1、2.2 用樣本估計總體,2.2.1 用樣本的頻率分布估計總體分布,一、頻率分布表 【問題思考】 1.我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了節(jié)約生活用水,計劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個居民月用水量標準a,用水量不超過a的部分按平價收費,超出a的部分按議價收費.如果希望大部分居民的日常生活不受影響,那么標準a定為多少比較合理呢?你認為,為了較為合理地確定出這個標準,需要做哪些工作? 提示a定為大部分居民的月均用水量比較合理.為了制定一個較為合理的標準a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況,比如月均用水量在哪個范圍的居民最多,他們占全市居民的百分比情況

2、等.,2.由于城市住戶較多,為了了解全市居民日常用水量的整體分布情況,應(yīng)采用怎樣的方法? 提示采用抽樣調(diào)查的方式,通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計全市居民用水量的分布情況.,3.假如通過抽樣調(diào)查,我們獲得100位居民某年的月均用水量如下(單位:t): 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8

3、 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2 上述100個數(shù)據(jù)中的最大值和最小值分別是什么?由此說明樣本數(shù)據(jù)的變化范圍是什么? 提示最大值是4.3 t,最小值是0.2 t,數(shù)據(jù)的變化范圍為4.1 t.,4

4、.樣本數(shù)據(jù)中的最大值和最小值的差稱為極差,如果將上述100個數(shù)據(jù)按組距為0.5 t進行分組,那么這些數(shù)據(jù)共分為多少組?各組數(shù)據(jù)的取值范圍可以如何設(shè)定? 提示(4.3-0.2)0.5=8.2,因此可以將數(shù)據(jù)分為9組.各組數(shù)據(jù)的取值范圍可如下設(shè)定:0,0.5),0.5,1),1,1.5),4,4.5. 5.對樣本數(shù)據(jù)進行分組,其組數(shù)是由哪些因素確定的? 提示對樣本數(shù)據(jù)進行分組,組距的確定沒有固定的標準,但組數(shù)太多或太少,都會影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況.數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān),一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多.,6.一般地,列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表可以分哪幾個步驟進行? 提示第一步,求極差.

5、 第二步,決定組距與組數(shù). 第三步,確定分組點,將數(shù)據(jù)分組. 第四步,列頻率分布表.,7.你能列出上述100個數(shù)據(jù)的頻率分布表嗎? 提示100位居民月均用水量的頻率分布表如表所示.,二、頻率分布直方圖 【問題思考】 1.數(shù)據(jù)分析的基本方法有哪兩種? 提示(1)借助于表格:分析數(shù)據(jù)的一種方法是用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式,此法是通過改變數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)形式,為我們提供解釋數(shù)據(jù)的依據(jù). (2)借助于圖形:分析數(shù)據(jù)的另一種基本方法是用圖將它們畫出來,此法可以達到兩個目的,一是從數(shù)據(jù)中提取信息,二是利用圖形傳遞信息.,2.為了直觀反映樣本數(shù)據(jù)在各組中的分布情況,你能根據(jù)上述所列頻率分布表畫出頻率分布直方圖

6、嗎? 提示頻率分布直方圖為: 3.樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是根據(jù)頻率分布表畫出來的,頻率分布直方圖的作圖步驟如何? 提示第一步,作出平面直角坐標系. 第二步,在橫軸上均勻地標出各組分點,在縱軸上標出單位長度. 第三步,以組距為寬,各組的頻率與組距的比值為高,分別畫出各組對應(yīng)的小長方形.,4.頻率分布直方圖中長方形的高表示什么?小長方形的面積表示什么?所有小長方形的面積和等于多少? 提示頻率分布直方圖中長方形的高表示 ,小長方形的面積表示該組的頻率,所有小長方形的面積和等于1.,5.做一做1:容量為100的樣本的頻率分布直方圖如圖所示,試根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空. (1)樣本數(shù)據(jù)落在范圍6,10)內(nèi)

7、的頻率為 ; (2)樣本數(shù)據(jù)落在范圍10,14)內(nèi)的頻數(shù)為 . 解析:(1)樣本數(shù)據(jù)落在范圍6,10)內(nèi)的頻率為0.084=0.32. (2)樣本數(shù)據(jù)落在范圍10,14)內(nèi)的頻數(shù)為0.094100=36. 答案:(1)0.32 (2)36,三、頻率分布折線圖、總體密度曲線 【問題思考】 1.在頻率分布直方圖中,依次連接各小長方形上端的中點,就得到一條折線,這條折線稱為頻率分布折線圖,你能在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中作出頻率分布折線圖嗎? 2.你認為頻率分布折線圖能大致反映樣本數(shù)據(jù)的頻率分布嗎? 提示因為折線圖是取了長方形上端的中點,即每一組數(shù)據(jù)平均值對應(yīng)的頻率,所以能大致反映

8、樣本數(shù)據(jù)的頻率分布.,3.當總體中的個體數(shù)很多時(如抽樣調(diào)查全國城市居民月均用水量),隨著樣本容量增加,作圖時所分的組數(shù)增多,組距減少,你能想象出相應(yīng)的頻率分布折線圖會發(fā)生什么變化嗎? 提示由于組數(shù)增多,組距減少,長方形上端中點的數(shù)量增多,且間距變小,各相鄰長方形上端中點的折線縮短,折線變得近似于曲線.,4.在上述背景下,相應(yīng)的頻率分布折線圖越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.那么下圖中陰影部分的面積有何實際意義? 提示圖中陰影部分的面積,就是總體在區(qū)間(a,b)內(nèi)的取值的百分比.,5.對于一個總體,如果總體密度曲線客觀存在,能否通過樣本數(shù)據(jù)準確地畫出總體密度曲線?為

9、什么? 提示不能.由于頻率分布折線圖是隨著隨機抽取的樣本、樣本容量和分組情況的變化而變化的,因此不能由樣本的頻率分布折線圖得到準確的總體密度曲線.,四、莖葉圖 【問題思考】 1.莖葉圖:顧名思義,莖是指中間的一列數(shù),葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù).當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時,用中間的數(shù)字表示十位數(shù),兩邊的數(shù)字表示個位數(shù).已知某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽的得分情況原始記錄如下: 甲運動員得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39; 乙運動員得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39. 你能作出這兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖嗎?,2.你能通過該

10、圖說明哪個運動員的發(fā)揮更穩(wěn)定嗎? 提示從圖中看出乙運動員的得分基本上是對稱的,葉的分布是“單峰”的,并且數(shù)據(jù)更集中于峰值附近,這說明乙運動員發(fā)揮更穩(wěn)定. 3.用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的分布情況是一種好方法,你認為莖葉圖有哪些優(yōu)點?有什么缺陷? 提示優(yōu)點:(1)保留了原始數(shù)據(jù),沒有損失樣本信息;(2)數(shù)據(jù)可以隨時記錄、添加或修改.缺陷:莖葉圖便于表 示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù),而且莖葉圖只方便記錄一組或兩組的數(shù)據(jù),兩組以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄,但是沒有表示兩組記錄那么直觀、清晰.當樣本數(shù)據(jù)較多時,就顯得不太方便,因為每一個數(shù)據(jù)都要在圖中占據(jù)一個空間,如果數(shù)據(jù)很多,枝葉就會很長.,4.一般地,畫出一組樣本數(shù)據(jù)的莖

11、葉圖的步驟如何? 提示第一步,將每個數(shù)據(jù)分為“莖”(高位)和“葉”(低位)兩部分;第二步,將最小的莖和最大的莖之間的數(shù)按大小次序排成一列,寫在左(右)側(cè);第三步,將各個數(shù)據(jù)的葉按次序?qū)懺谇o右(左)側(cè). 5.做一做2:某小組10名學(xué)生的英語口語測試成績?nèi)缜o葉圖所示,則這10名學(xué)生的平均成績?yōu)?. 解析:這10名學(xué)生的平均成績?yōu)?(79+79+74+82+84+85+89+80+91+92)=83.5. 答案:83.5,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”. (1)頻率分布直方圖中的縱軸表示頻率.( ) (2)頻率分布直方圖中每個小長方形的面積等于相應(yīng)組的頻率.

12、( ) (3)從總體中抽取一個樣本,用樣本的分布估計總體的分布,樣本容量越小估計越準確.( ) (4)用莖葉圖表示三位數(shù)時莖表示前兩位數(shù),葉表示最后一位數(shù).( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思維辨析,【例1】為調(diào)查某校高一年級男生的身高,隨機抽取40名高一男生,實測身高數(shù)據(jù)(單位:cm)如下: 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 158 167 156 157 164 169 180 176 157 162 16

13、1 158 164 163 163 167 161 (1)作出頻率分布表; (2)畫出頻率分布直方圖. 分析找出此組數(shù)據(jù)的最大值和最小值,確定分組的組距和組數(shù),先列出頻數(shù)分布表,再由頻率分布表繪制頻率分布直方圖.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解:(1)最低身高151 cm,最高身高180 cm,它們的差是180-151=29,即極差為29; 確定組距為4,組數(shù)為8,頻率分布表如下:,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(2)頻率分布直方圖如下.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟繪制頻率分布直方圖的注意事項 (1)計算極差,需要找出這組數(shù)的最大值和最小值,當數(shù)據(jù)很多時,可選一個數(shù)當

14、參照. (2)將一批數(shù)據(jù)分組,目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律,要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目,一般來說,數(shù)據(jù)越多,分組越多. (3)在將數(shù)據(jù)分組,決定分組點時,一般使分組點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第一組的起點稍微減小一點. (4)列頻率分布表時,可通過逐一判斷各個數(shù)據(jù)落在哪個小組內(nèi),以“正”字確定各個小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù). (5)畫頻率分布直方圖時,縱坐標表示頻率與組距的比值,一定不能標成頻率.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1有一個容量為50的樣本,數(shù)據(jù)分組及各組的頻數(shù)如下:12.5,15.5),3;15.5,18.5),8;18.5,21.5),9;21.5,24.5),11;24.5,2

15、7.5),10;27.5,30.5),5;30.5,33.5,4. (1)列出樣本頻率分布表; (2)畫出頻率分布直方圖; (3)畫出數(shù)據(jù)頻率分布折線圖.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解:(1)頻率分布表如下:,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(2)頻率分布直方圖如下: (3)數(shù)據(jù)頻率分布折線圖如下:,探究一,探究二,探究三,思維辨析,【例2】 某中學(xué)高二(2)班甲、乙兩名學(xué)生自進入高中以來,每次數(shù)學(xué)考試成績情況如下: 甲:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107 乙:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,

16、101 畫出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖,并根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進行比較. 分析題中數(shù)據(jù)均為兩位數(shù)或三位數(shù),可用十位數(shù)字或百位、十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉作莖葉圖,然后根據(jù)莖葉圖分析兩人成績.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解:甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖所示. 從這個莖葉圖上可以看出,乙同學(xué)的得分情況是大致對稱的,中位數(shù)是98;甲同學(xué)的得分情況也大致對稱,中位數(shù)是88.乙同學(xué)的成績比較穩(wěn)定,總體情況比甲同學(xué)好.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟繪制莖葉圖的注意事項 (1)繪制莖葉圖關(guān)鍵是分清莖和葉.一般地說,當數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時,十位上的數(shù)字為“莖”,個位上的數(shù)字為“葉”;如果是小數(shù),

17、通常把整數(shù)部分作為“莖”,小數(shù)部分作為“葉”.解題時要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點合理地選擇莖和葉. (2)應(yīng)用莖葉圖對兩組數(shù)據(jù)進行比較時,要從數(shù)據(jù)分布的對稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾方面來比較. (3)莖葉圖只適用于樣本數(shù)據(jù)較少的情況.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練2某次運動會甲、乙兩名射擊運動員的成績?nèi)缦? 甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8; 乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1. 用莖葉圖表示甲、乙兩人的成績,并根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩人的成績哪個較好. 解: 甲、乙兩人的成績的莖葉圖如

18、圖所示. 從莖葉圖上可以看出,甲的成績的中位數(shù)為9.05,乙的成績的中位數(shù)為9.15,乙的成績大致對稱,可以看出乙的成績比較穩(wěn)定,所以乙的成績較好.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,【例3】 為了檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個容量為100的樣本,數(shù)據(jù)的分組情況與頻數(shù)如下: 10.75,10.85),3;10.85,10.95),9;10.95,11.05),13;11.05,11.15),16;11.15,11.25),26;11.25,11.35),20;11.35,11.45),7;11.45,11.55),4;11.55,11.65,2. (1)列出頻率分布表; (2)畫出頻率分布直方

19、圖以及頻率分布折線圖; (3)據(jù)上述圖表,估計數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是百分之幾? (4)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是百分之幾? 分析根據(jù)畫頻率分布直方圖的步驟先畫頻率分布直方圖,再畫折線圖,最后結(jié)合直方圖的特征解決(3)(4).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解:(1)頻率分布表如下:,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(2)頻率分布直方圖及頻率分布折線圖如圖所示. (3)由上述圖表可知數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的頻率為1-(0.03+0.09)-(0.07+0.04+0.02)=0.75,即數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是75%.,探究

20、一,探究二,探究三,思維辨析,(4)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性即數(shù)據(jù)小于11.20的頻率,設(shè)為x, 則(x-0.41)(11.20-11.15) =(0.67-0.41)(11.25-11.15), 所以x-0.41=0.13, 即x=0.54, 從而估計數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是54%.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3為了了解某校高一年級學(xué)生的體能情況,抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖),圖中從左到右各小長方形的面積之比為24171593.若已知第二小組的頻數(shù)為12,則 (1)第二小組的頻率是多少?樣

21、本容量是多少? (2)若次數(shù)在110以上(含110)為達標,則該校全體高一年級學(xué)生的達標率是多少?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,對頻率分布直方圖理解不正確而致誤 【典例】 中小學(xué)生的視力狀況受到社會的廣泛關(guān)注,某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學(xué)生中隨機抽取了400名,對他們的視力狀況進行一次調(diào)查統(tǒng)計,將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖,如下圖所示.從左至右五個小組的頻率之比依次是5712106,則全市高一學(xué)生視力在3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有多少人?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,正解由圖知,第五小組的頻率為0.50.3=0.15, 所以第一小組的頻率為0.15 =0.125, 所以全市6萬名高一學(xué)生中視力在3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有60 0000.125=7 500(人).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練有一個容量為100的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)