1、14.3空間直線與平面的位置關系,1、直線與平面垂直,1,1.回憶,空間兩條直線的位置關系相交異面平行,交點個數(shù)：幾何語言：,2,2.聯(lián)想直線與平面垂直,空間直線和平面的位置關系直線垂直于平面直線斜交于平面直線平行于平面直線在平面內(nèi),交點個數(shù)：幾何語言：,3,3.空間直線垂直于平面的定義,定義：如果一條直線l垂直于平面內(nèi)的任何直線，那么就稱這條直線l和這個平面垂直,定義中的任意改成無數(shù)多條可不可以？,4,4.體會,要驗證旗桿是否與地面垂直，你有什么好的方法？,直線與平面垂直的性質過一點有且只有一條直線和一個平面垂直過一點有且只有一個平面和一條直線垂直,5,5.空間直線垂直于平面的判定定理,1、

2、若相交改為平行，會有什么結果？,2、從右邊的長方體中體會定理2。,6,6.判定定理的應用,例題1、已知（見右圖）長方體ABCD-A1B1C1D1中，B1GBC1且交BC1于G。過A1B1的平面交BC1于H，交AD1于K,使四邊形A1B1HK為平行四邊形求證（1）B1G平面ABC1D1;（2）四邊形A1B1HK為矩形,G,H,K,D1,C1,D,C,B1,A1,B,A,注意證明過程中推理演繹的運用,7,證明:,連結AC,PAO所在的平面,PABC,AB為O的直徑,ACBC,PAAC=A,BC平面PAC,AE平面PAC,BCAE,又PCAE,AE平面PBC,8,7.課堂小結,直線與平面的位置關系直

3、線與平面垂直的定義和一些性質直線與平面垂直的判定定理,9,回家作業(yè),10,2、直線與平面的交角,14.3空間直線與平面的位置關系,11,1.直線和平面垂直的定義和判定定理分別是什么？,定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個平面垂直.,定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.,一復習：,12,2.當直線與平面相交時，對于直線與平面垂直的情形，我們已作了一些相關研究，對于直線與平面不垂直的情形，我們需要從理論上作些分析.,13,1一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,稱這條直線和這個平面斜交.(l與斜交),2稱這條直線是這個

4、平面的斜線.(斜線l),3斜線和平面的交點叫做斜足.(斜足Q),斜線上一點和斜足間的距離叫做這個點到這個平面的斜線段.(斜線段PQ),5、直線P1Q叫做斜線PQ在內(nèi)的射影,過平面外一點P向平面引垂線,垂足P1叫做P在平面內(nèi)的射影,二、斜交的相關概念,14,平面的一條斜線與這個平面總存在一個相對傾斜度，我們設想用一個平面角來反映這個傾斜度，并且這個角的大小由斜線與平面的相對位置關系所確定，那么角的頂點宜選在何處？,思考1:,15,如圖，AB為平面的一條斜線，A為斜足，AC為平面內(nèi)的任意一條直線，能否用BAC反映斜線AB與平面的相對傾斜度？為什么？,思考2:,16,反映斜線與平面相對傾斜度的平面角

5、的頂點為斜足，角的一邊在斜線上，另一邊在平面內(nèi)的哪個位置最合適？為什么？,思考3:,17,定義：直線和平面的交角,一般地,平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角.,l則l與的交角是直角,l/則l與的交角是0o角,斜線AB與的交角是ABD,A,D,C,B,斜線AC與的交角是ACD,垂線AD與的交角是直角,直線和平面所成角的范圍0,/2,三直線和平面的交角,18,當直線垂直于平面時,直線在平面內(nèi)的射影為一個點(垂足).,當直線不垂直于平面時,直線在平面內(nèi)的射影為直線上任意兩點在此平面內(nèi)的射影所確定的直線.,19,那么過一點作一個平面的斜線有多少條？,斜線l在平面內(nèi)的射影有幾條？,、兩條異面直線

6、在一個平面內(nèi)的射影可能是：,兩條相交直線，兩條平行直線，一條直線與直線外一點。,1直線l與平面所成角的大小與點A在l上的取法是否有關？,練一練,20,兩條平行直線同一個平面內(nèi)的射影可能是哪些圖形？,、三角形在一個平面內(nèi)的射影可能會是,線段、三角形,、一平面多邊形在平面內(nèi)的射影可能會是,平面多邊形、線段,那兩條相交直線呢？,21,可以證明:從平面外一點向平面引斜線段有：,（）如果斜線斷的長相等,那么它們在平面內(nèi)的射影長也相等;,（）如果兩條斜線段的長不相等,那么它們在平面內(nèi)的射影長也不相等,并且斜線段較長的其射影長也較長;,（）如果斜線段在平面內(nèi)的射影長相等,那么這兩條斜線段的長也相等；,（）如

7、果斜線段在平面內(nèi)的射影長不相等,那么這兩條斜線段的長也不相等,并且射影較長的其斜線段也較長;,22,例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直線A1B、AC1和平面ABCD所成的角；（2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.,（）求直線AC1和平面BB1D1D所成角的大小,四例題,23,例2:P是ABC所在平面外一點,且PA=PB=PC,求證:P點在平面ABC內(nèi)的射影是ABC的外心.,24,例如圖，AB為平面的一條斜線，B為斜足，AO平面，垂足為O，直線BC在平面內(nèi)，已知ABC=60，OBC=45，求斜線AB和平面所成的角.,25,4、BOC在平面內(nèi),OA是平面的斜線,若AOB=

8、AOC=60O,OA=OB=OC=a,BC=,求OA和平面所成的角.,A,O,C,B,26,5、點P是直角梯形ABCD所在平面外一點,BAD=90O,AD/BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA底面ABCD,PD與底面成30O角.(1)若AEPD,E為垂足,求證:BEPD(2)求異面直線AE與CD所成角的大小(用反三角函數(shù)表示),27,思考:如圖，直線l是平面的一條斜線，它在平面內(nèi)的射影為b，直線a在平面內(nèi)，如果ab，那么直線a與直線l垂直嗎？為什么？反之成立嗎？,28,回家作業(yè),29,14.3空間直線與平面的位置關系,3、直線與平面平行,30,直線與平面相交a=A有且只有一個交點,直線與平

9、面平行a無交點,直線在平面內(nèi)a有無數(shù)個交點,（零）直線與平面的位置關系,分類標準：“公共點的個數(shù)”,直線在平面外,31,定義：一條直線和一個平面沒有公共點，叫做直線與平面平行.,（一）線面平行的定義,32,觀察：,33,2：若將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，觀察封面邊緣所在直線l與桌面所在的平面具有怎樣的位置關系？,3圖中直線l和平面平行嗎？,34,思考：如圖，設直線b在平面內(nèi)，直線a在平面外，猜想在什么條件下直線a與平面平行？,a/b,35,平面外一條直線和此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.,（二）直線和平面平行的判定定理,36,（1）直線a平面，平面內(nèi)有n條互相平行的直線，

10、那么這n條直線和直線a()（A）全平行（B）全異面（C）全平行或全異面（D）不全平行也不全異面（2）直線a平面，平面內(nèi)有無數(shù)條直線交于一點，那么這無數(shù)條直線中與直線a平行的（）（A）至少有一條（B）至多有一條（C）有且只有一條（D）不可能有,C,B,練習：,37,A,D,38,例1、求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面。,求證：EF平面BCD,已知：空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、AD的中點。,（三）例題分析,39,例2：,分析,證法2,證法1,要證明線面平行，只需證線線平行(1)平行公理(2)三角形中位線(3)平行線分線段成比例(4)相似三角形對應邊成比例(5

11、)平行四邊形對邊平行,40,證法1,利用相似三角形對應邊成比例及平行線分線段成比例的性質,（略寫）,證法2,41,思考：教室內(nèi)日光燈管所在的直線與地面平行，如何在地面上作一條直線與燈管所在的直線平行？,42,定理內(nèi)容：符號語言：作用：圖形：,如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。,簡記為：,線面平行，則線線平行。,可作判定線線平行的依據(jù)。,（四）直線與平面平行的性質定理,43,證明：（反證法）假設直線a不平行于直線b直線a與直線b相交，假設交點為O，則abOaO，這與“a”矛盾ab,44,例1、面面平行,簡記為：,面面平行，則線線平行。,45,

12、例2：,分析,證法2,證法1,線/線,線/面,線/線,線/面,46,例2：證法2,47,例3：,分析：,證明,48,例3：證明,49,(2)證明,四邊形EFDB為平行四邊形。,即E為B1B的中點。,50,練習12,平行,（2）、（4）、（5）,體會,51,練習34,體會,52,學習體會,1、線/面問題可轉化為線/線問題解決；2、線/線問題也可轉化為線/面問題解決。3、以找過平面外的直線a的平面與平面的交線為突破口。,53,小結,證明線面平行的轉化思想：,線/線,線/面,面/面,(1)平行公理(2)三角形中位線(3)平行線分線段成比例(4)相似三角形對應邊成比例(5)平行四邊形對邊平行,要證，通

13、過構造過直線a的平面與平面相交于直線b，只要證得a/b即可。,練習,54,如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行。,線面平行的判定定理,線面平行的性質定理,如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。,小結,55,例題3有一塊木料，棱BC平行于面A1C1要經(jīng)過面A1C1內(nèi)一點P和棱BC鋸開木料，應該怎樣畫線？這線與平面AC有怎樣的關系？,56,思考：已知ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，畫出過G和AP的平面。,57,回家作業(yè),58,14.3空間直線與平面的位置關系,

14、空間距離,59,一、兩個點之間的距離,兩點之間線段最短，我們把兩點間線段長就作為兩點之間的距離,點與線之間的距離,直線l上任意一點和點A的構成的線段中最短的那條作為點A到直線l的距離,A,l,具體怎么求呢？過A做垂線交l于O，線段AO即為點到線之間的距離,O,60,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AA1=3，AD=1，(1)求點A到點C1距離；(2)求點A到棱11距離；(3)點C1到直線A1B的距離.,例題1,61,二、點與面之間的距離,線與面之間的距離,面與面之間的距離,點A和平面上任意一點構成的線段中最短的那條作為點A到平面的距離。具體求法：過點A作平面的垂線，垂足為O

15、；AO,前提：線面平行具體求法：直線l上任取一點A，作垂線，垂足為O：AO,l,前提：面面平行具體求法：平面上任取一點A，作垂線，垂足為O：AO,62,例題2,在棱長為1的正方體中ABCD-A1B1C1D1(1)求棱AB到面A1B1C1D1距離；(2)求點A到面BDD1B1的距離；(3)求點A1到平面AB1D1的距離(4)求平面AB1D1與平面BC1D的距離,63,三、線與線之間的距離,若兩直線相交若兩直線平行若兩直線異面呢？,轉化成點到線的距離,怎么作垂線？,64,若ab，bc，則a，c的位置關系是什么？這樣的b有幾條？請同學們合作，用筆比量一下。,若a,c是異面直線，ab，bc，b與a,c

16、都相交，這樣的b又能有幾條？請同學們試一下。,問題一,問題二,a,c可以平行、相交或異面，滿足條件的b有無數(shù)條。,65,與異面直線都垂直且相交的直線有且只有一條，它叫,兩異面直線的公垂線,如圖所示：ab，bc且b與兩異面直線a、c都相交，把直線b叫作a,c兩異面直線的公垂線。,66,公垂線夾在兩異面直線間的線段的長度，叫兩異面直線的距離。,在兩異面直線上各取一點，這兩點間距離的最小值就是兩異面直線的距離。,b,a,l,A,B,l是a,b的公垂線，且與a,b的交點分別是A、B那么線段AB的長叫異面直線a,b的距離。,E,F,如圖所示：EFAB,67,若正方體的邊長為1，請回答每對異面直線的距離是

17、多少。,1、A1B與D1C1公垂線是_距離是_,2、A1B與C1C公垂線是_距離是_,3、A1B與CD公垂線是_距離是_,4、B1B與AD公垂線是_距離是_,5、A1A與B1C1公垂線是_距離是_,A1D1,BC,BC,AB,A1B1,1,1,1,1,1,練習：找出每對異面直線的公垂線,68,1.如圖所示，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求異面直線BC1與D1D，BC1與DC間的距離.,例題3,69,【解題回顧】由構造異面直線的公垂線段求異面直線的距離，是高考所要求的.其構造途徑一般有兩條：一是在已知幾何體中的現(xiàn)成線段中尋找；二是過其中一條上一點作出另一條的相交垂線段.,70,立

18、體幾何中的幾種距離,2.點線距,(2)求法：轉化為點線距,1.點點距,3.線線距（a）兩條平行直線間的距離,(1)定義：兩條直線互相平行，則其中一條直線上任一點到另一直線的距離，叫兩平行直線間的距離.,(1)定義：從直線外一點作直線的垂線，與直線相交于垂足，則這個點和垂足間的距離叫這個點到這條直線的距離.,(2)求法：直接法；等面積法；平行轉化法.,71,(1)定義：兩條異面直線的公垂線在這兩異面直線間的線段的長度，叫兩條異面直線之間的距離.,(2)求法：考試要求題中給出公垂線段，故只須直接找出即可.直接法，即求公垂線段的長；轉化成求直線與平面的距離函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點間距離中最小的,3.線線距（b）兩條異面直線間的距離,72,5.線面距,(1)定義：從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫這個點到這個平面的距離.,(2)求法：直接法；作線的垂線，下證垂直于面；等體積法；平行轉化法.,4.點面距,(1)定義：一條直線和一個平面平行，這條直線上任一點到平面的距離，叫這條直線和平面的距離.,(2)求法：轉化