1、11.0,第十一章 布萊克-休爾斯-莫頓期權(quán)定價(jià)模型,1973Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定價(jià)模型，用于確定歐式股票期權(quán)價(jià)格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，Robert C. Merton獨(dú)立地提出了一個(gè)更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-默頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價(jià)的一般方法。,1,PPT學(xué)習(xí)交流,我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走勢。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期

2、、無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來源就是股票價(jià)格的變化，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。 因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。在 了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。 在下面幾節(jié)中我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價(jià)的思想。,2,PPT學(xué)習(xí)交流,布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian Motion）起源于英國植物學(xué)家布郎對水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。,標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)兩大特征： 特征1 (正態(tài)分布) 特征2：對于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 ， 的值相互獨(dú)立。(獨(dú)立增量）,3,PPT學(xué)習(xí)交流,維納過程的性質(zhì),z (T ) z (0

3、)也是正態(tài)分布 均值等于 0 方差等于T 標(biāo)準(zhǔn)差等于 方差可加性,4,PPT學(xué)習(xí)交流,為何使用布朗運(yùn)動(dòng)？,正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布 數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1 和特征2的維納過程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過程 維納過程在數(shù)學(xué)上對時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分（Quadratic Variation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的,5,PPT學(xué)習(xí)交流,市場有效理論與隨機(jī)過程,1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，證券價(jià)格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息。,1、弱式效率市場假

4、說 2、半強(qiáng)式效率市場假說3、強(qiáng)式效率市場假說,根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認(rèn)為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機(jī)過程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。,有效市場三個(gè)層次,6,PPT學(xué)習(xí)交流,7,PPT學(xué)習(xí)交流,8,PPT學(xué)習(xí)交流,普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們就可以得到 這就是伊藤過程（Ito Process）。其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。,9,PPT學(xué)

5、習(xí)交流,在伊藤過程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：,其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這就是著名的伊藤引理。,10,PPT學(xué)習(xí)交流,泰勒展開式,11,PPT學(xué)習(xí)交流,忽略比 Dt高階的項(xiàng),在常微分中，我們得到 在隨機(jī)微分中我們得到： 因?yàn)樽詈笠豁?xiàng)的階數(shù)為Dt,12,PPT學(xué)習(xí)交流,將Dx代入,13,PPT學(xué)習(xí)交流,e2Dt,14,PPT學(xué)習(xí)交流,取極限,15,PPT學(xué)習(xí)交流,伊藤引理的運(yùn)用,如果我們知道x遵循的隨機(jī)過程，通過伊藤引理 可以推導(dǎo)出G (x, t )遵循的隨機(jī)過程。 由于衍生產(chǎn)品價(jià)格是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，因

6、此隨機(jī)過程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。,16,PPT學(xué)習(xí)交流,一般來說，金融研究者認(rèn)為證券價(jià)格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 S2的伊藤過程（即幾何布朗運(yùn)動(dòng)）來表示：,之所以采用幾何布朗運(yùn)動(dòng)其主要原因有兩個(gè)： 一是可以避免股票價(jià)格為負(fù)從而與有限責(zé)任相矛盾的問題，二是幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實(shí)際較為吻合。,17,PPT學(xué)習(xí)交流,案例11.1 運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機(jī)過程 假設(shè)變量S服從 其中和都為常數(shù)，則lnS遵循怎樣的隨機(jī)過程？ 由于和是常數(shù)，S顯然服從 ， 的伊藤過程，我們可以運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機(jī)過程。 令 ，則 代入式 我們就

7、可得到 所 遵循的隨機(jī)過程為 由于dlnS是股票的連續(xù)復(fù)利收益率，得出的公式說明股票的連續(xù) 復(fù)利收益率服從期望值 ，方差為 的正態(tài)分布。,*隨機(jī)微積分與非隨機(jī)微積分的差別,18,PPT學(xué)習(xí)交流,從案例11.1我們已經(jīng)知道，如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則有 1 從自然對數(shù)的定義域可知，S不能為負(fù)數(shù)。 2 股票價(jià)格的對數(shù)服從普通布朗運(yùn)動(dòng)，股票價(jià)格和連續(xù)復(fù)利收益率服從對數(shù)正態(tài)分布,19,PPT學(xué)習(xí)交流,3. Tt期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示為 ，可知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 是股票連續(xù)復(fù)利收益率的年化標(biāo)準(zhǔn)差，它也被稱為股票價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility） 4. 百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率。

8、,20,PPT學(xué)習(xí)交流,:,1、幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率。,2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 是無關(guān)的。,3 、較長時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因?yàn)檩^長時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。,21,PPT學(xué)習(xí)交流,1、證券價(jià)格的年波動(dòng)率，又是股票價(jià)格對數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差,2、一般從歷史的證券價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對時(shí)

9、間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。在計(jì)算中，一般來說時(shí)間距離計(jì)算時(shí)越近越好；時(shí)間窗口太短也不好；一般來說采用交易天數(shù)計(jì)算波動(dòng)率而不采用日歷天數(shù)。,:,22,PPT學(xué)習(xí)交流,當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) 時(shí)，由于衍生證券價(jià)格G是標(biāo)的證券價(jià)格S和時(shí)間t的函數(shù)G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過程： 比較（11.1）和（11.11）可看出，衍生證券價(jià)格G和股票價(jià)格S都受同一個(gè)不確定性來源dz的影響，這點(diǎn)對于以后推導(dǎo)衍生證券的定價(jià)公式很重要。,23,PPT學(xué)習(xí)交流,假設(shè)： 1、證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 和 為常數(shù)； 2、允許賣空標(biāo)的證券； 3、沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證

10、券都是完全可分的； 4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 5、存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； 6、證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； 7、衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。,24,PPT學(xué)習(xí)交流,由于證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此有：,其在一個(gè)小的時(shí)間間隔 中，S的變化值 為：,在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，f的變化值 為：,設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：,25,PPT學(xué)習(xí)交流,為了消除風(fēng)險(xiǎn)源 ，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。 令 代表該投資組合的價(jià)值，則：,在 時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化 為：,代入 和 可得,2

11、6,PPT學(xué)習(xí)交流,27,PPT學(xué)習(xí)交流,觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個(gè)可以大大簡化我們工作的假設(shè)：在對衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者對于dz所蘊(yùn)涵的風(fēng)險(xiǎn)都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 在所有投資者對dz都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下（有時(shí)我們稱之為進(jìn)入了一個(gè)關(guān)于dz的“風(fēng)險(xiǎn)中性世界”），所有風(fēng)險(xiǎn)源為dz的證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有風(fēng)險(xiǎn)源為dz的現(xiàn)金流都應(yīng)該使

12、用無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。,28,PPT學(xué)習(xí)交流,假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0。,風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的應(yīng)用,29,PPT學(xué)習(xí)交流,為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于

13、( 11 0.5)元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元時(shí)，該組合價(jià)值等于9 元。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)?值，使3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：,11 0.5=9 =0.25,因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。,30,PPT學(xué)習(xí)交流,假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此： 這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。,31,PPT學(xué)習(xí)交流,從該

14、例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：,P=62.66%。,32,PPT學(xué)習(xí)交流,又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：,P=69.11%。,可見，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等

15、于0.31元。,33,PPT學(xué)習(xí)交流,在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻）的期望值為：,其中，,表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià),原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于將此期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn) 行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：,34,PPT學(xué)習(xí)交流,對 右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：,N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)(即這個(gè)變量小于x的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有 。,這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。,35,PPT學(xué)習(xí)交流,36,PPT學(xué)習(xí)交流,37,PPT學(xué)習(xí)交流,38,PPT學(xué)習(xí)交流,無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式,根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌

16、期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：,39,PPT學(xué)習(xí)交流,無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式,在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式同樣是：,40,PPT學(xué)習(xí)交流,有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式,對于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過程的波動(dòng)率，就可直接 套用公式: 分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)

17、的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。,41,PPT學(xué)習(xí)交流,因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（SI）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。,當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將,代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率,證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。,一般來說，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個(gè)支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風(fēng)險(xiǎn)利率。,42,PPT學(xué)習(xí)交流,有收益資產(chǎn)的美式看漲

18、期權(quán)的定價(jià),當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近 似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理，若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在,提前執(zhí)行可能是合理,價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。,時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的,的，則要分別計(jì)算在T時(shí)刻和,43,PPT學(xué)習(xí)交流,美式看跌期權(quán)的定價(jià),美式看跌期權(quán)無論標(biāo)的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價(jià)關(guān)系，因此我們一般通過數(shù)值方法來求美式看跌期權(quán)的價(jià)值。,44,PPT學(xué)習(xí)交流,我們已經(jīng)知道，B

19、-S-M期權(quán)定價(jià)公式中的期權(quán)價(jià)格取決于下列五個(gè)參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期期限、無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個(gè)都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率則需要通過一定的計(jì)算求得估計(jì)值。,45,PPT學(xué)習(xí)交流,（一）估計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利率 在發(fā)達(dá)的金融市場上，很容易獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)仍然需要注意幾個(gè)問題。首先，要選擇正確的利率。要注意選擇無風(fēng)險(xiǎn)的即期利率（即零息票債券的到期收益率），而不能選擇附息票債券的到期收益率，并且要轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的形式，才可以在B-S-M公式中應(yīng)用。一般來說，在美國人們大多選擇美國國庫券利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值，在中國過去通常使用銀行存款利率，現(xiàn)在則可以從銀行間債券市場的價(jià)格中確定國債即期利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率。其次，要注意選擇利率期限。如果利率期限結(jié)構(gòu)曲線傾斜嚴(yán)重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我們必須選擇距離期權(quán)到期日最近的利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率。,46,PPT學(xué)習(xí)交流,（二）估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率 估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率要比估計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利 率困難得多，也更為重要。估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng) 率有兩