1、22.2.4 一元二次方程的根與系數(shù) 的關系,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：,X=,(b2-4ac 0),1. 填表，觀察、猜想,問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； x2+px+q=0的兩根x1, x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。,根與系數(shù)關系,如果關于x的方程,的兩根是 , ,則:,如果方程二次項系數(shù)不為1呢?,問題：上面發(fā)現(xiàn)的結論在這里成立嗎？請完善規(guī)律； 用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； ax2+bx+c=0的兩根x1, x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī) 律：,一元二次方程的根與系數(shù)的關系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是X1 , X2 ,那么X1+x2

2、= , X1x2=,-,（韋達定理）,注：能用根與系數(shù)的關系的前提條件為b2-4ac0,韋達（15401603）,韋達是法國十六世紀最有影響的數(shù)學家之一。第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進。 他生于法國的普瓦圖。年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關系的結論稱為“韋達定理”）。 韋達在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之父”。,一

3、元二次方程根與系數(shù)關系的證明：,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,1、 x2 - 2x - 1=0,2、 2x2 - 3x + =0,3、 2x2 - 6x =0,4、 3x2 = 4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2= -,示例,典型題講解：,例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1 , x2 。 求：,(1) (2) x12+x22,解：,由題意可知x1+x2= - , x1 x2=-3,(1),=,=,=,(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2,x12+x22 (x1x2)2

4、 -2x1x2,(- )2,-2(-3)6,變式 練習： 設x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值。,（2）,（1）,（）（x1- x2）2,典型題講解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。,解：,設方程的另一個根為x1.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解這方程，得 k= - 2,由根與系數(shù)關系，得x123k,即 2 x1 6, x1 3,答：方程的另一個根是3 , k的值是2。,典型題講解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。,解

5、二：,設方程的另一個根為x1.,由根與系數(shù)的關系，得,x1 2= k+1,x1 2= 3k,解這方程組，得,x1 =3,k =2,答：方程的另一個根是3 , k的值是2。,試一試,1、已知方程3x219x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。,2、設x1,x2是方程2x24x3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：設方程的另一個根為x1,則x1+1= , x1= ,又x11= , m= 3x1 = 16,解：,由根與系數(shù)的關系，得,x1+x2= - 2 , x1 x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=,拓廣探索,1

6、、當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。,解：設方程兩根分別為x1,x2(x1x2)，則x1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根與系數(shù)的關系得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3,當k=9或-3時，由于0，k的值為9或-3。,2、設x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值。,拓廣探索,解：由方程有兩個實數(shù)根，得,即-8k+40,由根與系數(shù)的關系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,經(jīng)檢驗， k2=4不合題意，舍去。, k=0,歸納小結：,通過本節(jié)課的