1、1.3 算法案例一、教材分析 在學生學習了算法的初步知識，理解了表示算法的算法步驟、程序框圖和程序三種不同方式以后，再結(jié)合典型算法案例，讓學生經(jīng)歷設計算法解決問題的全過程，體驗算法在解決問題中的重要作用，體會算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學表達能力.二、教學目標1、知識與技能（1）理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析。（2）基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設計完整的程序框圖并寫出算法程序。（3）了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數(shù)提高計算效率的實質(zhì)。（4）掌握數(shù)據(jù)排序的原理能使用直接

2、排序法與冒泡排序法給一組數(shù)據(jù)排序，進而能設計冒泡排序法的程序框圖及程序，理解數(shù)學算法與計算機算法的區(qū)別，理解計算機對數(shù)學的輔助作用。（5）了解各種進位制與十進制之間轉(zhuǎn)換的規(guī)律，會利用各種進位制與十進制之間的聯(lián)系進行各種進位制之間的轉(zhuǎn)換。2、過程與方法（1）在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學習過程中對比我們常見的約分求公因式的方法，比較它們在算法上的區(qū)別，并從程序的學習中體會數(shù)學的嚴謹，領(lǐng)會數(shù)學算法計算機處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學算法轉(zhuǎn)化成計算機語言的一般步驟。（2）模仿秦九韶計算方法，體會古人計算構(gòu)思的巧妙。能根據(jù)排序法中的直接插入排序法與冒泡排序法的步驟，了解數(shù)學計算轉(zhuǎn)換為計算機計

3、算的途徑，從而探究計算機算法與數(shù)學算法的區(qū)別，體會計算機對數(shù)學學習的輔助作用。（3）學習各種進位制轉(zhuǎn)換成十進制的計算方法，研究十進制轉(zhuǎn)換為各種進位制的除k去余法，并理解其中的數(shù)學規(guī)律。3、情態(tài)與價值觀（1）通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻。（2）在學習古代數(shù)學家解決數(shù)學問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動手實踐的能力。（3）通過對秦九韶算法的學習，了解中國古代數(shù)學家對數(shù)學的貢獻，充分認識到我國文化歷史的悠久。通過對排序法的學習，領(lǐng)會數(shù)學計算與計算機計算的區(qū)別，充分認識信息技術(shù)對數(shù)學的促進。（4）領(lǐng)悟十進

4、制，二進制的特點，了解計算機的電路與二進制的聯(lián)系，進一步認識到計算機與數(shù)學的聯(lián)系。三、重點難點教學重點：（1）引導學生得出自己設計的算法步驟、程序框圖和算法程序.（2）秦九韶算法的特點（3）兩種排序法的排序步驟及計算機程序設計（4）各進位制表示數(shù)的方法及各進位制之間的轉(zhuǎn)換教學難點：（1）體會算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學表達能力.（2）秦九韶算法的先進性理解（3）排序法的計算機程序設計（4）除k去余法的理解以及各進位制之間轉(zhuǎn)換的程序框圖的設計四、課時安排 3課時五、教學設計第1課時 案例1 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)（一）導入新課 思路1（情境導入） 大家喜歡打乒乓球吧，

5、由于東、西方文化及身體條件的不同，西方人喜歡橫握拍打球，東方人喜歡直握拍打球，對于同一個問題，東、西方人處理問題方式是有所不同的.在小學，我們學過求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來. 當兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)較大時（如8 251與6 105），使用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.下面我們介紹兩種不同的算法輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù),由此可以體會東、西方文化的差異. 思路2（直接導入） 前面我們學習了算法步驟、程序框圖和算法語句.今天我們將通過輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)來進一步體會算法的思想.（二）推進新課、新知探究、提出問

6、題（1）怎樣用短除法求最大公約數(shù)？（2）怎樣用窮舉法（也叫枚舉法）求最大公約數(shù)？（3）怎樣用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)？（4）怎樣用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)？討論結(jié)果：（1）短除法 求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是兩個互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來.（2）窮舉法（也叫枚舉法） 窮舉法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉，直到找到公約數(shù)立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù).（3）輾轉(zhuǎn)相除法 輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，其算法步驟可以描述如下： 第一步，給定兩個正整數(shù)m，n. 第二步，求余數(shù)r：計算m除以n，

7、將所得余數(shù)存放到變量r中. 第三步，更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r. 第四步，判斷余數(shù)r是否為0.若余數(shù)為0，則輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)向第二步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行. 如此循環(huán)，直到得到結(jié)果為止. 這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫歐幾里得算法.（4）更相減損術(shù) 我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù). 九章算術(shù)是中國古代的數(shù)學專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”翻譯為現(xiàn)代語言如下： 第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)，若是，用2約簡；若不是，

8、執(zhí)行第二步. 第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).（三）應用示例例1 用輾轉(zhuǎn)相除法求8 251與6 105的最大公約數(shù),寫出算法分析，畫出程序框圖，寫出算法程序.解：用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)：8 251=6 1051+2 146.由此可得，6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù)，反過來，8 251與6 105的公約數(shù)也是6 105與2 146的公約數(shù)，所以它們的最大公約數(shù)相等.對6 105與2 146重復上述步驟

9、：6 105=2 1462+1 813.同理，2 146與1 813的最大公約數(shù)也是6 105與2 146的最大公約數(shù).繼續(xù)重復上述步驟：2 146=1 8131+333，1 813=3335+148，333=1482+37，148=374. 最后的除數(shù)37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8 251與6 105的最大公約數(shù). 這就是輾轉(zhuǎn)相除法.由除法的性質(zhì)可以知道，對于任意兩個正整數(shù)，上述除法步驟總可以在有限步之后完成，從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩個正整數(shù)的最大公約數(shù).算法分析：從上面的例子可以看出，輾轉(zhuǎn)相除法中包含重復操作的步驟，因此可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法.算法步驟如下：第一步，給定兩個

10、正整數(shù)m，n.第二步，計算m除以n所得的余數(shù)為r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.程序框圖如下圖：程序：input m,ndo r=m mod n m=n n=rloop until r=0print mend點評：從教學實踐看，有些學生不能理解算法中的轉(zhuǎn)化過程，例如：求8 251與6 105的最大公約數(shù),為什么可以轉(zhuǎn)化為求6 105與2 146的公約數(shù).因為8 251=6 1051+2 146，可以化為8 251-6 1051=2 164，所以公約數(shù)能夠整除等式兩邊的數(shù)，即6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù)

11、.變式訓練 你能用當型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？試畫出程序框圖和程序.解：當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖如下圖：程序：input m，nr=1while r0 r=m mod n m=n n=rwendprint mend例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，如下圖所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公約數(shù)等于7.點評：更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的比較：盡管兩種算法分別來源于東、西方古代數(shù)學名著，但是二者的算理卻是相似的，有異曲同工之妙主要區(qū)別

12、在于輾轉(zhuǎn)相除法進行的是除法運算，即輾轉(zhuǎn)相除；而更相減損術(shù)進行的是減法運算，即輾轉(zhuǎn)相減，但是實質(zhì)都是一個不斷的遞歸過程變式訓練 用輾轉(zhuǎn)相除法或者更相減損術(shù)求三個數(shù)324,243,135的最大公約數(shù).解：324=243181，243=8130，則324與243的最大公約數(shù)為81.又135=81154，81=54127，54=2720，則 81 與 135的最大公約數(shù)為27.所以,三個數(shù)324、243、135的最大公約數(shù)為27.另法：324243=81,24381=162,16281=81，則324與243的最大公約數(shù)為81.13581=54,8154=27,5427=27，則81與135的最大公約

13、數(shù)為27.所以，三個數(shù)324、243.135的最大公約數(shù)為27.例3 （1）用輾轉(zhuǎn)相除法求123和48的最大公約數(shù).（2）用更相減損術(shù)求80和36的最大公約數(shù).解：（1）輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過程如下：12324827，4812721，271216，21363，623+0，最后6能被3整除，得123和48的最大公約數(shù)為3.（2）我們將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，因為80和36都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2.802=40，362=18.40和18都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2.402=20，182=9.下面來求20與9的最大公約數(shù)，209=11，119=2，92=7，72=5，52=3，32=1，21=1，可

14、得80和36的最大公約數(shù)為221=4.點評：對比兩種方法控制好算法的結(jié)束，輾轉(zhuǎn)相除法是到達余數(shù)為0，更相減損術(shù)是到達減數(shù)和差相等.變式訓練 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求1 734，816的最大公約數(shù)解：輾轉(zhuǎn)相除法：1 734=8162+102，816=1028（余0），1 734與816的最大公約數(shù)是102更相減損術(shù)：因為兩數(shù)皆為偶數(shù)，首先除以2得到867，408，再求867與408的最大公約數(shù)867-408=459，459-408=51，408-51=357，357-51=306，306-51=255，255-51=204，204-51=153，153-51=102，102-51=51.1

15、 734與816的最大公約數(shù)是512=102利用更相減損術(shù)可另解：1 734816918，918816102，816102714，714102612，612102510，510102408，408102306，306102204，204102102.1 734與816的最大公約數(shù)是102（四）知能訓練 求319，377，116的最大公約數(shù)解：377=3191+58，319=585+29，58=292.377與319的最大公約數(shù)為29，再求29與116的最大公約數(shù)116=294.29與116的最大公約數(shù)為29.377，319，116的最大公約數(shù)為29.（五）拓展提升 試寫出利用更相減損術(shù)求兩個正

16、整數(shù)的最大公約數(shù)的程序解：更相減損術(shù)程序：input “m，n=”；m，nwhile mnif mn thenm-nelsem=n-mend ifwendprint mend（六）課堂小結(jié)（1）用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù).（2）用更相減損術(shù)求最大公約數(shù).思想方法：遞歸思想.（七）作業(yè) 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261，319的最大公約數(shù).分析：本題主要考查輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)及其應用使用輾轉(zhuǎn)相除法可依據(jù)m=nq+r，反復執(zhí)行，直到r=0為止；用更相減損術(shù)就是根據(jù)m-n=r，反復執(zhí)行，直到n=r為止解：輾轉(zhuǎn)相除法：319=2611+58,261=584+29,58=292.319與261的最

17、大公約數(shù)是29更相減損術(shù)：319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,319與261的最大公約數(shù)是29第2課時 案例2 秦九韶算法（一）導入新課 思路1（情境導入） 大家都喜歡吃蘋果吧，我們吃蘋果都是從外到里一口一口的吃，而蟲子卻是先鉆到蘋果里面從里到外一口一口的吃，由此看來處理同一個問題的方法多種多樣.怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當x=5時的值呢？方法也是多種多樣的，今天我們開始學習秦九韶算法. 思路2（直接導入） 前面我們學習了輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)， 今天我們開始學習秦九韶算法.（二）推

18、進新課、新知探究、提出問題（1）求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當x=5時的值有哪些方法？比較它們的特點.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎樣評價一個算法的好壞？討論結(jié)果：（1）怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當x=5時的值呢？ 一個自然的做法就是把5代入多項式f(x)，計算各項的值，然后把它們加起來，這時，我們一共做了1+2+3+4=10次乘法運算，5次加法運算. 另一種做法是先計算x2的值，然后依次計算x2x，（x2x）x，（x2x）x）x的值，這樣每次都可以利用上一次計算的結(jié)果，這時，我們一共做了4次乘法運算，5次加法運算. 第二種做法與第一種做法相比，

19、乘法的運算次數(shù)減少了，因而能夠提高運算效率，對于計算機來說，做一次乘法運算所用的時間比做一次加法運算要長得多，所以采用第二種做法，計算機能更快地得到結(jié)果.（2）上面問題有沒有更有效的算法呢？我國南宋時期的數(shù)學家秦九韶（約12021261）在他的著作數(shù)書九章中提出了下面的算法： 把一個n次多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改寫成如下形式：f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+a1）x+ a0=（anxn-2+an-1xn-3+a2）x+a1)x+a0=（anx+an-1）x+an-2）x+a1）x+a0.求多項式的值時，首先計

20、算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即v1=anx+an-1，然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，vn=vn-1x+a0，這樣，求n次多項式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值.上述方法稱為秦九韶算法.直到今天，這種算法仍是多項式求值比較先進的算法.（3）計算機的一個很重要的特點就是運算速度快，但即便如此，算法好壞的一個重要標志仍然是運算的次數(shù).如果一個算法從理論上需要超出計算機允許范圍內(nèi)的運算次數(shù)，那么這樣的算法就只能是一個理論的算法.（三）應用示例例1 已知一個5次多項式為f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，

21、用秦九韶算法求這個多項式當x=5時的值.解：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：f(x)=（(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當x=5時的值：v0=5；v1=55+2=27;v2=275+3.5=138.5;v3=138.55-2.6=689.9;v4=689.95+1.7=3 451.2;v5=3 415.25-0.8=17 255.2;所以，當x=5時，多項式的值等于17 255.2.算法分析：觀察上述秦九韶算法中的n個一次式，可見vk的計算要用到vk-1的值，若令v0=an，我們可以得到下面的公式：這是一個在秦九韶算法中

22、反復執(zhí)行的步驟，因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn).算法步驟如下：第一步，輸入多項式次數(shù)n、最高次的系數(shù)an和x的值.第二步，將v的值初始化為an，將i的值初始化為n-1.第三步，輸入i次項的系數(shù)ai.第四步，v=vx+ai,i=i-1.第五步，判斷i是否大于或等于0.若是，則返回第三步；否則，輸出多項式的值v.程序框圖如下圖：程序：input “n=”；ninput “an=”；ainput “x=”；xv=ai=n-1while i=0 print “i=”；i input “ai=”；a v=v*x+a i=i-1wendprint vend點評：本題是古老算法與現(xiàn)代計算機語言的完美結(jié)合，詳盡介紹了

23、思想方法、算法步驟、程序框圖和算法語句,是一個典型的算法案例.變式訓練 請以5次多項式函數(shù)為例說明秦九韶算法，并畫出程序框圖.解：設f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，讓我們以5次多項式一步步地進行改寫：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分層計算,只用了小括號，計算時，首先計算最內(nèi)層的括號，然后由里向外逐層計算，直到最外層的括號，然后加上常數(shù)項即可.程序

24、框圖如下圖：例2 已知n次多項式pn(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an，如果在一種算法中，計算（k=2，3，4，n）的值需要k1次乘法，計算p3(x0)的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算p10(x0)的值共需要_次運算.下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：p0(x)=a0,pk+1(x)=xpk(x)+ak+1（k0，1，2，n1）利用該算法，計算p3(x0)的值共需要6次運算，計算p10(x0)的值共需要_次運算.答案：65 20點評：秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的求值問題.直接法乘法運算的次數(shù)最多可到達，加法最多n次

25、.秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運算的次數(shù)減少到最多n次，加法最多n次.例3 已知多項式函數(shù)f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，求當x=5時的函數(shù)的值.解析：把多項式變形為：f(x)=2x55x44x3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7.計算的過程可以列表表示為：最后的系數(shù)2 677即為所求的值.算法過程：v0=2；v1=255=5；v2=554=21；v3=215+3=108；v4=10856=534；v5=5345+7=2 677.點評：如果多項式函數(shù)中有缺項的話，要以系數(shù)為0的項補齊后再計算.（四）知能訓練當x=2時，用秦九韶算法求多項式f(x)=3x5+8x4-

26、3x3+5x2+12x-6的值解法一：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當x=2時的值.v0=3;v1=v02+8=32+8=14;v2=v12-3=142-3=25;v3=v22+5=252+5=55;v4=v32+12=552+12=122;v5=v42-6=1222-6=238.當x=2時，多項式的值為238.解法二：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，則f(2)=(32+8)23)2+5)2+12)26238（五）拓展提升 用秦九韶算法求多項式f(x)=7x7+6x6

27、+5x5+4x4+3x3+2x2+x當x=3時的值.解：f(x)=(7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=73+6=27；v2=273+5=86；v3=863+4=262；v4=2623+3=789；v5=7893+2=2 369；v6=2 3693+1=7 108；v7=7 1083+0=21 324.f(3)=21 324.（六）課堂小結(jié)1.秦九韶算法的方法和步驟.2.秦九韶算法的計算機程序框圖.（七）作業(yè)已知函數(shù)f(x)=x32x25x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x32x25x+8=(x22x5)x+8=(x2)x5)x+8 f(9)=(92)95)9

28、+8=530.第3課時 案例3 進位制（一）導入新課情境導入 在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進制，據(jù)說這與古人曾以手指計數(shù)有關(guān)，愛好天文學的古人也曾經(jīng)采用七進制、十二進制、六十進制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年十二個月、一小時六十分的歷法.今天我們來學習一下進位制.（二）推進新課、新知探究、提出問題（1）你都了解哪些進位制？（2）舉出常見的進位制.（3）思考非十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的轉(zhuǎn)化方法.（4）思考十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進制數(shù)及非十進制之間的轉(zhuǎn)換方法.活動：先讓學生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路討論結(jié)果：（1）

29、進位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的計數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進一，就是二進制；滿十進一，就是十進制；滿十二進一，就是十二進制；滿六十進一，就是六十進制等等.也就是說：“滿幾進一”就是幾進制，幾進制的基數(shù)（都是大于1的整數(shù)）就是幾.（2）在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進制，據(jù)說這與古人曾以手指計數(shù)有關(guān)，愛好天文學的古人也曾經(jīng)采用七進制、十二進制、六十進制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛臁⒁荒晔€月、一小時六十分的歷法.（3）十進制使用09十個數(shù)字.計數(shù)時，幾個數(shù)字排成一行，從右起，第一位是個位，個位上的數(shù)字是幾，就表示幾個一；第二位是十位，十位上的數(shù)字是幾，就表示幾個十；接著依次是百位、千位、萬

30、位例如：十進制數(shù)3 721中的3表示3個千，7表示7個百，2表示2個十，1表示1個一.于是，我們得到下面的式子：3 721=3103+7102+2101+1100.與十進制類似，其他的進位制也可以按照位置原則計數(shù).由于每一種進位制的基數(shù)不同，所用的數(shù)字個數(shù)也不同.如二進制用0和1兩個數(shù)字，七進制用06七個數(shù)字.一般地，若k是一個大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制數(shù)可以表示為一串數(shù)字連寫在一起的形式 anan-1a1a0（k）（0ank，0an-1，a1，a0k).其他進位制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式，如110 011（2）=125+124+023+022+121+

31、120， 7 342（8）=783+382+481+280.非十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)比較簡單，只要計算下面的式子值即可：anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k+a0.第一步：從左到右依次取出k進制數(shù)anan-1a1a0(k)各位上的數(shù)字，乘以相應的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即ankn,an-1kn-1,a1k,a0k0；第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應的十進制數(shù).（4）關(guān)于進位制的轉(zhuǎn)換，教科書上以十進制和二進制之間的轉(zhuǎn)換為例講解，并推廣到十進制和其他進制之間的轉(zhuǎn)換.這樣做的原因是，計算機是以二進制的形式進行存儲和計算數(shù)據(jù)的，而一般

32、我們傳輸給計算機的數(shù)據(jù)是十進制數(shù)據(jù)，因此計算機必須先將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，再處理，顯然運算后首次得到的結(jié)果為二進制數(shù)，同時計算機又把運算結(jié)果由二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)輸出.1十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進制數(shù)把十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進制數(shù)的算法“除k取余法”.2非十進制之間的轉(zhuǎn)換一個自然的想法是利用十進制作為橋梁.教科書上提供了一個二進制數(shù)據(jù)與16進制數(shù)據(jù)之間的互化的方法，也就是先由二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)，再由十進制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進制數(shù).（三）應用示例思路1例1 把二進制數(shù)110 011(2)化為十進制數(shù).解：110 011(2)=125

33、+124+023+022+121+120=132+116+12+1=51.點評：先把二進制數(shù)寫成不同位上數(shù)字與2的冪的乘積之和的形式，再按照十進制的運算規(guī)則計算出結(jié)果.變式訓練設計一個算法，把k進制數(shù)a（共有n位）化為十進制數(shù)b.算法分析：從例1的計算過程可以看出，計算k進制數(shù)a的右數(shù)第i位數(shù)字ai與ki-1的乘積aiki-1，再將其累加，這是一個重復操作的步驟.所以，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法. 算法步驟如下：第一步，輸入a，k和n的值.第二步，將b的值初始化為0，i的值初始化為1.第三步，b=b+aiki-1，i=i+1.第四步，判斷in是否成立.若是，則執(zhí)行第五步；否則，返回第三步.第五步

34、，輸出b的值.程序框圖如下圖：程序：input “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a mod 10do b=b+t*k（i-1） a=a10 t=a mod 10 i=i+1loop until inprint bend例2 把89化為二進制數(shù).解：根據(jù)二進制數(shù)“滿二進一”的原則，可以用2連續(xù)去除89或所得商，然后取余數(shù).具體計算方法如下：因為89=244+1，44=222+0，22=211+0，11=25+1，5=22+1，2=21+0，1=20+1，所以89=2（2（2（2（22+1）+1）+0）+0）+1=2（2（2（2（22+1）+1）+0）+0）+1=126+025+124

35、+123+022+021+120=1 011 001(2).這種算法叫做除2取余法，還可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余數(shù)從下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推廣為把十進制數(shù)化為k進制數(shù)的算法，稱為除k取余法.變式訓練 設計一個程序，實現(xiàn)“除k取余法”.算法分析：從例2的計算過程可以看出如下的規(guī)律： 若十制數(shù)a除以k所得商是q0，余數(shù)是r0，即a=kq0+r0，則r0是a的k進制數(shù)的右數(shù)第1位數(shù). 若q0除以k所得的商是q1，余數(shù)是r1，即q0=kq1+r1，則r1是a的k進制數(shù)的左數(shù)第2位數(shù). 若qn-1除以k所得的商是0，余數(shù)是rn，即qn-1=rn

36、，則rn是a的k進制數(shù)的左數(shù)第1位數(shù). 這樣，我們可以得到算法步驟如下： 第一步，給定十進制正整數(shù)a和轉(zhuǎn)化后的數(shù)的基數(shù)k. 第二步，求出a除以k所得的商q，余數(shù)r. 第三步，把得到的余數(shù)依次從右到左排列. 第四步，若q0，則a=q，返回第二步；否則，輸出全部余數(shù)r排列得到的k進制數(shù). 程序框圖如下圖：程序：input “a，k=”；a，kb=0i=0do q=ak r=a mod k b=b+r*10i i=i+1 a=qloop until q=0print bend思路2例1 將8進制數(shù)314 706(8)化為十進制數(shù)，并編寫出一個實現(xiàn)算法的程序.解：314 706(8)=385+184+

37、483+782+081+680=104 902.所以，化為十進制數(shù)是104 902.點評：利用把k進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的一般方法就可以把8進制數(shù)314 706(8)化為十進制數(shù).例2 把十進制數(shù)89化為三進制數(shù)，并寫出程序語句.解：具體的計算方法如下：89=329+2，29=39+2，9=33+0，3=31+0，1=30+1，所以:89(10)=10 022(3).點評：根據(jù)三進制數(shù)滿三進一的原則，可以用3連續(xù)去除89及其所得的商，然后按倒序的順序取出余數(shù)組成數(shù)據(jù)即可.（四）知能訓練 將十進制數(shù)34轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)分析：把一個十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，用2反復去除這個十進制數(shù)，直到商為0，所得余數(shù)

38、（從下往上讀）就是所求解：即34(10)=100 010(2)（五）拓展提升把1 234(5)分別轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)和八進制數(shù)解：1 234(5)=153+252+35+4194則1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194302(8)點評：本題主要考查進位制以及不同進位制數(shù)的互化五進制數(shù)直接利用公式就可以轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)；五進制數(shù)和八進制數(shù)之間需要借助于十進制數(shù)來轉(zhuǎn)化（六）課堂小結(jié)（1）理解算法與進位制的關(guān)系.（2）熟練掌握各種進位制之間轉(zhuǎn)化.（七）作業(yè) 習題1.3a組3、4.算法初步 復習課一、教學目標1、知識與技能（1）明確算法的含義，熟悉算法的三種基本結(jié)構(gòu)：順序、條件和循環(huán)，

39、以及基本的算法語句。（2）能熟練運用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法、排序、進位制等典型的算法知識解決同類問題。2、過程與方法在復習舊知識的過程中把知識系統(tǒng)化，通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中進一步理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)。3、情態(tài)與價值觀算法內(nèi)容反映了時代的特點，同時也是中國數(shù)學課程內(nèi)容的新特色。中國古代數(shù)學以算法為主要特征，取得了舉世公認的偉大成就。現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使算法重新煥發(fā)了前所未有的生機和活力，算法進入中學數(shù)學課程，既反映了時代的要求，也是中國古代數(shù)學思想在一個新的層次上的復興，也就成為了中國數(shù)學課程的一個新的特色。二、教學重難點重點：算法的基本知識與算法對應的程序框圖的設計難點：與算法對應的程序框圖的設計及算法程序的編寫三、學法與教學用具學法：利用實例讓學生體會基本的算法思想，提高邏輯思維能力，對比信息技術(shù)課程中的程序語言的學習和程序設計，了解數(shù)學算法與信息技術(shù)上的區(qū)別。通過案例的運用，引導學生體會算法的核心是一般意義上的解決問題策略的具體化。面臨一個問題時，在分析、思考后獲得了解決它的基本思路（解題策略），將這種思路具體化、條理化，用適當?shù)姆绞奖磉_出來（畫出程序