1、1.6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性,1、函數(shù)的極限 2、函數(shù)的連續(xù)性 3、小結(jié)與思考,一、函數(shù)的極限,1、函數(shù)極限的定義 定義 設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的（空心）鄰域00，相應(yīng)地必有一個正數(shù)()，使得當0|zz0|時（0）有： |f(z)A| 那么稱A為f(z)當z趨向于z0時的極限，記作 ，或記作當zz0，f(z)A。 注意 定義中z趨向于z0的方式是任意的。,函數(shù)極限的幾種定義,當,時，,當,時，,當,時，,函數(shù)極限的幾何意義,當變點 z 進入z0的充分小的去心鄰域時，它的象點 f(z) 就落入A的一個預(yù)先給定的鄰域內(nèi)。,定義中zz0的方式是任意的，也就是說，z在z0的去心鄰域內(nèi)沿任何曲線

2、以任何方式趨于z0時，f(z)都要趨向于同一個常數(shù)A。,2、極限計算的定理,關(guān)于極限的計算，有下面兩個定理： 定理1-6-1 設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z0=x0+iy0，那么 的充要條件是：,說明：這個定理將求復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的極限問題轉(zhuǎn)化為求兩個二元實變函數(shù)u=u(x,y)和v=v(x,y)的極限問題。,定理1-6-1證明,證 必要性：如果 ，根據(jù)極限的定義，有：當0|(x+iy)(x0+iy0)|時， |(u+iv)(u0+iv0)|,或當 時， |(uu0)+i(vv0)|,定理1-6-1證明,因此，當 時 |uu0|，|

3、vv0| 這就是說，,定理1-6-1證明,充分性：反之，如果上面兩式成立，那末當 時，有： |uu0|/2，|vv0|/2 而|f(z)A|=|(uu0)+i(vv0)|uu0|+|vv0|，所以，當0|zz0|時，有 |f(z)A|/2+/2= 即 證畢,極限計算的定理,定理1-6-2 如果 ，那么 （1） （2） （3）,若兩個函數(shù)f(z)和g(z)在點z0處有極限，則其和/差/積/商(要求分母不為零)在點z0處的極限仍存在，并且極限值等于f(z)、g(z)在點z0處的極限值的和/差/積/商。,這些極限運算法則，與實變函數(shù)一樣，可以從定義出發(fā)來證明，但也可以利用定理1-6-1來證。,定理1

4、-6-2證明,以（2）為例說明證法：,證 令f(z)=u1+iv1，g(z)=u2+iv2，又設(shè)當zz0時， f(z)A=a+ib g(z)B=c+id 因此，u1a，v1b，u2c，v2d。由于 因而 證畢,極限計算舉例,例1-6-1,證 (1),例1-6-1,根據(jù)定理一可知,例1-6-1,證 (2),二、函數(shù)的連續(xù)性,1、連續(xù)的定義 定義 如果 ，那么我們就說f(z)在z0處連續(xù)。如果f(z)在區(qū)域D處處連續(xù)，我們f(z)說在D連續(xù)。,函數(shù)的連續(xù)性,定理1-6-3 函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是：u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處

5、連續(xù)。 例如，函數(shù) f(z)=ln(x2+y2)+i(x2y2) 除原點外處處連續(xù)，因為u=ln(x2+y2)除原點外是處處連續(xù)的，而v=x2y2是處處連續(xù)的。,函數(shù)的連續(xù)性,定理1-6-4 連續(xù)函數(shù)的和、差積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。即：,函數(shù)的連續(xù)性,特殊形式：從定理1-6-4可以推得 （1）有理整函數(shù)（多項式）： w=P(z)=a0+a1z+a2z2+anzn 對所有的z都是連續(xù)的； （2）而有理分式函數(shù) w=P(z)/Q(z) 其中，P(z)和Q(z)都是多項式，在分母Q(z)不為零的點也是連續(xù)的。,連續(xù)函數(shù)的邊界,設(shè) 為復(fù)平面上的有界閉區(qū)域，函數(shù)

6、w=f(z)在 上連續(xù)，則函數(shù)f(z)在 上有界，即存在常數(shù)M,使對于 ，都有|f(z)|M。,在閉曲線或包含曲線端點在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z)在曲線上有界，即|f(z)|M.,函數(shù)的一致連續(xù)性,連續(xù)性舉例,例1-6-2,證,連續(xù)性舉例,例5 討論函數(shù)arg z 的連續(xù)性。,解：當z=0時, arg z無定義，因而arg z不連續(xù).,當z0為負實軸上的點時，即z0=x00,則,arg z在負實軸上不連續(xù).,若z0=x0+iy0不是原點也不是負實軸及虛軸上的點 ：,【例5】,arg z在除去原點和負實軸及虛軸的復(fù)平面上連續(xù).,當z0為正、負虛軸上的點z0=iy0(y00)時，,arg z在虛軸上也連續(xù).,因此arg z在復(fù)平面上除了原點和負實軸外連續(xù).,三、小結(jié)與思考,通過