對(duì)稱點(diǎn)d，連接md交ab于點(diǎn)p，連接cp，則pm+pc的值為最

8、小，最小值為:pm+pc=dm=題型二：三垂直模型思路導(dǎo)航常見三垂直模型例題精講【引例】 已知abbd，edbd，ab=cd，bc=de，求證：acce；若將cde沿cb方向平移得到等不同情形， 其余條件不變，試判斷acc1e這一結(jié)論是否成立？若成立，給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由. 【解析】 abbd，edbd 在與中（sas）,即acce 圖四種情形中，結(jié)論永遠(yuǎn)成立，證明方法與完全類似，只要證明 acc1e典題精練【例5】 正方形中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在第一象限求正方形邊長及頂點(diǎn)的坐標(biāo)（計(jì)算應(yīng)用：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）【解析】 過點(diǎn)c作cgx軸于g，過b作b

9、ey軸于e，并反向延長交cg于f點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，be=8， ae=6，ab=10四邊形abcd是正方形，ab=bc aebbfccf=be=8，bf=ae=6 cg=12 ef=14c(14，12)，正方形的邊長為10【點(diǎn)評(píng)】 此題中三垂直模型：【例6】 如圖所示，在直角梯形中，是的中點(diǎn)， 求證：； 求證：是線段的垂直平分線； 是等腰三角形嗎？請(qǐng)說明理由 【解析】，是中點(diǎn)，由得：，由等腰三角形的性質(zhì)，得：即是線段的垂直平分線是等腰三角形，由得：，由得：，是等腰三角形【例7】 如圖1，abc是等邊三角形，d、e分別是ab、bc上的點(diǎn)，且bd=ce，連接ae、cd相交于點(diǎn)p請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并直接寫

10、出apd的度數(shù)= ；如圖2，rtabc中，b=90，m、n分別是ab、bc上的點(diǎn)，且am=bc、bm=cn，連接an、cm相交于點(diǎn)p請(qǐng)你猜想apm= ，并寫出你的推理過程（2013平谷一模）【解析】 圖略，6045證明：作aeab且.可證， 是等腰直角三角形, 又aec can（sas） ecan. 思維拓展訓(xùn)練(選講)訓(xùn)練1. 已知：如圖，中，ac=bc，是上一點(diǎn)，aebd的延長線于e，并且，求證：bd平分.【解析】 延長ae交bc的延長線于fbeaf ， 在afc和bdc中，afcbdc（asa）af=bd又 be是af的中垂線ba=bf bd平分訓(xùn)練2. 已知，在正方形abcd中，e在b

11、d上，dgce于g，dg交ac于f.求證：oe=of【解析】 abcd是正方形od=oc dgce 在dof和coe中，dofcoe（asa） oe=of訓(xùn)練3. 已知：如圖，中，是的中點(diǎn)，于求證：【解析】 ，是的中點(diǎn)ad=bd=cd， adbc在bdh和adf中，bdhadf（asa）dh=df訓(xùn)練4. 如圖，已知矩形abcd中，e是ad上的一點(diǎn)，f是ab上的一點(diǎn)，efec，且ef=ec，de=4cm，矩形abcd的周長為32cm，求ae的長【解析】 在rtaef和rtdec中， efce， fec=90， aef+dec=90，而ecd+dec=90，aef=ecd 又fae=edc=90

12、ef=ecrtaefrtdce ae=cd ad=ae+4矩形abcd的周長為32 cm， 2（ae+ae+4）=32 解得ae=6 cm 復(fù)習(xí)鞏固題型一 等腰直角三角形模型 鞏固練習(xí)【練習(xí)1】 如圖，acb、ecd均為等腰直角三角形，則圖中與bdc全等的三角形為_.【解析】 aec【練習(xí)2】 如圖，已知中，是的中點(diǎn)，垂足為，交的延長線于點(diǎn)求證：【解析】 ，又，是的中點(diǎn)，即題型二 三垂直模型 鞏固練習(xí)【練習(xí)3】 已知：如圖，四邊形abcd是矩形（adab），點(diǎn)e在bc上，且ae =ad，dfae，垂足為f請(qǐng)?zhí)角骴f與ab有何數(shù)量關(guān)系？寫出你所得到的結(jié)論并給予證明fadceb【解析】 經(jīng)探求，結(jié)

13、論是：df = ab 證明如下：四邊形abcd是矩形， b = ， adbc， daf = aeb dfae， afd = ， ae = ad ， ab = df【練習(xí)4】 如圖，中，是上任意一點(diǎn)，交延長線于，于求證：【解析】 根據(jù)條件，、都與互余，在和中，則，【練習(xí)5】 四邊形abcd是正方形如圖1，點(diǎn)g是bc邊上任意一點(diǎn)(不與b、c兩點(diǎn)重合)，連接ag，作bfag于點(diǎn)f，deag于點(diǎn)e求證：abf dae；在中，線段ef與af、bf的等量關(guān)系是 (直接寫出結(jié)論即可，不需要證明)；如圖2，點(diǎn)g是cd邊上任意一點(diǎn)(不與c、d兩點(diǎn)重合)，連接ag，作bfag于點(diǎn)f，deag于點(diǎn)e那么圖中全等三角形是 ，線段ef與af、bf的等量關(guān)系是 (直接寫出結(jié)論即可，不需要證明)【解析】 在正方形abcd中，ab=ad，在abf和dae中（aas）abfdae課后測(cè)測(cè)試1. 問題：已知中，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，探究與度數(shù)的比值請(qǐng)你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明當(dāng)時(shí)，依問題中的條件補(bǔ)全右圖觀察圖形，與的數(shù)量關(guān)系為_；當(dāng)推出時(shí)，可進(jìn)一步推出的度數(shù)