1、1.4 晶體的宏觀對稱性（crystal symmetry）,一、 晶體的對稱性（crystal symmetry） 二、 晶體的對稱操作和對稱元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ） 三、 點(diǎn)群和空間群（point group and space group） 四、 七大晶系和十四種布拉菲格子 （seven crystal systems and fourteen Bravais lattices）,本節(jié)思路：給出晶體的對稱性、對稱操作、對稱元素，介紹點(diǎn)群和 空間群的概念，在此基礎(chǔ)上介紹晶體的七大晶系和十四 種布拉菲格子等

2、。,Symmetry everywhere,Pictures from Dr. John Reid,Symmetry everywhere,Pictures from Dr. John Reid,Mirror Plane Symmetry “Arises when one half of an object is the mirror image of the other half”,一、 晶體的對稱性（crystal symmetry）,一個晶格，在平移格矢 （ 為整數(shù)）之后，結(jié)果與原來晶格完全一樣，特性也完全相同，這種性質(zhì)稱為晶體的平移對稱性。,（一）晶體的平移對稱性（ crystal t

3、ranslation symmetry ）,晶體的平移對稱性，概括了晶體的周期性，也就是說，在晶格中，位置矢量 表示的格點(diǎn)和位置矢量 表示的格點(diǎn)情況完全相同，相應(yīng)的物理性質(zhì)也完全相同。,如果用 表示晶格的某一個物理量，則有,晶體的對稱性就是指晶體經(jīng)過某些特定的操作之后，能夠回復(fù)到原來狀態(tài)的性質(zhì)。這些特定的操作，稱為對稱操作。,（二）晶體的對稱性與對稱操作（crystal symmetry and operation）,晶體對稱性可以分為宏觀對稱性（指操作時，晶體至少有一點(diǎn)保持不變）和微觀對稱操作（對稱操作中包括平移操作，或者是有平移操作的復(fù)合操作）。 晶體的宏觀對稱性，歸根結(jié)底是由于晶體中原子

4、規(guī)則排列的結(jié)果，它必然受到平移對稱性的制約。對稱操作所依賴的幾何要素，如點(diǎn)、線和面等，稱為對稱元素。,（三）晶體對稱性的分類,比如，立方體結(jié)構(gòu)的對稱操作共有48個，金剛石結(jié)構(gòu)共有24個對稱操作，所以，立方結(jié)構(gòu)的對稱性比金剛石結(jié)構(gòu)的對稱性高。,對稱操作 一個物體在某一個正交變換下保持不變, 物體的對稱操作越多，其對稱性越高,立方體的對稱操作,1) 繞三個立方軸轉(zhuǎn)動, 9個對稱操作, 8個對稱操作,3) 繞4個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動,4) 正交變換, 1個對稱操作, 立方體的對稱操作共有48個,5) 以上24個對稱操作 加中心反演仍是對稱操作,正四面體的對稱操作, 四個原子位于正四面體的四個頂角上,

5、金剛石晶格, 對稱操作包含在 立方體操作之中, 共有3個對稱操作,1) 繞三個立方軸轉(zhuǎn)動, 8個對稱操作,2) 繞4個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動,3) 正交變換, 1個對稱操作, 6個對稱操作, 6個對稱操作, 正四面體 對稱操作共有24個,正六面柱的對稱操作,1) 繞中心軸線轉(zhuǎn)動, 5個, 3個,3) 繞相對面中心連線轉(zhuǎn)動, 3個,4) 正交變換,5) 12個對稱操作加中心反演, 正六面柱的對稱操作有24個,2) 繞對棱中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動, 1個,二、 晶體的對稱操作和對稱元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ）,（一）對稱操作（sym

6、metrical operation）,從對稱性的角度概括和區(qū)別不同晶體的宏觀對稱性，就是要考查這些晶體所具有的剛性對稱操作。這些對稱操作包括： 繞某一個軸的轉(zhuǎn)動操作 對某一個面的鏡像操作 對某一個點(diǎn)的反演操作以及它們的組合操作 這些對稱操作不是平移對稱操作，被稱作是宏觀對稱操作。因?yàn)檫@些操作保持空間的某一點(diǎn)不動，又稱為點(diǎn)對稱操作。,和剛體一樣，晶體中任何兩點(diǎn)之間的距離，在操作前后應(yīng)保持不變。如果用數(shù)學(xué)表示，這些操作就是我們熟知的線性變換。,這個操作可以表示為線性變換：,這里,用矩陣可以表示，（1.4.1）式可以寫成,（1.4.2）,，,，,（1.4.3）,即,I 是單位矩陣,也就是說，應(yīng)有,

7、即 A 為正交矩陣，其行列式的值,1、轉(zhuǎn)動（rotation）,直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)動,如圖，使晶體繞直角坐標(biāo) x1 軸轉(zhuǎn)動角，則晶體中的點(diǎn),三維晶體的正交變換有以下幾種：,變換關(guān)系為,變換關(guān)系用矩陣表示，則為,可以用變換矩陣A 具體代表這一轉(zhuǎn)動操作。,2、中心反演 (centre inverse),變換關(guān)系為,變換矩陣,3、鏡像（mirror planes）,變換關(guān)系為,變換矩陣,由于晶格周期性的限制，n 只能取1，2，3，4和6，即晶體不能有5度或6度以上的旋轉(zhuǎn)軸，這個規(guī)律稱為晶體的對稱性規(guī)律。,證明如下：,如圖所示，設(shè)此平面為一晶面，格點(diǎn) A、B 是位于同一晶列 O 點(diǎn)上 的兩個最近鄰格點(diǎn)。將晶

8、格繞通過 O 點(diǎn)并垂直于紙面的轉(zhuǎn)軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度后，B 點(diǎn)轉(zhuǎn)到 B 點(diǎn)，如果這時晶體與自身重合，B點(diǎn)處原來必定有一格點(diǎn)。如果再繞 O 點(diǎn)順時針方向轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度，晶格又恢復(fù)到未轉(zhuǎn)動時的狀態(tài)。但是，順時針方向轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角，A點(diǎn)轉(zhuǎn)到A點(diǎn)，A點(diǎn)處原來也一定是格點(diǎn)。,一晶面上的晶列,設(shè)晶格的周期為a ，則由幾何關(guān)系有,其中 m 為整數(shù)。由上式以及余弦函數(shù)的取值范圍，可得,可以看出 的取值只能是,n 只能取1，2，3，4 和6 五個值。 也就是說，不可能有5重、7重等旋轉(zhuǎn)對稱軸存在。, 4重軸、 3重軸、 2重軸的表示,N 度旋轉(zhuǎn)對稱軸的度數(shù)常用不同的符號表示，如表1-1所示。,2、反映和鏡面(refl

9、ection and mirror) 晶體沿某一平面反映后能與自身重合的操作，稱為反映對稱操作(operation of reflection symmetry)。 對稱元素即該操作所依賴的平面，稱為鏡面（或?qū)ΨQ面），用 （或m）表示。 如果鏡面是水平的，記為 鏡面是垂直的，記為,3、n 度象轉(zhuǎn)軸(n-fold mirror rotation axis) 晶體繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)角度,由于晶格周期性的限制，這里的 n 也只能取1，2，3，4 和 6。,對稱元素是二度象轉(zhuǎn)軸和鏡面的交點(diǎn)，稱為對稱中心。 中心反演也是復(fù)合操作，,稱為中心反演。 中心反演實(shí)際上就是對晶體進(jìn)行,5、旋轉(zhuǎn)-反演軸 （rota

10、tion and inverse axis）,用,表示。,也只能取,和,五種。,同樣，,這也是一種復(fù)合對稱操作。,實(shí)際上，,表示中心反演，即,是垂直于該軸的對稱面（鏡像），,2度旋轉(zhuǎn)反演軸表示為 ，,即,如右圖所示。,從點(diǎn)1出發(fā)，轉(zhuǎn)動1200后到 1 點(diǎn)，再反演到2；再轉(zhuǎn)動1200后到 2 點(diǎn)；依次進(jìn)行下去，從點(diǎn)1出發(fā)，可以得到2，3，4，5，6 各點(diǎn)，這些點(diǎn)的分布具有3度旋轉(zhuǎn)對稱軸和對稱心。,4度旋轉(zhuǎn)反演軸 的情況與其它幾個旋轉(zhuǎn)反演軸不同，在有1，2，3，4，6，i，m 的情況下，惟有它是獨(dú)立的對稱元素和對稱操作。,一般來說，4度旋轉(zhuǎn)反演軸的效果并不等于4度旋轉(zhuǎn)軸加對稱中心，如左圖所示，圖形

11、轉(zhuǎn)900后，11，經(jīng)中心反演12，再轉(zhuǎn)900，22，經(jīng)中心反演23，以此類推。這樣就得出如圖所示的兩個相同的四面體1234和1234。這兩個四面體具有4度旋轉(zhuǎn)反演軸的對稱性。比如將四面體1234轉(zhuǎn)900后，并不時同自身重合，而是同四面體1234重合，但是將四面體1234上下倒翻一下，就和四面體1234重合了。,這五種對稱操作是宏觀對稱操作。 在宏觀對稱操作中，有一些對稱操作是另一些對稱操作的組合。 在習(xí)慣上，常把以下八種對稱操作稱為基本的對稱操作：,它們的組合可以得到32種不包括平移的宏觀對稱類型。,另外，還有兩種微觀對稱操作：n 度螺旋軸和滑移反映面。,6、n 度螺旋軸（n-fold spi

12、ral axis ）,是軸向的周期矢量。,其中，n 只能取1，2，3，4 和 6 五個值；l 為小于 n 的整數(shù)；,（一）群的概念 群是一組元素的集合，GE,A,B,C,D。 具有如下的性質(zhì): (1) 按照給定的“乘法”規(guī)則，群 G 中任意兩元素的“乘積”仍為群G內(nèi)的元素，即若 A,BG，則 ABCG。這個性質(zhì)稱為群的閉合性 （closure property）。 (2) 存在單位元素 E ，使得對所有元素 PG，有PEEPP。 (3)對任意元素 PG 。存在逆元素P1，使得 PP-1=P-1P=E 。 (4)元素間的“乘法”運(yùn)算，滿足結(jié)合律，A(BC)（AB)C。,三、 點(diǎn)群和空間群（poi

13、nt and space group）,（二）點(diǎn)對稱操作和點(diǎn)群 一個晶體具有的所有對稱操作滿足上述群的定義，構(gòu)成一個操作群。 “乘法”運(yùn)算就是連續(xù)操作 單位元素為不動操作 逆元素為轉(zhuǎn)角和平移矢量大小相等、方向相反的操作 由于晶體在進(jìn)行宏觀對稱操作時，至少有一點(diǎn)是不動的，故稱為點(diǎn)操作。 與點(diǎn)對稱操作相應(yīng)的對稱元素群，稱為點(diǎn)群。,點(diǎn)群 以基本對稱操作為基礎(chǔ)組成的對稱操作群, 由對稱素組合成群時，對稱軸的數(shù)目 對稱軸之間的夾角將受到嚴(yán)格的限制,兩個2重軸的夾角只能是, 如果存在一個n重軸和與之垂直的二重軸 就一定存在n個與之垂直的二重軸, 連續(xù)進(jìn)行操作AB 軸上一點(diǎn)N回到原處，軸2轉(zhuǎn)到2的位置,2個

14、二重軸2和2,繞軸2的轉(zhuǎn)動計 A,繞軸2的轉(zhuǎn)動計 B,A和B均為對稱操作, 是對稱操作, C的操作則是繞NN軸轉(zhuǎn)過角度2,由于晶格周期性的限制，宏觀對稱元素在組合時，由基本對稱操作的組合，可以組成32種不相同的點(diǎn)群，即32種宏觀對稱類型. 晶體的宏觀對稱只有32個不同類型,群 群加上通過n重軸及兩根二重軸角平分線 的反演面， 共2個,群 群加上中心反演,群 群加上反演面,群 群加上與n重軸垂直的反演面，共4個,群 群加上含有n重軸的反演面，共4個,群 正四面體點(diǎn)群, 含有24個對稱操作,群 立方點(diǎn)群 的24個純轉(zhuǎn)動操作,群 正四面體點(diǎn)群 的12個純轉(zhuǎn)動操作,群 群加上中心反演,群 立方點(diǎn)群,

15、含有48個對稱操作,晶體的宏觀對稱只有32個不同類型,（三）空間群 晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)部由宏觀對稱元素和微觀對稱元素一起組合而成的對稱群，稱為空間群。 空間群分為兩類：簡單空間群（symmorphic space group），由一個平移群和一個點(diǎn)群的全部對稱操作組合而成，共有73個。 復(fù)雜空間群（nonsymmorphic space group ）,群中可包含 n 重螺旋軸（ n-fold spiral axis ）以及滑移反映面（ slippage reflection plane ）。空間群的總數(shù)是230個。即所有的晶格結(jié)構(gòu)，就其對稱性而言，共有230個類型，每一類由一個空間群描述。,（一）七

16、大晶系 根據(jù)晶體的宏觀對稱性，按晶胞基矢構(gòu)成的坐標(biāo)系的性質(zhì)，可以將晶體歸納為七大類，即七大晶系。由于點(diǎn)陣的宏觀對稱操作和對稱元素的組合受到晶格周期性排列的嚴(yán)格限制， 數(shù)學(xué)上可以嚴(yán)格證明，只存在這七種晶系。任何一種晶體結(jié)構(gòu)分屬于這7個晶系之一，決定這種結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的點(diǎn)陣和點(diǎn)群。,之間的關(guān)系。,四、 七個晶系和十四種布拉菲格子 (seven crystal systems and fourteen Bravais lattices),下面從對稱性由低到高的順序，分別給出這7個晶系的名稱以及晶胞基矢,1、三斜晶系： 這一晶系有兩種對稱類型 C1和Ci，沒有任何旋轉(zhuǎn)對稱軸和對稱面，因此，,無任何限制，即

17、,An example of the triclinic crystals, microcline (微斜長石),2、單斜晶系： 屬于這一晶系的對稱類型有,它們或者是有2度旋轉(zhuǎn)軸，或者是有對稱面。,所以坐標(biāo)系的特點(diǎn)是,An example of the monoclinic crystals, orthoclase （正長石）,3、正交晶系： 屬于這一晶系的對稱類型有,這三種都是有互相垂直的對稱方向， 所以有,An example of the orthorhombic crystals, aragonite （霰石、文石）,4、四角晶系：四角晶系又稱為正方晶系。 屬于這一晶系的對稱類型有七種

18、：,和,它們都有一個4 度轉(zhuǎn)軸，取為,軸，它肯定也是2 度軸，所以,由于,為4 度軸，必定有,所以坐標(biāo)系的特點(diǎn)是,An example of the tetragonal crystals, wulfenite （鉬鉛礦）,5、六角晶系：,所以坐標(biāo)系的特點(diǎn)是,An example of the hexagonal crystals, Beryl （綠寶石）,Hexagonal Hanksite （碳酸芒硝）crystal,構(gòu)成一個菱形六面體，所以坐標(biāo)系的特點(diǎn)是,6、三角晶系：,等對稱類型。這個晶系是一種特殊對稱類型，它有一條 3度轉(zhuǎn)軸，與,具有相同的夾角，,屬于這個晶系的有,An exampl

19、e of trigonal crystals, quartz （石英）,An example of trigonal rhombohedral crystals, dolomite （白云石）,7、立方晶系：屬于這個晶系的有,五種對稱類型。這里晶軸或者是沿 4 度轉(zhuǎn)軸，或者是沿 2 度轉(zhuǎn)軸， 因此，,A rock containing three crystals of pyrite (FeS2) （黃鐵石）,7大晶系的形成和轉(zhuǎn)化,（二）十四種布拉菲格子 (fourteen Bravais lattices) 七大晶系，每一晶系中包含一種或數(shù)種特征性的點(diǎn)陣，共有十四種，即有十四種布拉菲格子。

20、任何一種晶體，對應(yīng)的晶格都是十四種布拉菲格子的一種。 從晶體所屬的布拉菲格子可以了解晶體的宏觀對稱性所具有的基本特征。 因此，布拉菲格子概括了晶格的對稱性。,表1-1 七大晶系和十四種布拉菲格子,14種布拉菲格子的晶胞,（1）簡單三斜 （2）簡單單斜 （3）底心單斜 （4）簡單正交 （5）底心正交 （6）體心正交 （7）面心正交 （8）六角 （9）三角 （10）簡單四角 （11）體心四角 （12）簡單立方 （13）體心立方 （14）面心立方,其對稱性由低級到高級，依次為： 低級：簡單三斜，簡單單斜，底心單斜， 簡單正交，底心正交，體心正交， 面心正交 中級：六角，三角，簡單四角， 體心四角 高

21、級：簡單立方，體心立方，面心立方,對于二維晶格則有四個晶系，五種布拉菲格子，如表1-3以及下頁圖所示。,表1-3 二維晶格的晶系和布拉菲格子,1.4 晶體的宏觀對稱性（crystal symmetry）,一、 晶體的對稱性（crystal symmetry） 二、 晶體的對稱操作和對稱元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ） 三、 點(diǎn)群和空間群（point group and space group） 四、 七大晶系和十四種布拉菲格子 （seven crystal systems and fourteen Bravais l

22、attices）,本節(jié)思路：給出晶體的對稱性、對稱操作、對稱元素，介紹點(diǎn)群和 空間群的概念，在此基礎(chǔ)上介紹晶體的七大晶系和十四 種布拉菲格子等。,Crystal lattices are classified according to their symmetry properties, such as inversion, reflection and rotation. Inversion center. A cell has an inversion center if there is a point at which the cell remains invariant under

23、transformation r - -r. All the Bravais lattices are inversion symmetric. Non-Bravais lattices may or may not have an inversion center depending on the symmetry of the basis. Reflection plane. A cell has a reflection plane if it remains invariant when a mirror reflection in this plane is performed. R

24、otation axis. This is an axis such that, if the cell rotated around the axis trough some angle, the cell remains invariant. The axis is called n-fold if the angle of rotation is 2 /n. Only 2-, 3-, 4-, and 6-fold axes are possible.,Summary,There are five Bravais lattice types in two dimensions shown

25、in Fig.6. For each of them the rotation axes and/or mirror planes occur at the lattice points. However, there are other locations in the unit cell with comparable or lower degrees of symmetry with respect to rotation and reflection.,In three dimensions there are 14 different Bravais crystal lattices

26、 which belong to 7 crystal systems. These systems are triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, cubic, hexagonal and trigonal.,The crystal lattices are shown in Fig.8. In all the cases the unit cell represents a parallelepiped whose sides are a1, a2 and a3. The opposite angles are called a, b

27、 and g. The relationship between the sides and the angles determines the crystal system. A simple lattice has sites only at the corners, a body-centered lattice has one additional point at the center of the cell, and a face-centered lattice has six additional points, one on each side. Note that in all the non-simple lattices the unit cells are non-prim