1、.,1,第四章 不 定 積 分,求原來那個(gè)函數(shù)的問題.,已知某曲線的切線斜率為2x,研究微分運(yùn)算的逆運(yùn)算,已會求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算.,解決相反的問題,就是已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分,例如,某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),已知運(yùn)動(dòng)速度函數(shù),求路程函數(shù).,常要,求此曲線的方程.,1.,2.,不定積分.,indefinite integral,.,2,積分變量,積分常數(shù),被積函數(shù),定義,被積表達(dá)式,不定積分,不定積分.,定義,全部原函數(shù)的一般表達(dá)式,稱為函數(shù)f (x)的,總和(summa),記為,積分號,.,3,1. 被積函數(shù)是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),被積表達(dá)式是,原函數(shù)的微分.,2. 不定積分表示那些導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的

2、所,或說其微分等于被積表達(dá)式的所,有函數(shù).,有函數(shù).,因此絕不能漏寫積分常數(shù)C.,3. 求已知函數(shù)的原函數(shù)或不定積分的運(yùn)算稱,為積分運(yùn)算,它是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算.,.,4,基本積分公式,(k是常數(shù)),說明：,.,5,.,6,.,7,解,例,.,8,練習(xí),.,9,練習(xí),.,10,解決方法,將積分變量換成,令,?,因?yàn)?第一換元積分法,.,11,定理,第一類換元公式,（湊微分法）,證,可導(dǎo),則有換元公式,設(shè),具有原函數(shù),注 “湊微分”的主要思想是:將所給出的積分湊成積分表里已有的形式,合理選擇 是湊微分的關(guān)鍵.,.,12,例 求,法一,法二,解,.,13,法三,同一個(gè)積分用不同的方法計(jì)算,可能得到表

3、面上不一致的結(jié)果,但是實(shí)際上都表示同一族函數(shù).,.,14,練習(xí),對第一換元積分法熟練后,可以不再寫出 中間變量.,.,15,例,解,解,練習(xí),.,16,小結(jié),常見的湊微分類型有,.,17,小結(jié),.,18,例,解,原式=,.,19,例 求,解,.,20,例 求,解,法一,.,21,例 求,解,.,22,例,解,原式=,某些三角函數(shù),.,23,第二換元積分法,有根式,解決方法,消去根式,困難,即,則,回代,.,24,例 求,解,令,回代,.,25,例 求,解,令,回代,.,26,練習(xí),解,.,27,有理函數(shù)的定義,兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.,一、有理函數(shù)的積分,假定分子與分母之間沒有公因式,真分式;,假分式.,.,28,例,多項(xiàng)式的積分容易計(jì)算.,真分式的積分.,只討論:,多項(xiàng)式,真分式,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 真分式,分解,若干部分分式之和,.,29,例 求,解,由多項(xiàng)式除法,有,說明:當(dāng)被積函數(shù)是假分式時(shí),應(yīng)把它分為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式,分別積分.,假分式,.,30,代入特殊值來確定系數(shù),取,取,取,并將 值代入,例 求,解,(1),(1),賦值,.,31,于是,.,