1、8.1 時(shí)間序列平穩(wěn)性和單位根檢驗(yàn) Stationary Time Serial and Unit Root Test,一、時(shí)間序列的平穩(wěn)性 二、單整序列 三、單位根檢驗(yàn),經(jīng)典時(shí)間序列分析模型： 包括MA、AR、ARMA模型 平穩(wěn)時(shí)間序列模型 分析時(shí)間序列自身的變化規(guī)律 現(xiàn)代時(shí)間序列分析模型： 分析時(shí)間序列之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系 單位根檢驗(yàn)、協(xié)整檢驗(yàn)是核心內(nèi)容 現(xiàn)代宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要內(nèi)容,一、時(shí)間序列的平穩(wěn)性 Stationary Time Series,問題的提出,經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有： 時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-series data)； 截面數(shù)據(jù)(cross-sectional dat

2、a) 平行/面板數(shù)據(jù)（panel data/time-series cross-section data) 時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)。 經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。,數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)“一致性”要求被破懷。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”（Spurious Regression）問題。 表現(xiàn)為兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性。 例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。,2、平穩(wěn)性的定義,假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過程（stochast

3、ic process）生成的，即假定時(shí)間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，即可認(rèn)為X(,t)，這里屬于樣本空間，t屬于指數(shù)集如果滿足下列條件： 均值E(Xt)=是與時(shí)間t 無關(guān)的常數(shù)； 方差Var(Xt)=2是與時(shí)間t 無關(guān)的常數(shù)； 協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只與時(shí)期間隔k有關(guān)，與時(shí)間t 無關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationary stochastic process）。,寬平穩(wěn)、廣義平穩(wěn),白噪聲（white noise）過程是平穩(wěn)的： Xt=t ， tN(0,2) 隨機(jī)游

4、走（random walk）過程是非平穩(wěn)的： Xt=Xt-1+t ， tN(0,2) Var(Xt)=t2 隨機(jī)游走的一階差分（first difference）是平穩(wěn)的： Xt=Xt-Xt-1=t ，tN(0,2) 如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。,二、平穩(wěn)性的圖示判斷,12,平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和方差函數(shù)是常數(shù)，意味著平穩(wěn)時(shí)間序列的取值必然圍繞一個(gè)水平的中心趨勢(shì)，以相同的發(fā)散程度分布。 根據(jù)這一點(diǎn)，可以從數(shù)據(jù)分布圖形直接對(duì)數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)進(jìn)行判斷。 例如當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的連線圖形出現(xiàn)類似圖8.1.1a的情況時(shí)，就肯定不是平穩(wěn)時(shí)間序列，因?yàn)檫@兩種圖形表明時(shí)間序列數(shù)

5、據(jù)都沒有不變的中心趨勢(shì)，或者說中心趨勢(shì)是變化的，而且也沒有穩(wěn)定的方差。,13,多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列有上升或下降的趨勢(shì)性，而不是圍繞不變水平波動(dòng)。 例如圖8.1.1b中的時(shí)間序列數(shù)據(jù)就是有明顯的上升趨勢(shì)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。 不符合平穩(wěn)性定義，但圍繞穩(wěn)定上升趨勢(shì)的形態(tài)與平穩(wěn)數(shù)據(jù)是相似的，預(yù)測(cè)作用也相似。把這種數(shù)據(jù)排除在平穩(wěn)序列之外，平穩(wěn)序列的應(yīng)用價(jià)值必然受到很大限制。,14,這個(gè)問題可以通過對(duì)平穩(wěn)性概念的擴(kuò)展解決。 方法是把數(shù)據(jù)的趨勢(shì)部分看成先分離出來，然后根據(jù)分離趨勢(shì)后的純隨機(jī)部分判定平穩(wěn)性。 例如一個(gè)時(shí)間序列t 時(shí)刻的隨機(jī)變量可以表示為 ，其中 是一個(gè)平穩(wěn)序列，那么該序列去掉時(shí)間趨勢(shì) 之后的部分就是平

6、穩(wěn)的，稱為“趨勢(shì)平穩(wěn)” 。 趨勢(shì)平穩(wěn)時(shí)間序列中的時(shí)間趨勢(shì)既可以是線性，也可以是非線性的。,15,自相關(guān)圖檢驗(yàn),原理：平穩(wěn)時(shí)間序列過程的自協(xié)方差，或由協(xié)方差計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)，應(yīng)該很小、很快趨向于0，具有截尾或拖尾特征 。這些特征正是判斷時(shí)間序列平穩(wěn)性的重要依據(jù)。 由于自相關(guān)是相對(duì)量指標(biāo)，方便橫向比較和建立一般標(biāo)準(zhǔn)，因此通常利用自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行判斷。 利用自相關(guān)函數(shù)判斷時(shí)間序列平穩(wěn)性的首要問題是計(jì)算自相關(guān)函數(shù)。,16,自相關(guān)函數(shù)是以協(xié)方差函數(shù)為基礎(chǔ)定義的 其中 和 分別為協(xié)方差和方差函數(shù)。 因?yàn)橹挥袝r(shí)間序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，因此不可能根據(jù)隨機(jī)變量協(xié)方差、方差的定義計(jì)算，只能用樣本，也就是時(shí)間序列觀測(cè)值的時(shí)

7、間平均代替總體平均，時(shí)間矩代替總體矩，得到自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。,17,自相關(guān)函數(shù)最好的估計(jì)方法是樣本自相關(guān)函數(shù)： 其中：,18,對(duì)不同的k分別計(jì)算出樣本自相關(guān)函數(shù) 的值以后，可以描繪出對(duì)應(yīng)不同k的 的分布圖形，根據(jù)圖形的特征判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)。 當(dāng)樣本自相關(guān)函數(shù)的值（對(duì)不同k）有許多落在臨界值范圍外時(shí)，初步判斷有非平穩(wěn)性。 常用計(jì)量分析軟件都有給出序列相關(guān)圖的功能，因此運(yùn)用相關(guān)圖檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性非常方便。,補(bǔ)充說明,ACF : autocorrelation function, 由k, k= 0,1,2,.組成的函數(shù) 對(duì)于White noise（白噪聲） t NID(0, 2) , the

8、n t is a white noise j = 0, for all j，j=1,2, k 注意0 = 1，所以在看acf時(shí)只考慮k1的情況， k= -k 上述acf的標(biāo)準(zhǔn)誤為：,個(gè)體檢驗(yàn)準(zhǔn)則 一般可以利用逐一檢驗(yàn)k,k=1,2, 是否超過 的值，判定k是否為WN序列。 AR模型的ACF呈現(xiàn)指數(shù)型遞減，但沒有明確的間斷點(diǎn)，所以用ACF無法判斷AR的order。,三、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn) （unit root test）,1、DF檢驗(yàn)（Dicky-Fuller Test）,通過上式判斷Xt是否有單位根,就是時(shí)間序列平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)。,隨機(jī)游走，非平穩(wěn),對(duì)該式回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，則稱隨機(jī)變量

9、Xt有一個(gè)單位根。,等價(jià)于通過該式判斷是否存在=0。,一般檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?零假設(shè) H0：=0 備擇假設(shè) H1：0,可通過OLS法下的t檢驗(yàn)完成。,但是，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t 檢驗(yàn)無法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布。 由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零均值的偏態(tài)分布。,如果t臨界值，則拒絕零假設(shè)H0： =0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。,單尾檢驗(yàn),2、ADF檢驗(yàn)（Augment Dickey-Fuller test）,為什么將DF檢驗(yàn)擴(kuò)展

10、為ADF檢驗(yàn)？ DF檢驗(yàn)假定時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過程生成，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)，導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無效。 如果時(shí)間序列含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降），也容易導(dǎo)致DF檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題。,ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?零假設(shè) H0：=0 備擇假設(shè) H1：臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。,時(shí)間T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)。,小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關(guān)性，因此該模型的

11、設(shè)定是正確的。,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，經(jīng)試驗(yàn)，模型2中滯后項(xiàng)取2階：,常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。,LM檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。,GDPt-1參數(shù)值的t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。,需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，經(jīng)試驗(yàn)，模型1中滯后項(xiàng)取2階：,GDPt-1參數(shù)值的t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。,LM檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。,可斷定中國支出法GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。,ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn),ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn),AD

12、F檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)GDPP,ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)GDPP,從ADF估計(jì)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時(shí)，由于時(shí)間項(xiàng)T的t統(tǒng)計(jì)量也小于分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 。,ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)GDPP,ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)GDPP,從ADF估計(jì)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時(shí)，由于常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量也小于分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。,ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)GDPP,ADF檢驗(yàn)在Evi

13、ews中的實(shí)現(xiàn)GDPP,從ADF估計(jì)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。至此，可斷定GDPP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。,ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)GDPP,從ADF估計(jì)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時(shí)，由于時(shí)間項(xiàng)項(xiàng)T的t統(tǒng)計(jì)量也小于分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 。在1%置信度下。,從ADF估計(jì)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時(shí)，由于常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量也小于分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。,從ADF估計(jì)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不

14、能拒絕存在單位根的零假設(shè)。至此，可斷定GDPP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。,ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)2GDPP,從ADF估計(jì)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值小于臨界值， 拒絕存在單位根的零假設(shè)。至此，可斷定2GDPP時(shí)間序列是平穩(wěn)的。 GDPP是I(2)過程。,*4、平穩(wěn)性檢驗(yàn)的其它方法,PP檢驗(yàn)（Phillips-Perron） 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭胁灰霚箜?xiàng)，以避免自由度損失降低檢驗(yàn)效力。 直接采用Newey-West一致估計(jì)式作為調(diào)整因子，修正一階自回歸模型得出的統(tǒng)計(jì)量。 一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法,霍爾工具變量方法 用工具變量法估計(jì)ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?用Xt-k和Xt-i-k作為Xt-1和Xt-i的工具變量。 檢

15、驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量仍然服從ADF分布。,DF-GLS 方法（Elliott,Rothenberg,Stock,ERS） 去勢(shì)（趨勢(shì)、均值）。 對(duì)去勢(shì)后的序列進(jìn)行ADF型檢驗(yàn)。 采用GLS估計(jì)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?證明具有更良好的性質(zhì)。,KPSS方法（Kwiatkowski,Philips,Schmidt,Shin） 檢驗(yàn)趨勢(shì)平穩(wěn) 非參數(shù)檢驗(yàn)方法 其它方法 LMC(Leybourne,McCabe) Ng-Perron,Eviews 中提供的檢驗(yàn)方法,Eviews 中提供的滯后階數(shù)選擇,四、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn),1、單整（integrated Serial）,如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是

16、一階單整（integrated of 1）序列，記為I(1)。 一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d 階單整（integrated of d）序列，記為I(d)。 例如上述人均GDP序列，即為I(2)序列。 I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列。,現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等; 大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，例如，以當(dāng)年價(jià)表示的消費(fèi)額、收入等常是2階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。 大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。 但也有一些時(shí)間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。,2、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程,含有一階自回歸的隨機(jī)過程： 如果=1，=0，Xt成為一帶位移的隨機(jī)游走過程。根據(jù)的正負(fù)， Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為隨機(jī)性趨勢(shì)（stochastic trend）。 如果=0，0， Xt成為一帶時(shí)間趨勢(shì)的隨機(jī)變化過程。根據(jù)的正負(fù)， Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為確定性趨勢(shì)（deterministic trend）。 如果=1，0 ，則Xt包含有確定性與隨機(jī)性兩種趨勢(shì)。,判斷一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列的趨勢(shì)是隨機(jī)性的還是確定性的，可通過ADF檢驗(yàn)中所用的第3個(gè)模型進(jìn)行。 該模型中已引入了