1、摘要: 本次實(shí)驗(yàn)是讓同學(xué)們進(jìn)一步了解、鞏固、加強(qiáng)微分方程模型的建模、求解能力；學(xué)習(xí)掌握用MATLAB進(jìn)行二維和三維基本圖形繪制。因?yàn)镸ATLAB具有很強(qiáng)的圖形處理功能和豐富的圖形表現(xiàn)方法。它提供了大量的二維、三維圖形函數(shù)，使得數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果可以方便地、多樣性地實(shí)現(xiàn)可視化，這是其它語(yǔ)言所不能比擬的。MATLAB不僅能繪制幾乎所有的標(biāo)準(zhǔn)圖形，而且其表現(xiàn)形式也是豐富多樣的。MATLAB不僅具有高層繪圖能力，而且還具有底層繪圖能力句柄繪圖方法。在面向?qū)ο蟮膱D形設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，使得用戶可以用來(lái)開(kāi)發(fā)各專業(yè)的專用圖形。help graph2d可得到所有畫(huà)二維、三維圖形的命令。 描述傳染病的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)

2、的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻，預(yù)防傳染病蔓延的手段，按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型。 問(wèn)題重述問(wèn)題: 有一種傳染?。ㄈ鏢ARS、甲型H1N1）正在流行?，F(xiàn)在希望建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用已經(jīng)掌握的一些數(shù)據(jù)資料對(duì)該傳染病進(jìn)行有效地研究，以期對(duì)其傳播蔓延進(jìn)行必要的控制，減少人民生命財(cái)產(chǎn)的損失?？紤]如下的幾個(gè)問(wèn)題，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并進(jìn)行一定的比較分析和評(píng)價(jià)展望。1、不考慮環(huán)境的限制，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是常數(shù)，建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。2、假設(shè)環(huán)境條件下所允許的最大可感染人數(shù)為 。單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是感染人數(shù)的線性函數(shù)，最大感染時(shí)的增長(zhǎng)率為零。建立模型求t

3、時(shí)刻的感染人數(shù)。3、現(xiàn)有衛(wèi)生防疫部門(mén)采集到的某地區(qū)一定時(shí)間內(nèi)一定間隔區(qū)間的感染人數(shù)數(shù)據(jù)（見(jiàn)下表），利用該數(shù)據(jù)確定上述兩個(gè)模型中的相關(guān)參數(shù)，并將它們的預(yù)測(cè)值與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析（計(jì)算仿真偏差）并對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。（注：該問(wèn)題中，設(shè)最大可感染人數(shù)為2000人）4、假設(shè)總?cè)丝诳煞譃閭魅静』颊吆鸵赘腥菊?，易感染者因與患病者接觸而得病，而患病者會(huì)因治愈而減少且對(duì)該傳染病具有很強(qiáng)的免疫功能，建立模型分析t時(shí)刻患病者與易感染者的關(guān)系，并對(duì)傳染情況（如流行趨勢(shì)，是否最終消滅）進(jìn)行預(yù)測(cè)。 問(wèn)題分析1、這是一個(gè)涉及傳染病傳播情況的實(shí)際問(wèn)題，其中涉及傳染病感染人數(shù)隨時(shí)間的變化情況及一些初始資料，可通過(guò)建立

4、相應(yīng)的微分方程模型加以解決。2、問(wèn)題表述中已給出了各子問(wèn)題的一些相應(yīng)的假設(shè)。3、在實(shí)際中，感染人數(shù)是離散變量，不具有連續(xù)可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短時(shí)間內(nèi)改變的是少數(shù)人口，這種變化與整體人口相比是微小的。因此，為了利用數(shù)學(xué)工具建立微分方程模型，我們還需要一個(gè)基本假設(shè)：感染人數(shù)是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)。關(guān)鍵字: 社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素模型1 在這個(gè)最簡(jiǎn)單的模型中，設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)， 方程（1）的解為 結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無(wú)限增長(zhǎng)，這顯然是不符合實(shí)際的。 建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才

5、可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。 模型2 SI模型 假設(shè)條件為 1.在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類(lèi)（取兩個(gè)詞的第一個(gè)字母，稱之為SI模型），以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類(lèi)人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。 2.每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?方程（5）是Logistic模型。它的解為 這時(shí)病人增加的最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門(mén)診量最大的一天，預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái)，是醫(yī)療衛(wèi)生部

6、門(mén)關(guān)注的時(shí)刻其原因是模型中沒(méi)有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會(huì)再變成健康者。 模型3 SIR模型 大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。這種情況比較復(fù)雜，下面將詳細(xì)分析建模過(guò)程。 模型假設(shè) 1.總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類(lèi)，稱SIR模型。三類(lèi)人在總數(shù)N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。 病人的日接觸率為l，日治愈率為m（與SI模型相同），傳染期接觸為 s=l/m。模型構(gòu)成由假設(shè)1顯然有 s(t)+i(t)+r

7、(t)=1 (12) 根據(jù)條件2方程（8）仍然成立。對(duì)于病愈免疫的移出者而言有方程（14）無(wú)法求出s(t) 和i(t)的解析解，我們先作數(shù)值計(jì)算。 模型 4 SIR模型SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀?，感病者可以被治愈，并?huì)產(chǎn)生免疫力，變?yōu)橐瞥?。人員流動(dòng)圖為：S-I-R。大多數(shù)傳染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類(lèi)假設(shè)：1 總?cè)藬?shù)為常數(shù)，且i（t）+s（t）+r（t）=n；2 單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（傳染強(qiáng)度）。3 單位時(shí)間內(nèi)病愈免疫的

8、人數(shù)與但是的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)l。稱為恢復(fù)系數(shù)。 可得方程： 模型分析：由以上方程組的：=p/s-1 p=l/k, 所以i=plns/-s+n.容易看出當(dāng)t無(wú)限大時(shí) i(t)=0;而當(dāng)p時(shí)，i(t)單調(diào)下將趨于零；上批示，i(t)先單調(diào)上升的最高峰，然后再單調(diào)下降趨于零。所以這里仍然出現(xiàn)了門(mén)檻現(xiàn)象：p是一個(gè)門(mén)檻。從p的意義可知，應(yīng)該降低傳染率，提高回復(fù)率，即提高衛(wèi)生醫(yī)療水平。令t可得： =2* (p)/p所以：p s0=p+，當(dāng)時(shí)，s2，這也就解釋了本文開(kāi)頭的問(wèn)題，即統(tǒng)一地區(qū)一種傳染病每次流行時(shí)，被傳染的人數(shù)大致不變。模型的應(yīng)用與推廣：根據(jù)傳染病的模型建立研究進(jìn)而推廣產(chǎn)生了傳染病動(dòng)力學(xué)模

9、型。傳染病動(dòng)力學(xué)1是對(duì)進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法,是根據(jù)種群生長(zhǎng)的特性,疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播,發(fā)展規(guī)律,以及與之有關(guān)的社會(huì)等因素,建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性,定量分析和數(shù)值模擬,來(lái)分析疾病的發(fā)展過(guò)程,揭示流行規(guī)律,預(yù)測(cè)變化趨勢(shì),分析疾病流行的原因和關(guān)鍵。對(duì)于2003年發(fā)生的SARS疫情,國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了大量的動(dòng)力學(xué)模型研究其傳播規(guī)律和趨勢(shì),研究各種隔離預(yù)防措施的強(qiáng)度對(duì)控制流行的作用,為決策部門(mén)提供參考.有關(guān)SARS傳播動(dòng)力學(xué)研究多數(shù)采用的是SIR或SEIR模型.評(píng)價(jià)措施效果或擬合實(shí)際流行數(shù)據(jù)時(shí),往往通過(guò)改變接觸率和感染效率兩個(gè)參數(shù)的值來(lái)實(shí)現(xiàn).石耀霖2建了SARS傳播的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,以越南的數(shù)據(jù)為參考,進(jìn)行了Monte Carlo實(shí)驗(yàn),初步結(jié)果表明,感染率及其隨時(shí)間的變化是影響SARS傳播的最重要因素.蔡全才3建立了可定量評(píng)價(jià)SARS干預(yù)措施效果的傳播動(dòng)力學(xué)模型,并對(duì)北京的數(shù)據(jù)進(jìn)行了較好的擬合.參考