1、中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題面積類1如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過M作MNy軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x3），則：a（0+1）（03）=3，a=1；拋物線的解析式：y=（x+1）（x3）=x2+2x+3（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：，解得；故直線BC的解析式：y=x+3

2、已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，MNy，則M（m，m+3）、N（m，m2+2m+3）；故MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3）（3）如圖；SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MNOB，SBNC=（m2+3m）3=（m）2+（0m3）；當(dāng)m=時(shí)，BNC的面積最大，最大值為2如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）（1）求拋物線的解析式；（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)解答：解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：0=16a

3、42，即：a=；拋物線的解析式為：y=x2x2（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（1，0）、C（0，2）；OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90，ABC為直角三角形，AB為ABC外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（，0）（3）已求得：B（4，0）、C（0，2），可得直線BC的解析式為：y=x2；設(shè)直線lBC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0；44（2b）=0，即b=4；直

4、線l：y=x4所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：，解得：即 M（2，3）過M點(diǎn)作MNx軸于N，SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB=2（2+3）+2324=4平行四邊形類3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式（2）若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求ABM的面積（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（1）分別利用

5、待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t3），則M（t，t22t3），用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長(zhǎng)，即PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=時(shí)，PM最長(zhǎng)為=，再利用三角形的面積公式利用SABM=SBPM+SAPM計(jì)算即可；（3）由PMOB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，

6、（t22t3）（t3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值解答：解：（1）把A（3，0）B（0，3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以拋物線的解析式是y=x22x3設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，3）代入y=kx+b，得，解得，所以直線AB的解析式是y=x3；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t3），則M（t，t22t3），因?yàn)閜在第四象限，所以PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，當(dāng)t=時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長(zhǎng)值為=，則SABM=SBPM+SAPM=（3）存在，理由如下：PMOB，當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M

7、、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能有PM=3當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABO（1）一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、B，求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PBAB的面積是AB

8、O面積4倍？若存在，請(qǐng)求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PBAB是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PBAB的兩條性質(zhì)解：（1）ABO是由ABO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），A（1，0），B（0，2）方法一：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a0），拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、B，解得：，滿足條件的拋物線的解析式為y=x2+x+2方法二：A（1，0），B（0，2），B（2，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x2）將B（0，2）代入得出：2=a（0+1）（02），解得：a=1，故滿足條件的拋物線的解析式為y=（

9、x+1）（x2）=x2+x+2；（2）P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（x，y），則x0，y0，P點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=x2+x+2連接PB，PO，PB，S四邊形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，=12+2x+2y，=x+（x2+x+2）+1，=x2+2x+3AO=1，BO=2，ABO面積為：12=1，假設(shè)四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍，則4=x2+2x+3，即x22x+1=0，解得：x1=x2=1，此時(shí)y=12+1+2=2，即P（1，2）存在點(diǎn)P（1，2），使四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍 （3）四邊形PBAB為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個(gè)均可等腰梯形同一底上

10、的兩個(gè)內(nèi)角相等；等腰梯形對(duì)角線相等；等腰梯形上底與下底平行；等腰梯形兩腰相等（10分）或用符號(hào)表示：BAB=PBA或ABP=BPB；PA=BB；BPAB；BA=PB5如圖，拋物線y=x22x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x5上（1）求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C、D（C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)），試判斷ABD的形狀；（3）在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=1，且頂點(diǎn)A在y=x5上，當(dāng)x=1時(shí)，y=15=4，A（1，4）（2）ABD是直角三角形將A（1，4）代入y

11、=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，B（0，3）當(dāng)y=0時(shí)，x22x3=0，x1=1，x2=3C（1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD是直角三角形（3）存在由題意知：直線y=x5交y軸于點(diǎn)E（0，5），交x軸于點(diǎn)F（5，0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF與OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，過點(diǎn)P作y軸的垂線，過點(diǎn)A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點(diǎn)G設(shè)P（x1，x15），則G（

12、1，x15）則PG=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2或4P（2，7）或P（4，1），存在點(diǎn)P（2，7）或P（4，1）使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形周長(zhǎng)類6如圖，RtABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x=上（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若把ABO沿x軸向右平移得到DCE，點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)

13、C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P使得PBD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在（2）、（3）的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合），過點(diǎn)M作BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長(zhǎng)為t，PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）c=4，頂點(diǎn)在直線x=上，=，b=；所求函數(shù)關(guān)系式為；（2）在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=，四邊形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB

14、=5，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），當(dāng)x=5時(shí)，y=，當(dāng)x=2時(shí)，y=，點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；（3）設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則，解得：，當(dāng)x=時(shí)，y=，P（），（4）MNBD，OMNOBD，即得ON=，設(shè)對(duì)稱軸交x于點(diǎn)F，則（PF+OM）OF=（+t），SPNF=NFPF=（t）=，S=（），=（0t4），a=0拋物線開口向下，S存在最大值由SPMN=t2+t=（t）2+，當(dāng)t=時(shí)，S取最大值是，此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）等腰三角形類7如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置（1）

15、求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）如圖，過B點(diǎn)作BCx軸，垂足為C，則BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）；（2）拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（22）代入，得，解得，此拋物線的解析式為y=x2+x（3）存在，如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

16、y），若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=2，當(dāng)y=2時(shí)，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，y=2不符合題意，舍去，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）若OB=PB，則42+|y+2|2=42，解得y=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2，2），8在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示：

17、拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）過點(diǎn)B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90，ACO+CAO=90，BCD=CAO，（1分）又BDC=COA=90，CB=AC，BCDCAO，（2分）BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；（4分）（2）拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點(diǎn)B（3，1），則得到1=9a3a2，（5分）解得a=，所以拋物線的解析式為y=x2+x2；（7分）（3）假設(shè)存在點(diǎn)P

18、，使得ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，（8分）過點(diǎn)P1作P1Mx軸，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC（10分）CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點(diǎn)P1（1，1）；（11分）若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，（12分）過點(diǎn)P2作P2Ny軸，同理可證AP2NCAO，（13分）NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P2（2，1），（14分）經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1（1，1）與點(diǎn)P2（2，1）都在拋物線y=x2+x2上（16分）9在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2ax2經(jīng)過點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)