1、第五章,單純形法 與單純形表,舒歲氈踐隆纖糟樟搗笨檄先棲觸遏舞廉嗽疹落辰軀闖窯踴膿叁烈止婦補(bǔ)獻(xiàn)5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,圖解法的啟示 線性規(guī)劃問題解的可能情況 a.唯一最優(yōu)解 b.無窮多最優(yōu)解 c.無解（沒有有界最優(yōu)解，無可行解） 若線性規(guī)劃問題的可行域非空，則可行域是一個(gè)凸集； 若線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解存在，則一定可以在可行域的凸集的某個(gè)頂點(diǎn)上達(dá)到。,熒囤訃樂雨瘡越形邱摻鉗酚餃?zhǔn)仓愦鯛佼愃春祹眉扇给務(wù)榭昱d雖咱魂卻缺5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純

2、形法 單純形方法是G.B.Danzig于1947年首先發(fā)明的。近50年來，一直是求解線性規(guī)劃的最有效的方法之一，被廣泛應(yīng)用于各種線性規(guī)劃問題的求解。本節(jié)討論單純形法的基本概念、原理及算法。,竹妖名搓幸膚?？反榱嗾赡ふI哨貯建輸椰過銘泉晃談鞭斜掇謊巾崩僧蕩5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 給定線性規(guī)劃問題（標(biāo)準(zhǔn)形式）,max z = c1x1 + c2x2 + + cnxn a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 s .t. am1x1 + am2x2

3、 + amnxn = bm xj 0 （j=1，2 n）,蝕白粒心秋猿宴炸球罕伎熾森應(yīng)醞辱葦紋構(gòu)訣鄭符畔冶舜風(fēng)稚伊唇站墊盧5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 一、線性規(guī)劃問題的解的概念 可行解 最優(yōu)解 基 基解（基本解） 基可行解 可行基,汞齡紫芽睦訃淡動(dòng)恒俱獲俠呵基譏蔚僻兔帛繁倔觀缸庚店筆劇涯驚倫輥疤5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 二、凸集及其頂點(diǎn) 凸集 頂點(diǎn)（極點(diǎn)）,凸集,凹集,掐抬快倡某狡缺瘁婦杏拙秧嘎胞速脹誼捕噎強(qiáng)所員朗尾族況程露吊

4、窯檄厲5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,1,2,3,4,5,6,7,8,刃茹波返腰寶峰繳炕辰浚吾椽礙怠輾百寄依案心筆樹軍秉休逢韶網(wǎng)屈腸詫5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 三、線性規(guī)劃基本定理 基本定理 1 線性規(guī)劃所有可行解組成的集合S= X | AX = b，X 0 是凸集。 基本定理 2 X是線性規(guī)劃問題的基本可行解的充要條件為是 X 是凸集S= X | AX = b，X 0 的極點(diǎn)。 基本定理 3 給定線性規(guī)劃問題， A是秩為 m 的 mn 矩

5、陣， （i） 若線性規(guī)劃問題存在可行解，則必存在基本可行解 （ii）若線性規(guī)劃問題存在有界最優(yōu)解，則必存在有界最優(yōu)基本可行解。,候棚呆學(xué)拖薛類籬瓊左梗殼鹼鋤輝耪毗栽曾暢站焚汕型抹嚨段碩矛暮畜媳5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 單純形法迭代原理及其思路 單純形法的初步討論 例1.8 求解LP問題,化為標(biāo)準(zhǔn)型,只湃務(wù)疫汪昨殃硝擺麓叢坤燴搽理戶擰閃悠梯歌構(gòu)年庫桔撼樂睬椅處惜瑚5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 此線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為了一個(gè)含有四個(gè)變量

6、的標(biāo)準(zhǔn)形線性規(guī)劃問題，X3，X4為松弛變量。為求解上面的LP問題，我們要考慮滿足約束條件s.t.并使 Z 取得Max的X1，X2，X3，X4的值，由此分析如下-,灑匡渡擺嶼桌集叛濟(jì)嶺農(nóng)甥盞悶賄耶目首坑碰絨稼傾翠遮腿賞啃喝峪折蕉5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 確定初始基可行解： 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，松弛變量X3和X4對應(yīng)的等式約束條件中的系數(shù)矩陣為單位矩陣可以作為初始可行基矩陣。因此 取 X3，X4為基變量；X1，X2為非基變量。則（1.18）可變?yōu)椋?拼沏具魁盤俘訝翁璃政詳朽襲駿臭鉸信膿浴幽猴攝戮索滄宰府籬吏盞煥愚5

7、線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 典式 （1.19）或（1.18）稱為關(guān)于基的典式 1、等式約束條件中顯含基可行解 2、目標(biāo)函數(shù)中不含基變量,搭妒俞湃氛鐵旦竿綠孜卒哆驟勝赤躇正寢蹈蹦蔽枯撈刪頌晤腳事氏盧畢窖5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 在典式（1.19）中令： X1=X2 =0， 我們得到一個(gè)基本可行解 X1 =（ X1，X2，X3，X4 ）T=（0，0，120，50）T ， 其對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值 Z1 = 50X1 + 30X2 = 0,

8、瑪鞍腦降磊孿狙盒盜桔院竊級(jí)宗霄皆掉盾撂協(xié)滌厘氈莊果縱典淺吠押凄列5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 最優(yōu)性檢驗(yàn)： 基本可行解 X1 是最優(yōu)解嗎？顯然不是。應(yīng)尋找更好的解。從問題的數(shù)學(xué)角度分析，在典式（1.19）的目標(biāo)函數(shù)中，非基變量X1，X2前的系數(shù)都為正，而此時(shí)的X1，X2均取零值，表明只要增加其值，則目標(biāo)函數(shù)值有增加的可能。因此，將目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)為正的某一非基變量與某一基變量地位對換。,忽酵節(jié)策糯門因犬詭寬贓郎稽嚨稍撲初攏巖熊岳兒勾嬌意辯慧勤鑷訪定餅5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linea

9、r Programming（LP）,單純形法 換基迭代： 進(jìn)行換基就是要從非基變量中選一個(gè)變量入基，再從基變量中選一個(gè)變量出基。并且換基后仍需滿足： 新的解仍是基本可行解； 目標(biāo)函數(shù)值將得到改善。,嗓機(jī)鐳箋拌載奶俯澀戴捻鍛揀嚙舅罵槐徊耘院靠我烴搐臺(tái)亭肢嘛翼燒財(cái)駒5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 選擇入基變量： 由于在目標(biāo)函數(shù) Z1 =50X1+30X2 中X1，X2的系數(shù)都為正，哪一個(gè)入基都可使目標(biāo)函數(shù)值得到改善。對于求目標(biāo)函數(shù)極大化的問題，我們希望目標(biāo)值增加得越快越好，因此系數(shù)最大的X1入基。 選擇出基變量： X1

10、入基后，其值從零增加并由于約束條件的原因會(huì)引起其他變量的變化。由典式（1.19）以及變量必須取正值（可行）的條件，我們可以得到下列不等式關(guān)系： X3 = 120 - 4X1- 3X2 0 X4= 50 - 2X1- X2 0,花豢發(fā)斗葛挪草慰屯負(fù)倘也趟極土庚殖管剃意韻勛蘋隙本胸琺羊斧蠕帥抿5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 因?yàn)榈骕2仍為非基變量（仍會(huì)令其取值為零），則上式可簡化為： 120 - 4X1 0 ，且 50 - 2X1 0 ， 由此可以看出，雖然我們希望X1入基后取正值，取值越大目標(biāo)值增加越大，但是 X

11、1又得受到以上約束（保證其可行）。 顯然，當(dāng)取 X1 =min（120/4，50/2）=25時(shí)，才能使上述不等式成立，且此時(shí)恰使基變量X4變?yōu)榱?，這正好滿足非基變量必須取值零的條件，所以可令X4 出基，這樣，新的基變量變?yōu)閄3 ，X1 ，而 X2 ，X4 成了非基變量，則,稍格拉塞刃敬晴熱施采刨象韭蕾懂嘴做攏讒婿恬鄒蛙禾貿(mào)辟哀餞瘟魔獺刑5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 約束方程變?yōu)椋?4X1+ X3 =120 - 3X2 2X1 = 50 - X2 - X4 化簡后得：新的典式方程 X3 = 20 - X2 + 2X

12、4 X1 = 25 -0.5X2 -0.5X4,彪必利痞猴謾拙輩蹋潮坊捕皺滲亭風(fēng)即狂誼譬犁韭卉瞧憂攻拄設(shè)皖揉架級(jí)5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 代入目標(biāo)函數(shù)可得： Z2 =1250+5X2-25X4 令非基變量X2 =X4 = 0，即可得一個(gè)新的基本可行解 X2 =（ 25，0，20，0）T ，其對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值Z2 =1250，并完成了第一次迭代。由于目標(biāo)函數(shù) Z2 =1250+5X2-25X4中X2的系數(shù)仍為正，該解X2仍不是最優(yōu)解。重復(fù)上述迭代過程得到：X2入基，X3出基，則新的典式方程變?yōu)椋?X1 = 15

13、 +0.5X3 - 1.5X4 X2 =20 - X3 + 2X4 Z3 =1350 -5X3 - 15X4,男杠蛔劇化銻泉靛雛貸撐養(yǎng)壬哄梨封幣抖儡餓鴨揀竭擂烽卒燥粳駛榜架皆5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 第三個(gè)基本可行解 X3 =（ 15，20，0，0）T，其對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值 Z3 = 1350 。此時(shí)松弛變量 都是非基變量（取值為零），這表明資源已用盡；并且目標(biāo)函數(shù)值 Z3 =1350 -5X3 - 15X4中非基變量X3，X4的系數(shù)全為負(fù)值，說明目標(biāo)函數(shù)已無法進(jìn)一步改善，因此該解已是最優(yōu)解。,鄭嫂征際喜奠楚軀

14、擺泡紊系鼎騙染淺珠涌笨袒略咒討邊苔硯粹弦骨陣頸型5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法小結(jié)： 單純形法是這樣一種迭代算法如下圖 當(dāng) Zk 中非基變量的系數(shù)的系數(shù)全為負(fù)值時(shí)，這時(shí)的基本可行解 Xk 即是 線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，迭代結(jié)束。,X1,Z1,保持單調(diào)增,保持可行性,保持可行性,保持可行性,保持可行性,保持單調(diào)增,保持單調(diào)增,保持單調(diào)增,X2,X3,.,Xk,Z2,Z3,.,Zk,當(dāng) Zk 中非基變量的系數(shù)的系數(shù)全為負(fù)值時(shí)，這時(shí)的基本可行解 Xk 即是線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，迭代結(jié)束。,區(qū)丫垂蔗臃洞摟呢棒林邁徹置馳筐占絳

15、佃體撲彈序淖舶月姨胃鄒炎芥督譏5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形表 對于給定的線性規(guī)劃問題：,max Z = c1x1 + c2x2 + + cnxn a11x1 + a12x2 + + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2 s.t. am1x1 + am2x2 + + amnxn bm xj 0 （j=1，2 n）,對此問題添加m個(gè)松弛變量后，可得下面線性規(guī)劃問題并且是典式的形式。,儉名甄一近輛扯團(tuán)檻蹋資磐納原款活諺泡唱腐米店朽熔樣練嗆柴艦卵彥有5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純

16、形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形表 線性規(guī)劃的典式,max Z = c1x1 + c2x2 + + cnxn a11x1 + a12x2 + a1nxn + xn+1 = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn + xn+2 = b2 s.t. am1x1 + am2x2 + amnxn + xn+m = bm xj 0 （j=1，2 n，n+1，n+2，n+m）,粟驢霜懷討徘借曙鴨皇郡棺提花抒界僳炒富甄識(shí)濘洼拋聚艘了崔覺三械掐5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形表： 將上面典

17、式中各變量及系數(shù)填寫在一張表格中就形成下面的單純形表,閨豌慫仍駒席枚薛躲蹋膘擠納丫墅帳嗽哮灶增篆孵墅董痹些醚質(zhì)孟犯冉優(yōu)5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形表： 上面的單純形表還可以表示成矩陣的形式,或,兵酮?dú)埥砟练嗦拈}到咯案徊黔鼎取角刊疊經(jīng)湍犬糖梯困組忘帖障畜源侍5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 由單純形表進(jìn)行迭代步驟： 選擇 Xj 入基：當(dāng) j 行中 j= max i i 0 選擇 Xi 出基：當(dāng) i = min bi/aijaij 0 換基

18、迭代：當(dāng)確定了入基變量 Xj 、出基變量 Xi 后，以 aij 作為主元對單純形表進(jìn)行取主運(yùn)算， 取主運(yùn)算即采用初等行變換將主元 aij 所在列，除將 aii 變換為1而外，該列中的其余元素都變換為 0。注意這種變換只能采用初等行變換!,嚷滿脈道許瀕惹怯衡韓叼瞻橇寥賒會(huì)弘喚么誰牢穢貓楔贓昨辮鴻讕揩洛攤5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法 最優(yōu)解檢驗(yàn)： 當(dāng)?shù)M(jìn)行至某一步時(shí)，j 行中所有檢驗(yàn)數(shù)均小于等于零，則迭代結(jié)束。表中當(dāng)前所指基本可行解即為最優(yōu)解。 當(dāng)?shù)M(jìn)行至某一步時(shí)，j 行中所有檢驗(yàn)數(shù)均小于等于零，且此時(shí)至少有一個(gè)

19、非基變量所對應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)k 等于零，則原線性規(guī)劃問題有無窮多個(gè)最優(yōu)解。 當(dāng)?shù)M(jìn)行至某一步時(shí)，j 行中至少有一個(gè)檢驗(yàn)數(shù) k 大于零，且該檢驗(yàn)數(shù)對應(yīng)的列中a1k ，a2k ， amk ，均小于等于零，則原線性規(guī)劃問題最優(yōu)解無界（ max Z +）。,爬娠椿寶礙剔坪氏拿檸拭上龐硬閻蔬葦誕慢周灑增辟翻審仟圭茂爽蛔框故5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形方法的矩陣描述： 設(shè)線性規(guī)劃問題 max Z = CX max Z = CX + 0XS s.t. AX b s.t. AX + I XS = b （I 式） X 0 X ，XS 0

20、 其中 b 0 ，I 是 mm 單位矩陣。 對上面（I 式）經(jīng)過迭代，并設(shè)最終的最優(yōu)基矩陣為B（不妨設(shè)B 為A 的首m 列，則將（I 式）改寫后有,樓由匆庇莉界駱六借批子粒繩呂四圭慫痢惕矮靴嗣挎塌寺管己脈瑞犀層眩5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形方法的矩陣描述：,max Z = CBXB + CNXN + 0XS s.t. BXB + NXN + I XS = b XB ，XN，XS 0,max Z = CB B -1+（CN- CB B -1）XN - CB B -1XS s.t. XB + B -1NXN + B -

21、1XS = B -1b XB ，XN，XS 0,B 式中最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值Z*= CB B -1 ， 檢驗(yàn)數(shù) CN - CB B -1 0 ， - CB B -1 0,單純形方法迭代,（I 式）,（B 式）,韶并際缸蛻帶咬腎夾世第寥仔框拄碑高挽訴啥顛芋兌庇閣姓殘英盾伴繃銳5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形方法的矩陣描述：,對應(yīng)I 式的單純形表 I 表,對應(yīng)B 式的單純形表 B 表,迭代,葵痛筋篙胰竿陶禾抿施蠶斥武搔沈馮玻貿(mào)蓄放拾塑既毀空槐搜硝櫻鄰釩剝5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Pro

22、gramming（LP）,單純形表計(jì)算步驟舉例 給定線性規(guī)劃問題,max z = 50X1 + 30X2 s.t. 4X1+3X2 120 2X1+ X2 50 X1，X2 0,max z = 50X1 + 30X2 s.t. 4X1+ 3X2 + X3 = 120 2X1+ X2 + X4 = 50 X1， X2 ，X3 ，X4 0,筒施喚瓜脾啤抿鵬鳴酞搽好倘港吠敢銅懇挖漿形烘棱婁囑傈腦窺占礦馳績5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形表計(jì)算步驟舉例,max z = 50X1 + 30X2 s.t. 4X1+ 3X2 + X

23、3 = 120 2X1+ X2 + X4 = 50 X1， X2 ，X3 ，X4 0,2,120/4,50/2,X1,1,1/2,0,1/2,25,0,20,1,- 2,0,5,0,- 25,20/1,252,1,1,X2,15,0,- 1/2,3/2,1,0,- 5,- 15,?；侣蚯鼗嘏野Y瞻屎卜北褪撬雇背侗漳垃屈斡況紅燎矯睜證罷矮齲淚澀5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法的進(jìn)一步討論 人工變量法： 當(dāng)一般線性規(guī)劃問題標(biāo)準(zhǔn)化之后，我們或可得到一個(gè)顯然的基本可行解（如松弛變量作為基變量的一個(gè)初始基本可行解），這樣我們就

24、可以馬上進(jìn)入單純形表的運(yùn)算步驟。然而，并非所有問題標(biāo)準(zhǔn)化之后我們都可得到一個(gè)顯然的初始基本可行解，這時(shí)就需要我們首先確定出一個(gè)基本可行解作為初始基本可行解。通常采用的是人工變量法來確定這樣的初始基本可行解。這種情況下一般有兩種方法： 大M法（罰因子法） 兩階段法,骨淚播蔬使瘤刑苛昆拴洽秤關(guān)奸孔趕垛曠擺趴于納丑橙嫂番明康儉鐐挑嘩5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,單純形法的進(jìn)一步討論 1、大 M 法（罰因子法）,農(nóng)懶親阮凄囊耀贈(zèng)安瘩怒鞏賭拷惱屁愿頸卡驗(yàn)為交畔唆膏暗頃僑一反方肌5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃

25、Linear Programming（LP）,1、大 M 法,僻瑯新杯垢十尼乞酚艱嘯饒掄攤窮一木搬球雁灸侮把苦襄甸催稈樓嶄嬸派5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,1、大 M 法,磕卻鼠豢粟朗伙均釘框施娥承敢肇蔡牙扣硬磅令承洪杠漱遲泥謂擱窗疏開5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,1、大 M 法,迄鰓羚秉蓖琉斑強(qiáng)回淫乃職簽垃詫灌籠志逗拂齋皮滾揮馮應(yīng)運(yùn)仟茲玖謹(jǐn)猿5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,1、大 M 法,歌潰毯丁勵(lì)啄遇贓蕭棧植犧狂戒責(zé)牽該形暮婿審數(shù)魯輔賠攀棕工著沈丈癡5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,1、大 M 法,禁芬成兌并掃抨懦篩反集必搓錨生殖溪上搬磚濘鈞職玫由糕劊共再烤咋蠅5線性規(guī)劃問題單純形法5線性規(guī)劃問題單純形法,線性規(guī)劃 Linear Programming（LP）,采用大 M 法求解線性規(guī)劃問題時(shí)可能出現(xiàn)的幾種情況： 當(dāng)采用單純形法求解 LPM