1、華 北 水 利 水 電 學(xué) 院函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用課 程 名 稱： 高等數(shù)學(xué)（2） 專 業(yè) 班 級(jí)： 測(cè)控技術(shù)與儀器（89）班 成 員 組 成： 聯(lián) 系 方 式：2012年5月27日摘要:本文將通過(guò)函數(shù)極值和函數(shù)最值的相關(guān)理論、區(qū)別、聯(lián)系及極值最值的求解方法，系統(tǒng)的闡述函數(shù)極值最值，這一重要而且基礎(chǔ)的函數(shù)性質(zhì)，并讓大家意識(shí)到部分極值最值問(wèn)題是與實(shí)際問(wèn)題有著密不可分的關(guān)系。然后運(yùn)用給出的函數(shù)極值和最值知識(shí)，解決生活實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題。關(guān)鍵詞：極值；最值；應(yīng)用。 1.引言函數(shù)的極值和最值不僅是函重要的基礎(chǔ)性質(zhì),在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中也有著重要的應(yīng)用,對(duì)于不同類型的問(wèn)題，我們應(yīng)

2、有一個(gè)系統(tǒng)而簡(jiǎn)便的方法，巧妙地運(yùn)用進(jìn)而達(dá)到熟練地掌握這些方法。而恰恰這些方法的終極解決，都?xì)w結(jié)于對(duì)函數(shù)極值和最值的求解。下面，就讓我們系統(tǒng)的歸納和展示，函數(shù)極值和最值的相關(guān)問(wèn)題及在生活實(shí)際中的各種應(yīng)用！ 2.函數(shù)極值的相關(guān)理論2.1函數(shù)極值的定義 設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極大值。如果附近所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。費(fèi)馬定理：可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。數(shù)學(xué)函數(shù)的一種穩(wěn)定值,即一個(gè)極大值或一個(gè)極小值，極值點(diǎn)只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)中取得。若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且為的極值點(diǎn)，則.這就是說(shuō)可導(dǎo)函

3、數(shù)在點(diǎn)取極值的必要條件是.2.2極值的充分條件定理1（極值的第一充分條件）設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，在某鄰域內(nèi)可導(dǎo).(1）若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 則在點(diǎn)取得極小值.（2）若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 則在點(diǎn)取得極大值.定理2（極值的第二充分條件）設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且.（1）若，則在取得極大值.（2）若，則在取得極小值.定理3（極值的第三充分條件）設(shè)在的某個(gè)鄰域內(nèi),存在直到階導(dǎo)函數(shù)，在處階可導(dǎo)，且,則.（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在取得極值，且當(dāng)時(shí)取極大值，時(shí)取極小值;（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在處不取極值.2.3函數(shù)極值的求解方法2.3.1降元法求多元函數(shù)極值的基本方法之一就是選擇兩個(gè)變量作為主元，而消去其他變量，化為二元函數(shù)

4、求解。 例：已知，求函數(shù)的極值。 解：由題設(shè)得，代人得 即函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，2.3.2轉(zhuǎn)化法在函數(shù)極值法不易直接求解的情況下，應(yīng)注意觀察題型結(jié)構(gòu)，分析題設(shè)特點(diǎn)，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解的問(wèn)題，通過(guò)其他途徑求解。 例：求函數(shù)的極小值. 解：設(shè) 令 則： 2.3.3換元法換元法是把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的一種常用方法。例：已知，求的極值. 解： 令 則 （其中） 2.3.4判別式法若所給函數(shù)式（可加約束條件）如能轉(zhuǎn)化為以某個(gè)變量為主元的二次方程，則可用判別式法求函數(shù)的極值。例：已知滿足，求的最小值. 解：由得代人約束條件并以為主元整理得： 解得: （1） 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（1）式取等號(hào)。 由的

5、對(duì)稱性知當(dāng)時(shí)， .其實(shí)，函數(shù)極值的解題方法不少,如不等式法、三角法、參數(shù)法,極坐標(biāo)法、區(qū)間法等都有一定的技巧性.解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析,審查題目的特征、結(jié)構(gòu)、挖掘隱含條件,抓住特征,發(fā)揮聯(lián)想,運(yùn)用靈活多變的替代、轉(zhuǎn)化,有時(shí)還需要反其常規(guī),逆向思維,以退為進(jìn)選擇合理的解題方法,逐步提高解題技能,才能做到準(zhǔn)確簡(jiǎn)捷地解題。 3.函數(shù)最值的相關(guān)理論3.1函數(shù)最值的定義3.1.1函數(shù)最值 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果存在一點(diǎn)，使得不小于其他所有的，亦即 ，則稱是在上的最大值，又可記為 ；同樣使得不大于其他所有的，亦即 ，則稱是在上的最小值，又可記為 .3.2函數(shù)最值的求解方法3.2.1導(dǎo)數(shù)法閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最

6、值來(lái)源于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值和函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的極值，而極值又來(lái)源于的根處的函數(shù)值。所以建議求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間a，b上的最值可分以下步驟進(jìn)行：1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2.求函數(shù)在a，b內(nèi)令的的值（稱之為“駐點(diǎn)” ）3.判斷駐點(diǎn)左右兩側(cè)的正負(fù)，以此判斷函數(shù)曲線的走向（為上升，為下降），左邊上升、右邊下降的駐點(diǎn)處的函數(shù)值為極大值，反之為極小值。4.如果函數(shù)駐點(diǎn)較多，分段討論，并可以列表、畫(huà)圖表達(dá)5.求最大值，將所有極大值和函數(shù)定義域區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一起比較，取最大的，則為最大值。最小值亦然。例： 求函數(shù)在閉區(qū)間-2，2上的最大值和最小值。 解：先求導(dǎo)數(shù)得：， 令即， 解得 計(jì)算得： 比較得3.2.2幾何法例

7、如：已知，求函數(shù)的最小值。 解：本題的幾何意義是在直線上求一點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離之和為最小。如圖： 設(shè)：點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為。由幾何光學(xué)原理知當(dāng)點(diǎn)光源從射出后，經(jīng)鏡面反射到點(diǎn)。這時(shí)就是所求的最小值。設(shè)點(diǎn)關(guān)于光線的對(duì)稱點(diǎn)為，于是 ，由 解得 其實(shí)，對(duì)于函數(shù)最值的求解，我們可以依據(jù)極值的求解。通過(guò)最值的定義與最值和極值的關(guān)系來(lái)求解最值。 4.極值的應(yīng)用4.1極值理論拯救生命發(fā)生在1953年2月的海水倒灌災(zāi)難奪去了1800人的生命，毀壞了4.7萬(wàn)間居民住宅。此后，荷蘭政府迫切需要修筑能保護(hù)該國(guó)數(shù)百年的新海防大堤。而后，1600萬(wàn)荷蘭居民得到了極值理論公式的保護(hù)。由于荷蘭一半以上的國(guó)土位于海平面之下，

8、因此該國(guó)筑起一條條海堤加以防范。這些海堤根據(jù)極值理論的數(shù)學(xué)原理設(shè)計(jì)，用來(lái)對(duì)付大自然可能發(fā)起的最惡劣挑戰(zhàn)?？茖W(xué)家們分析了該國(guó)有關(guān)此類極端事件的歷史數(shù)據(jù)，得出了新建堤防5米高的標(biāo)準(zhǔn)。這時(shí)極值理論被用來(lái)確定，在不遠(yuǎn)的將來(lái)，再次發(fā)生災(zāi)難的機(jī)會(huì)微乎其微。4.2極值理論在其他行業(yè)中的應(yīng)用例如保險(xiǎn)業(yè)：保險(xiǎn)公司需要對(duì)洪水、風(fēng)暴和颶風(fēng)等極端事件的發(fā)生機(jī)率進(jìn)行評(píng)估，因而成為最早的受惠者之一。若高估了風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)高得不切實(shí)際，可能嚇走顧客；如果低估了風(fēng)險(xiǎn)，一旦事件發(fā)生，保險(xiǎn)公司又會(huì)蒙受損失。根據(jù)極值理論，保險(xiǎn)公司就可以制定更適當(dāng)?shù)谋ＹM(fèi)水平，這對(duì)自己和客戶都有利。 5.最值的應(yīng)用解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和

9、目標(biāo)函數(shù)。把實(shí)際問(wèn)題翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,找出問(wèn)題的關(guān)鍵,根據(jù)題中所給條件之間的相互關(guān)系,把問(wèn)題化為常規(guī)問(wèn)題。通過(guò)把主要關(guān)系近似化,形式化,拋開(kāi)實(shí)際意義,抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型,選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解。5.1最大利潤(rùn)與最小成本問(wèn)題利潤(rùn)最大化與成本最小化是每一個(gè)生產(chǎn)企業(yè)孜孜以求的最高目標(biāo)。要實(shí)現(xiàn)這一最高目標(biāo)，首先要合理確定產(chǎn)品的產(chǎn)量，除了要考慮市場(chǎng)的需求外，還要考慮到產(chǎn)品的市場(chǎng)價(jià)格因素，這就需要研究成本、收益、利潤(rùn)與產(chǎn)量之間的依賴變化關(guān)系。5.2稅收額最大問(wèn)題問(wèn)題歸結(jié)為求解使稅收收益最大的稅率（稅率收益是稅率與實(shí)際的市場(chǎng)銷售量的乘積）。假設(shè)某地區(qū)經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間征稅試驗(yàn)，政府能夠確定某產(chǎn)品市場(chǎng)的消費(fèi)量與有關(guān)稅率之

10、間的關(guān)系是 （1）其中表示產(chǎn)品的稅率，表示市場(chǎng)消費(fèi)的數(shù)量。由于稅率等于，所以政府的收益就應(yīng)等于稅率和市場(chǎng)消費(fèi)數(shù)量的積，即 （2）其中和被假設(shè)為非負(fù)值，的定義域?yàn)?，由于和時(shí)，都等于零，所以在0與3之間達(dá)到極大值。對(duì)（2）式求導(dǎo)數(shù)有解得駐點(diǎn)，將它代人（2）式，即收益，再將代人（1）式，求得稅率。所以當(dāng)稅率為時(shí)，政府可獲得最大收益7.79.5.3最大期望問(wèn)題對(duì)策論使用的最基本、最重要的概念是期望值。例如：一堆產(chǎn)品有六個(gè)等級(jí)，其數(shù)量各為。各級(jí)品售出一件的盈利見(jiàn)下表1，試問(wèn)該堆產(chǎn)品每件平均銷售盈利是多少？因?yàn)楦骷?jí)品出現(xiàn)的可能性相同，所以各級(jí)品出現(xiàn)的概率均為,因此作表1 如下：結(jié)果123456概率收益12

11、3456各級(jí)產(chǎn)品銷售的期望值 （元）這就說(shuō)明，這堆有六個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品每件平均銷售盈利是3.5元。5.4最優(yōu)計(jì)劃安排，最佳混合生產(chǎn)問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)常要考慮兩個(gè)問(wèn)題。一是確定了一項(xiàng)任務(wù)，研究怎樣精打細(xì)算，使用最少的人力、物力去完成；二是已有一定數(shù)量的人力、物力，研究怎樣合理安排，使他們發(fā)揮最大限度的作用，從而完成最多的任務(wù)。綜上所述，提高生產(chǎn)和工作效率，使企業(yè)獲得最佳產(chǎn)出的經(jīng)濟(jì)效益，達(dá)到收入最大、成本最低或收益最高等，這無(wú)疑是企業(yè)決策者和管理人員們十分關(guān)心的問(wèn)題?？梢?jiàn)，函數(shù)最值的應(yīng)用是如此之廣，用處是如此之大！ 6.結(jié)論通過(guò)對(duì)函數(shù)極值和最值及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)，我們知道了極值和最值在函數(shù)值的計(jì)算上的重要性，及其函數(shù)極值和最值二者之間的區(qū)別和聯(lián)系。我們可以通過(guò)極值的求解，深入到最值的求解方法，并且廣泛推廣，使得我們?cè)趯?duì)函數(shù)極值和最值的把握中能夠更