1、00:22:50,袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問(wèn) 第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？ 第二個(gè)人取得紅球的概率是多少？,?,1. 條件概率與事件獨(dú)立性,00:22:50,若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？,已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為 在A條件下B發(fā)生的條件概率，記作P(B|A),若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？,00:22:50,一、條件概率 例1 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回， （1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率; （2）

2、求第一次取到紅球的概率 （3）求兩次均取到紅球的概率,設(shè)A第一次取到紅球,B第二次取到紅球,00:22:50,顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則,稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.,一般地，設(shè)A、B是中的兩個(gè)事件，則,00:22:50,條件概率的性質(zhì),(1) 非負(fù)性: P(B|A) 0； (2) 規(guī)范性: P(|A)1； (3) 可列可加性：設(shè)B1，B2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即BiBj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( B1 B2 )|A P(B1 |A ) P(B2 |A)+.,00:22:

3、50,例2 一盒中混有100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。,設(shè)A-從盒中隨機(jī)取到一只紅球. B-從盒中隨機(jī)取到一只新球.,A,B,00:22:50,二、乘法公式,設(shè)A、B ，P（A）0,則 P(AB)P(A)P(B|A). 稱為事件A、B的概率乘法公式。,乘法公式還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,00:22:50,例3 盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后

4、放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。,解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則,00:22:50,P21.例1.22,00:22:50,定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間的一個(gè)完備事件組（分割），若滿足：,A1,A2,An,B,三、全概率公式與貝葉斯公式,00:22:50,定理 設(shè)A1，, An是的一個(gè)分割，且P(Ai)0，(i1，n)， 則對(duì)任何事件B有,稱為全概率公式。,00:22:50,例4 某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品， 該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%， 20%，30%和35%，又

5、這四條流水線的次品率依次為0.05，0.04，0.03及0.02?，F(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，求抽到的產(chǎn)品是次品的概率。,解：,00:22:50,若該廠規(guī)定，出了次品要追究有關(guān)流水線 的經(jīng)濟(jì)責(zé)任。現(xiàn)在出廠產(chǎn)品中任取一件， 結(jié)果為次品，但該件產(chǎn)品是哪一條流水線生產(chǎn)的標(biāo)志已經(jīng)脫落，問(wèn)四條流水線各應(yīng)承擔(dān)多大責(zé)任？,例5 某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品， 該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%， 20%，30%和35%，又這四條流水線的次品率依次為0.05，0.04，0.03及0.02。,00:22:50,定理 設(shè)A1，, An是的一個(gè)分割，且P(Ai) 0，(i1，n)，則對(duì)任何事件B，有,稱為貝葉

6、斯公式。,00:22:50,例5 四條流水線各應(yīng)承擔(dān)多大責(zé)任問(wèn)題求解,00:22:50,例6 某研究機(jī)構(gòu)研發(fā)了一種診斷早期肝癌的方法，數(shù)據(jù)顯示，患者用此法被查出的概率為0.95，非患者用此法被誤診的概率為0.1.假如人群中肝癌的患病率為0.0005，現(xiàn)在若有一人被此法診斷為患有早期肝癌，求此人確實(shí)患有早期肝癌的概率?,00:22:50,作業(yè)：p66-67 17、18、19、21,1.條件概率,全概率公式,貝葉斯公式,公式復(fù)習(xí),乘法定理,說(shuō)明1. 全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問(wèn)題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.,說(shuō)明2. 貝葉斯公

7、式計(jì)算的是后驗(yàn)概率，利用觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果來(lái)修正之前的認(rèn)識(shí)。,例 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”.,00:22:50,例 數(shù)字通訊過(guò)程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和

8、“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。問(wèn)發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,解：設(shè)A-發(fā)射端發(fā)射0， B- 接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào),0 1 不清,00:22:50,袋中有a只白球，b只黑球，有放回的每次從袋中取一球，問(wèn) 第一次取得白球的條件下第二次取得白球的概率是多少？ 第二次取得白球的概率是多少？,?,四 、事件的獨(dú)立性,00:22:50,（一）兩事件獨(dú)立,定義 設(shè)A、B是兩事件，若 P(AB)P(A)P(B) 則稱事件A與B相互獨(dú)立。,事件 A 與 事件 B 相互獨(dú)立,是指事件 A 的發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無(wú)關(guān).,說(shuō)明:,兩事件相互獨(dú)立,兩事件互斥,例如,由此可見(jiàn)兩事件相互獨(dú)立，但兩

9、事件不互斥.,兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.,請(qǐng)同學(xué)們思考,則,由此可見(jiàn)兩事件互斥但不獨(dú)立.,則,00:22:50,（二）多個(gè)事件的獨(dú)立,定義 若三個(gè)事件A、B、C滿足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；,若在此基礎(chǔ)上還滿足： (4)P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。,三個(gè)事件相互獨(dú)立,三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立,00:22:50,一般地，設(shè)A1，A2，An是n個(gè)事件，如果對(duì)任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P

10、(A i1)P(A i2)P(A ik) 則稱n個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立。,n 個(gè)事件相互獨(dú)立,n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立,00:22:50,定理 設(shè)A、B是兩事件相互獨(dú)立，P(A) 0,則 P(B)P(B|A),00:22:50,定理、以下四件事等價(jià)： (1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立； (3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。,00:22:50,1.若n個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立，則其中任意k個(gè)事件也相互獨(dú)立。,兩個(gè)結(jié)論：,2.若n個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立，則其中任意k個(gè)事件也相互獨(dú)立，則將A1，A2，An中任意多個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件，所得的n個(gè)

11、事件仍然獨(dú)立。,00:22:50,（三）事件獨(dú)立性的應(yīng)用,例 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概率為 0.6 , 若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率.,00:22:50,00:22:50,伯恩斯坦反例,例 一個(gè)均勻的正四面體， 其第一面染成紅色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以 A ， B，C 分別 記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件， 問(wèn) A，B，C是否相互獨(dú)立?,00:22:50,例 在可靠性理論上的應(yīng)用:

12、 如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率。,00:22:50,設(shè)A=R-L至R為通路,Ai=第i個(gè)繼電器通,i=1,2,5,由全概率公式,00:22:50,五、 貝努利概型,定義：有一隨機(jī)試驗(yàn)，觀察事件A發(fā)生與否，,將此試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱此模型為n重貝努利概型。,求在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率。,00:22:50,00:22:50,00:22:50,00:22:50,定理：事件A在一次Bernoulli試驗(yàn)中發(fā)生的概率 為p，在n次Bernoulli試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次 的概率記作：B(k;n,p)。則,00:22:50,例9 某物業(yè)公司負(fù)責(zé)小區(qū)內(nèi)的40家住戶的各種維修業(yè)務(wù)，已知一周內(nèi)向物業(yè)公司保修的概率為0.1，求一周內(nèi)至