1、精講精練【例】以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是的雙曲線方程為_.解： 拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為，雙曲線方程為【例】雙曲線=1(bn)的兩個(gè)焦點(diǎn)f1、f2，p為雙曲線上一點(diǎn)，|op|5,|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等比數(shù)列，則b2=_。解：設(shè)f1(c,0）、f2(c,0)、p(x,y)，則|pf1|2+|pf2|2=2(|po|2+|f1o|2)2(52+c2)，即|pf1|2+|pf2|250+2c2，又|pf1|2+|pf2|2=(|pf1|pf2|)2+2|pf1|pf2|，依雙曲線定義，有|pf1|pf2|=4，依已知條件有|pf1|pf2|=|f1f2|2=4c2

2、 16+8c250+2c2，c2,又c2=4+b2，b2，b2=1?！纠慨?dāng)取何值時(shí)，直線：與橢圓相切，相交，相離？解： 代入得化簡得當(dāng)即時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)，即時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)，即或時(shí)，直線與橢圓相離?！纠恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為f，m是橢圓上的任意點(diǎn)，|mf|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn)m1和m2，且|m1m2|=，試求橢圓的方程。解：|mf|max=a+c，|mf|min=ac，則(a+c)(ac)=a2c2=b2，b2=4，設(shè)橢圓方程為設(shè)過m1和m2的直線方程為y=x+m將代入得：(4+a2)x22a2mx+

3、a2m24a2=0設(shè)m1(x1，y1)、m2(x2，y2)，m1m2的中點(diǎn)為(x0，y0)，則x0= (x1+x2)=，y0=x0+m=。代入y=x，得，由于a24，m=0，由知x1+x2=0，x1x2=，又|m1m2|=，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求橢圓方程為： =1?！纠恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于p和q，且opoq，|pq|=，求橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0，n0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0，=4n24(m+n)(n1)0，即m+nmn0，由opoq，所以x1x

4、2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，+1=0，m+n=2又22，將m+n=2，代入得mn=由、式得m=，n=或m=，n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1?！纠恳阎獔Ac1的方程為，橢圓c2的方程為，c2的離心率為，如果c1與c2相交于a、b兩點(diǎn)，且線段ab恰為圓c1的直徑，求直線ab的方程和橢圓c2的方程。解：由設(shè)橢圓方程為設(shè) 又 兩式相減，得 又即將由得解得 故所有橢圓方程【例】過點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓c相交于a、b兩點(diǎn)，直線y=x過線段ab的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓c上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓c的方程。解法一：

5、由e=，得，從而a2=2b2，c=b。設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，a(x1，y1)，b(x2，y2)在橢圓上。則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0，設(shè)ab中點(diǎn)為(x0，y0)，則kab=，又(x0，y0)在直線y=x上，y0=x0，于是=1，kab=1，設(shè)l的方程為y=x+1。右焦點(diǎn)(b，0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x，y)，由點(diǎn)(1，1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2，b2=。所求橢圓c的方程為 =1，l的方程為y=x+1。解法二：由e=，從而a2=2b2，c=b。設(shè)橢圓c的方程為x2+2y2=2b2，l的方程為

6、y=k(x1)，將l的方程代入c的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0，則x1+x2=，y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=。直線l：y=x過ab的中點(diǎn)()，則，解得k=0，或k=1。若k=0，則l的方程為y=0，焦點(diǎn)f(c，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是f點(diǎn)本身，不能在橢圓c上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1)，即y=x+1，以下同解法一。解法三：設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸，否則ab中點(diǎn)在x軸上與直線中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線， ，則， 所以所求的橢圓方程為：【例】如圖，已知p1op2的面積為，p為線段p1p2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線o

7、p1、op2為漸近線且過點(diǎn)p的離心率為的雙曲線方程。解：以o為原點(diǎn)，p1op2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)雙曲線方程為=1(a0，b0)，由e2=，得。兩漸近線op1、op2方程分別為y=x和y=x設(shè)點(diǎn)p1(x1， x1)，p2(x2，x2)(x10，x20)，則由點(diǎn)p分所成的比=2，得p點(diǎn)坐標(biāo)為()，又點(diǎn)p在雙曲線=1上，所以=1，即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4，b2=9。 故雙曲線方程為=1?！纠窟^橢圓c：上一動(dòng)點(diǎn)p引圓o：x2 +y2 =b2的兩條切線pa、pb，a、b為切點(diǎn)，直線ab與x軸，y軸分別

8、交于m、n兩點(diǎn)。(1) 已知p點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y00，試求直線ab方程；(2) 若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓c的方程；(3) 橢圓c上是否存在點(diǎn)p，由p向圓o所引兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：(1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2， y2) 切線pa：，pb：p點(diǎn)在切線pa、pb上，直線ab的方程為(2)在直線ab方程中，令y=0，則m(，0)；令x=0，則n(0，) 2b=8 b=4 代入得a2 =25， b2 =16橢圓c方程： (3) 假設(shè)存在點(diǎn)p(x0，y0)滿足papb，連接oa、ob由|pa|=|pb|知，四邊形paob為正方

9、形，|op|=|oa| 又p點(diǎn)在橢圓c上 由知x ab0 a2 b20(1)當(dāng)a22b20，即ab時(shí)，橢圓c上存在點(diǎn)，由p點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直；(2)當(dāng)a22b20，即ba0）過m（2，） ，n(,1)兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，（i）求橢圓e的方程；（ii）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a,b,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|ab |的取值范圍，若不存在說明理由?？键c(diǎn)：本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系。解：（1）因?yàn)闄E圓e: （a,b0）過m（2，） ，n(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓e的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a,b,且,設(shè)該圓的切線方程為。解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切