1、第五節(jié)數(shù)列的綜合應用數(shù)列的綜合應用能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系或等比關系，抽象出數(shù)列的模型，并能用有關知識解決相應的問題知識點數(shù)列的實際應用問題數(shù)列應用題常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化時，應考慮是an與an1的遞推關系，還是前n項和Sn與Sn1之間的遞推關系必備方法解答數(shù)列應用題的步驟：(1)審題仔細閱讀材料，認真理解題意(2)建模將

2、已知條件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的結構和特征(3)求解求出該問題的數(shù)學解(4)還原將所求結果還原到原實際問題中具體解題步驟用框圖表示如下：自測練習1有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現(xiàn)在有一個這樣的細菌和100個這樣的病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要()A6秒鐘 B7秒鐘C8秒鐘 D9秒鐘解析：設至少需要n秒鐘，則121222n1100，100，n7.答案：B2一個凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為，公差為，則這個多邊形的邊數(shù)為_解析：由于凸n邊形的內(nèi)角和為(n2)，故n(n2).化簡得n225n1440.解

3、得n9或n16(舍去)答案：93某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_解析：每天植樹的棵數(shù)構成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，其前n項和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，則n17，即n6.答案：6考點一等差、等比數(shù)列的綜合應用|在數(shù)列an中，a12，a212，a354，數(shù)列an13an是等比數(shù)列(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解(1)證明：a12，a212，a354，a23a16，a33a218.又數(shù)列an13an是等比數(shù)列，an13an63n12

4、3n，2，數(shù)列是等差數(shù)列(2)由(1)知數(shù)列是等差數(shù)列，(n1)22n，an2n3n1.Sn213022312n3n1，3Sn21322322n3n.Sn3Sn2130213213n12n3n22n3n3n12n3n，Sn3n.等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標，為最終解決問題設置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序(2)注意細節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的 1(20

5、16貴州七校聯(lián)考)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，a1b11，且b3S336，b2S28(nN*)(1)求an和bn；(2)若anan1，求數(shù)列的前n項和Tn.解：(1)由題意得解得或或(2)若anan1，由(1)知an2n1，Tn.考點二數(shù)列的實際應用問題|為了加強環(huán)保建設，提高社會效益和經(jīng)濟效益，長沙市計劃用若干時間更換一萬輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，替換車為電力型和混合動力型車今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛；計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛(1)求經(jīng)過n年，該市

6、被更換的公交車總數(shù)S(n)；(2)若該市計劃7年內(nèi)完成全部更換，求a的最小值解(1)設an，bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量依題意，得an是首項為128，公比為150%的等比數(shù)列，bn是首項為400，公差為a的等差數(shù)列所以an的前n項和 Sn256，bn的前n項和Tn400na.所以經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)為S(n)SnTn256400na.(2)若計劃7年內(nèi)完成全部更換，則S(7)10 000，所以2564007a10 000，即21a3 082，所以a146.又aN*，所以a的最小值為147.解決數(shù)列應用題一個注意點解決數(shù)列應用問題，要明確問題屬于哪一種類

7、型，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，要求an還是Sn，特別是要弄清項數(shù)2某工業(yè)城市按照“十二五”(2011年至2015年)期間本地區(qū)主要污染物排放總量控制要求，進行減排治污現(xiàn)以降低SO2的年排放量為例，原計劃“十二五”期間每年的排放量都比上一年減少0.3萬噸，已知該城市2011年SO2的年排放量約為9.3萬噸(1)按原計劃，“十二五”期間該城市共排放SO2約多少萬噸？(2)該城市為響應“十八大”提出的建設“美麗中國”的號召，決定加大減排力度在2012年剛好按原計劃完成減排任務的條件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年減少的百分率為p，為使2020年這一年SO2的年排放量控制在

8、6萬噸以內(nèi)，求p的取值范圍解：(1)設“十二五”期間，該城市共排放SO2約y萬噸，依題意，2011年至2015年SO2的年排放量構成首項為9.3，公差為0.3的等差數(shù)列，所以y59.3(0.3)43.5(萬噸)所以按原計劃“十二五”期間該城市共排放SO2約43.5萬噸(2)由已知得，2012年的SO2年排放量為9.30.39(萬噸)，所以2012年至2020年SO2的年排放量構成首項為9，公比為1p的等比數(shù)列由題意得9(1p)86，由于0p1，所以1p，所以1p4.95%.所以SO2的年排放量每年減少的百分率p的取值范圍為(4.95%,1)考點三數(shù)列與不等式的綜合問題|(2015高考浙江卷)已

9、知數(shù)列an滿足a1且an1ana(nN*)(1)證明：12(nN*)；(2)設數(shù)列a的前n項和為Sn，證明：(nN*)證明(1)由題意得an1ana0，即an1an，故an.由an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1)a10.由0an得1,2，即12.(2)由題意得aanan1，所以Sna1an1.由和12得12，所以n2n，因此an1(nN*)由得(nN*)數(shù)列與不等式相結合問題的處理方法解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法等 3(201

10、6云南一檢)在數(shù)列an中，a1，an12，設bn，數(shù)列bn的前n項和是Sn.(1)證明數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求Sn；(2)比較an與Sn7的大小解：(1)bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列由a1，bn得b1，Sn3n.(2)由(1)知：bnn1n.由bn得an11.anSn73n6.當n4時，y3n6是減函數(shù)，y也是減函數(shù)，當n4時，anSn7a4S470.又a1S170，a2S270，a3S370，nN*，anSn70，anSn7.6.數(shù)列的綜合應用的答題模板【典例】(12分)(2015高考四川卷)設數(shù)列an(n1,2,3，)的前n項和Sn滿足Sn2a

11、na1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值思路點撥由Sn2ana1，得a22a1，a34a1，再通過a1，a21，a3成等差數(shù)列確定首項a12是解決(1)的切入點；由(1)知是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以Tn1，然后解不等式即可規(guī)范解答(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)所以a2.從而a22a1，a32a24a1.(2分)又因為a1，a21，a3成等差數(shù)列，即a1a32(a21)所以a14a12(2a11)，解得a12.所以，數(shù)列an是首項為2，公比為2

12、的等比數(shù)列故an2n.(6分)(2)由(1)得.所以Tn1.(8分)由|Tn1|，得1 000.因為295121 0001 024210，所以n10.(10分)于是，使|Tn1|成立的n的最小值為10.(12分)模板形成跟蹤練習(2015湖北七市聯(lián)考)數(shù)列an是公比為的等比數(shù)列，且1a2是a1與1a3的等比中項，前n項和為Sn；數(shù)列bn是等差數(shù)列，b18，其前n項和Tn滿足Tnnbn1(為常數(shù)，且1)(1)求數(shù)列an的通項公式及的值；(2)比較與Sn的大小解：(1)由題意得(1a2)2a1(a31)，即2a1，解得a1，ann.設bn的公差為d，又即解得或(舍)，.(2)由(1)知Sn1n，S

13、nn1，又Tn4n24n，由可知0，d0，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn滿足b1a1，b4a4，前n項和為Tn，則()AS4T4 BS41，數(shù)列bn單調(diào)遞增，又S4T4a2a3(b2b3)a1a4a1qa1(1q)a4(a4a1q)(b4b2)0，所以S4T4.法二：不妨取an7n4，則等比數(shù)列bn的公比q2，所以S454，T445，顯然S4T4，選A.答案：A5正項等比數(shù)列an滿足：a3a22a1，若存在am，an，使得aman16a，m，nN*，則的最小值為()A2 B16C. D.解析：設數(shù)列an的公比為q，a3a22a1q2q2q2，ana12n1，aman16aa2mn216amn6，

14、m，nN*，(m，n)可取的數(shù)值組合為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，計算可得，當m2，n4時，取最小值.答案：C6(2016蘭州雙基)等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn_.解析：由題意，得(a132)2(a12)(a172)，解得a12，所以Sn2n2n2n.答案：n2n7(2015高考湖南卷)設Sn為等比數(shù)列an的前n項和若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.解析：由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，得4S23S1S3，即3S23S1S3S2，則3a2a3，得公比q3，所以ana1qn13n1.答案：3n18

15、從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應倒_次后才能使純酒精體積與總溶液的體積之比低于10%.解析：設倒n次后純酒精與總溶液的體積比為an，則ann，由題意知n0，把M中的元素從小到大依次排成一列，得到數(shù)列an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式； (2)記bn，設數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：Tn0，an2n1(nN*)(2)bn，Tnb1b2bn，Tn得證10已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，an2SnSn1(n2)(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)求證：SSS.解：(1)an2SnSn1(n2)，SnSn12SnSn1.兩邊同除以SnSn1，得2(n2)，數(shù)列是以2為首項，以d2為公差的等差