1、第三章 理性消費(fèi)者本章以單個(gè)消費(fèi)者為著眼點(diǎn)，研究理性消費(fèi)者的行為特點(diǎn)與活動(dòng)規(guī)律。我們的基本假設(shè)是：消費(fèi)者以追求效用最大化為目的，是市場(chǎng)價(jià)格的接受者，完全依據(jù)價(jià)格行事。本章及后面幾章都假定市場(chǎng)上總共有種可供選擇的商品。第一節(jié) 可行的消費(fèi)消費(fèi)活動(dòng)表現(xiàn)為消費(fèi)者選擇若干數(shù)量的一系列商品進(jìn)行消費(fèi)，或者說(shuō)選擇完整的消費(fèi)計(jì)劃。假定市場(chǎng)上總共有種可供選擇的商品，于是一個(gè)完整的消費(fèi)計(jì)劃(或者消費(fèi)方案)就表現(xiàn)為一個(gè)維向量。這樣，消費(fèi)活動(dòng)就表現(xiàn)為消費(fèi)者選擇商品空間中的向量。習(xí)慣上，人們總是用正消費(fèi)來(lái)表示消費(fèi)者對(duì)一種商品的真正消費(fèi)，用負(fù)消費(fèi)來(lái)表示消費(fèi)者向市場(chǎng)提供商品(比如提供勞動(dòng))。按照這個(gè)解釋，消費(fèi)計(jì)劃的意義就明顯

2、了。表明消費(fèi)者計(jì)劃真正消費(fèi)個(gè)單位的商品；表示消費(fèi)者向市場(chǎng)提供個(gè)單位的商品；則說(shuō)明他既不消費(fèi)也不向市場(chǎng)提供第種商品。一、消費(fèi)集合一般來(lái)說(shuō)，并非商品空間中的任何商品向量都允許作為消費(fèi)者的消費(fèi)計(jì)劃。消費(fèi)活動(dòng)必然受到消費(fèi)者所生存的社會(huì)環(huán)境和自然環(huán)境的影響，受到法律、制度、政策、物質(zhì)財(cái)富、生理狀態(tài)等條件的制約。例如，毒品雖然是商品，但法律規(guī)定不允許買賣和消費(fèi)。又如，人總是要吃飯的，人對(duì)食物的消費(fèi)應(yīng)當(dāng)是正消費(fèi)。這樣或那樣的限制，導(dǎo)致商品空間中的一部分向量所代表的消費(fèi)計(jì)劃，成為不允許或不可能選擇的消費(fèi)計(jì)劃，應(yīng)當(dāng)把它們加以排除，剩下來(lái)的那些允許作為消費(fèi)計(jì)劃的向量構(gòu)成了商品空間的一個(gè)子集合，我們把這個(gè)集合叫做消

3、費(fèi)者的消費(fèi)集合，并用表示之。消費(fèi)集合中的向量稱為可行消費(fèi)向量或可行消費(fèi)計(jì)劃。應(yīng)當(dāng)注意，消費(fèi)集合同具體的消費(fèi)者有關(guān)，不同消費(fèi)者的消費(fèi)集合可能會(huì)不同。我們現(xiàn)在考慮的是一個(gè)任意指定的消費(fèi)者，消費(fèi)集合便是固定的。二、關(guān)于消費(fèi)集合的假定消費(fèi)集合描述了消費(fèi)者選擇活動(dòng)的允許范圍，即他的自由選擇范圍。上面對(duì)這個(gè)范圍的描述顯然是很一般的，沒(méi)有說(shuō)出它應(yīng)具有什么樣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。從理論上講，沒(méi)有特點(diǎn)的描述或表示，對(duì)于理論的建立和發(fā)展就不會(huì)有很大的作用。因此，在提出消費(fèi)集合的概念之后，首要的任務(wù)是去尋找消費(fèi)集合的一般特征。經(jīng)濟(jì)學(xué)中，尋找消費(fèi)集合的特征，表現(xiàn)為對(duì)消費(fèi)集合提出一些合理的前提假設(shè)，即對(duì)消費(fèi)選擇進(jìn)行一些可行性分析

4、。(一)閉性假設(shè)假設(shè)HC1(閉性). 消費(fèi)集合是商品空間的非空閉子集。這是一個(gè)為人們普遍接受和承認(rèn)的假設(shè)，即認(rèn)為可行消費(fèi)具有連續(xù)性，其經(jīng)濟(jì)含義是，凡是能由一系列可行消費(fèi)計(jì)劃來(lái)接近的消費(fèi)計(jì)劃，仍然是可行的消費(fèi)計(jì)劃。用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)商品向量是消費(fèi)集合中的一列向量的極限，那么這個(gè)商品向量就屬于消費(fèi)集合，即它代表著可行消費(fèi)計(jì)劃。我們把這條假設(shè)稱為閉性假設(shè)，它等價(jià)于說(shuō), 消費(fèi)集合邊界上的消費(fèi)計(jì)劃都是可行的，即消費(fèi)集合包含著它的邊界。(二)下有界性假設(shè)假設(shè)HC2(下有界性)存在向量使得對(duì)一切, 都成立 。 從消費(fèi)者本身考察可發(fā)現(xiàn)，用于真正消費(fèi)的商品，其消費(fèi)量不會(huì)無(wú)限制地縮小下去。例如食品是消

5、費(fèi)者生存之必需品，對(duì)它的消費(fèi)量有一個(gè)最小需要量的限制。另一方面，由消費(fèi)者提供的商品，其供給量不可能無(wú)限制地增大。比方說(shuō)由消費(fèi)者提供的勞動(dòng)，由于消費(fèi)者生理上的限制，他對(duì)勞動(dòng)的供給量必有一個(gè)最大限度。這樣一來(lái)，正消費(fèi)商品的消費(fèi)量有一個(gè)下限，負(fù)消費(fèi)商品的消費(fèi)量的絕對(duì)值有一個(gè)上限，因而負(fù)消費(fèi)量也有一個(gè)下限。結(jié)果消費(fèi)集合是下有界的。這就是下有界性假設(shè)的意義, 它是一條基本需要假設(shè)。(三)連通性假設(shè)假設(shè)HC3(連通性). 消費(fèi)集合是商品空間的連通子集。市場(chǎng)的完全性假定了消費(fèi)者掌握的信息是完全的，他可以根據(jù)市場(chǎng)行情不斷地改變自己的行動(dòng)計(jì)劃，在允許的范圍內(nèi)不斷調(diào)整消費(fèi)方案，從一種方案過(guò)度到另一方案。這便要求消

6、費(fèi)集合具有完整性，不能是拼湊起來(lái)的相互隔離的塊，即消費(fèi)集合不應(yīng)能被分離成這樣的兩個(gè)范圍與：1) 與非空且不相交，與的并集是；2) 消費(fèi)者不論從中哪一種消費(fèi)計(jì)劃出發(fā)，也不論在中采取哪種方式去不斷改變消費(fèi)計(jì)劃，都無(wú)法接近中的任何一種計(jì)劃；3) 同樣也不論從中哪一種計(jì)劃出發(fā)，不論在中采取什么樣的方式來(lái)不斷改變消費(fèi)計(jì)劃，都無(wú)法接近中的任何一種計(jì)劃。消費(fèi)集合的這種性質(zhì)，稱為消費(fèi)集合的連通性。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講，連通性表明不能表示成為兩個(gè)相隔離的非空子集之并。所謂的子集與相隔離，是指連同自己的邊界不與相交，同時(shí)連同自己的邊界不與相交；等價(jià)地說(shuō)，中任何序列的極限都不在中，且中任何序列的極限也都不在中。連通的等價(jià)

7、條件是，不能表示成為兩個(gè)不相交的非空(相對(duì))閉(開(kāi))子集之并。(四)凸性假設(shè)假設(shè)HC4(凸性). 消費(fèi)集合是商品空間的凸子集。實(shí)際消費(fèi)活動(dòng)中，當(dāng)消費(fèi)者面臨兩種選擇時(shí)往往進(jìn)行綜合，使其二者兼顧。例如，消費(fèi)者面臨著選擇四兩米飯或者選擇四兩饅頭時(shí)，常常會(huì)作出這樣的綜合處理：同時(shí)選擇二兩米飯和二兩饅頭來(lái)消費(fèi)，即消費(fèi)多樣化。通常，消費(fèi)多樣化的處理方法是對(duì)兩種消費(fèi)計(jì)劃進(jìn)行加權(quán)平均。于是，消費(fèi)集合表現(xiàn)出凸性。所謂的凸性，是指對(duì)中任何兩個(gè)向量和以及任何的實(shí)數(shù)：，皆成立. 這正說(shuō)明任何兩種可行消費(fèi)的加權(quán)平均消費(fèi)方案仍然是可行的。消費(fèi)集合的凸性是比連通性更好的性質(zhì)，凸性直接明確地指出了從一種可行消費(fèi)方案過(guò)渡到另一

8、種可行消費(fèi)方案的最短連續(xù)途徑，凸性蘊(yùn)含著連通性。有時(shí)消費(fèi)集合不具有凸性，甚至連連通性都不具備。一種情形是考慮位于不同地區(qū)的商品，此時(shí)消費(fèi)集合不具有凸性。例如，考慮位于北京和深圳兩地的商品，消費(fèi)者不可能同時(shí)既位于北京，又位于深圳。當(dāng)他位于北京時(shí)，只面臨著北京市面上的商品；位于深圳時(shí)，只面臨著深圳市面上的商品。想在同一時(shí)刻既購(gòu)買位于北京的商品，又購(gòu)買位于上海的商品，則是不可能做到的。因此，他的消費(fèi)集合不是凸集。圖3-1描繪了這種消費(fèi)集合的形狀：它是由兩條座標(biāo)軸的正半部分構(gòu)成的。在完全的市場(chǎng)中，任何兩種商品之間都可以進(jìn)行直接交換，結(jié)果這種不同地區(qū)的考慮被排除外。另一種情況是商品用整數(shù)來(lái)計(jì)量，此時(shí)消費(fèi)

9、集合也是非凸的(見(jiàn)圖3-2)。但從理論上講，對(duì)非凸集合進(jìn)行凸化處理，即用它的凸包(即包含它的最小凸集)來(lái)代替它，這是可行的。尤其是當(dāng)對(duì)商品的消費(fèi)量較大時(shí)，至于用整數(shù)還是用一般實(shí)數(shù)來(lái)計(jì)量多少，便無(wú)關(guān)緊要。凸化處理后得到的結(jié)論，同未進(jìn)行凸化處理情況下的結(jié)論的偏差并不很大，而且凸化處理給建立理論帶來(lái)了很大的方便。鑒于這個(gè)原因，可以直接假定消費(fèi)集合是凸集。 上海 面粉 消費(fèi)集合 消費(fèi)集合 北京 電視機(jī) 圖3-1 位于不同地區(qū)的商品 圖3-2 用整數(shù)計(jì)量的商品通常認(rèn)為，閉性、下有界性和連通性是消費(fèi)集合特有的性質(zhì)，尤其是連通性表明，任何兩種可行消費(fèi)方案方案之間都有連續(xù)的過(guò)渡渠道。實(shí)際消費(fèi)活動(dòng)中，消費(fèi)集合還

10、往往表現(xiàn)出比連通性更好的性質(zhì)凸性。凸性替代了連通性，并與閉性和下有界性一道共同構(gòu)成如下假設(shè)，被常常采用之。假設(shè)HC. 消費(fèi)集合是商品空間的非空下有界閉凸子集。第二節(jié) 消費(fèi)者偏好消費(fèi)集合劃定了消費(fèi)者的允許選擇范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)消費(fèi)者選擇自己滿意的消費(fèi)方案。消費(fèi)者對(duì)這種方案滿意，而對(duì)那種方案不滿意，意味著消費(fèi)能夠?qū)Ω鞣N可行消費(fèi)方案的好壞作出比較和評(píng)價(jià)，這種評(píng)價(jià)反映了消費(fèi)者的偏好(即嗜好或愛(ài)好)。本節(jié)研究這種偏好。一效用與偏好偏好與效用是聯(lián)系在一起的。如果一種商品對(duì)于消費(fèi)者沒(méi)有效用，消費(fèi)者就不會(huì)產(chǎn)生對(duì)這種商品的偏好。所謂效用，是指消費(fèi)者消費(fèi)一定數(shù)量的若干種商品后所感受到的滿足程度。商品之所以能讓消費(fèi)

11、者感到一定程度的滿足，是因?yàn)樯唐肪哂幸欢ǖ臐M足人們需要的能力。商品的效用，實(shí)際上就是消費(fèi)者主觀感受到的商品的使用價(jià)值，因人而異。 不同消費(fèi)者在消費(fèi)了同等數(shù)量的同一商品后，所取得的效用是不同的，各個(gè)有各人的感受。例如，對(duì)于喜歡吃米飯的人來(lái)說(shuō)，吃完四兩米飯后會(huì)感到很滿足，而對(duì)于不喜歡吃米飯的人來(lái)說(shuō)，吃完后會(huì)感到不滿足。效用還因時(shí)因地而定，不同時(shí)刻不同環(huán)境下同一消費(fèi)者消費(fèi)同等數(shù)量的同一商品，其所感受到的滿足程度也是不一樣的。例如，“酒逢知己千杯少”就是說(shuō)在愉快的環(huán)境中借酒可助興和使人感到滿足；反之則不然。又如，“雪中送碳”說(shuō)的也是同樣的道理。效用作為自我感受，可以進(jìn)行自我比較，即同一人對(duì)自己消費(fèi)不同

12、(數(shù)量或種類的)商品后所感到的滿足程度可以進(jìn)行比較，對(duì)自己在不同時(shí)刻或環(huán)境下消費(fèi)商品后所取得的效用可以進(jìn)行比較。但是，不同消費(fèi)者消費(fèi)商品后所取得的效用不能進(jìn)行比較。各個(gè)人的喜好及對(duì)滿足程度的主觀評(píng)價(jià)原則都會(huì)不同，因此效用不能在消費(fèi)者之間進(jìn)行比較，即不能進(jìn)行相互比較。效用可自我比較，意味著消費(fèi)者對(duì)各種可行消費(fèi)方案總可以排出個(gè)好壞次序，即不論他能否說(shuō)出滿足程度到底有多少，但總可以說(shuō)出“這種消費(fèi)比那種消費(fèi)更好一些或較差一些或沒(méi)有什么差異”，這便是序數(shù)效用論的觀點(diǎn)。消費(fèi)者對(duì)消費(fèi)方案作出的這種評(píng)價(jià)和比較，就是消費(fèi)者的偏好。當(dāng)然，這種評(píng)價(jià)不具有基數(shù)效用那樣的絕對(duì)意義。二偏好關(guān)系為了描述消費(fèi)者的偏好，設(shè)消費(fèi)

13、集合為，并設(shè)和是種的任意兩種消費(fèi)方案。如果消費(fèi)者認(rèn)為比好，就記為, 稱作“優(yōu)于”；如果他認(rèn)為比差，就記為，稱作“次于”；如果他認(rèn)為與一樣好，就記為，稱作“與無(wú)差異”。當(dāng)然，當(dāng)優(yōu)于時(shí)，次于。因此，與具有同樣的意義。注意，理性消費(fèi)者不能夠?qū)Ψ桨负屯瑫r(shí)作出這三種評(píng)價(jià)的兩種或兩種以上，也就是說(shuō)，關(guān)系、和不能同時(shí)有兩個(gè)或兩個(gè)以上成立。如果某人認(rèn)為優(yōu)于的同時(shí)，又認(rèn)為次于，那么他就是一個(gè)失去理性的人。當(dāng)然，有些時(shí)候人們有可能對(duì)某兩種方案的“誰(shuí)好誰(shuí)壞”無(wú)法作出判斷。但作為一個(gè)理性人，應(yīng)該不會(huì)發(fā)生這種情況。另一方面，為了討論上的方便，我們也要假定經(jīng)濟(jì)人能夠?qū)θ魏蝺煞N方案作出“誰(shuí)好誰(shuí)壞”的評(píng)價(jià)。這樣，理性消費(fèi)者必

14、然能夠作出而且最多只能作出三種評(píng)價(jià)之一：要么，要么，要么。消費(fèi)方案之間的比較“”，好象實(shí)數(shù)之間的大小比較“”一樣，確定了消費(fèi)集合上的一種“序”關(guān)系。我們知道，在比較實(shí)數(shù)大小時(shí)可以使用不嚴(yán)格的序關(guān)系(或)。同樣，在消費(fèi)方案的比較中也可使用不嚴(yán)格的“序”關(guān)系 (或), 定義如下：()是指或，稱作“不優(yōu)于”；是指或，稱作“不次于”。遵照數(shù)學(xué)表示上的習(xí)慣，當(dāng)不成立時(shí)，就用表示之?？梢钥闯觯河纱艘龅南M(fèi)集合上的二元關(guān)系 (或 )，稱為消費(fèi)者的偏好關(guān)系。它服從下面三條公理：自反性(reflexivity)： 完全性(completeness)： 傳遞性(transitivity)： 或者說(shuō)，偏好關(guān)系 (

15、或 )是消費(fèi)集合上的自反、傳遞、完全的二元關(guān)系。關(guān)系 (或)反映的是消費(fèi)者偏好，關(guān)系(或)反映了消費(fèi)者的嚴(yán)格偏好，關(guān)系反映了消費(fèi)者的無(wú)差異偏好?？梢宰C明，無(wú)差異偏好“”是上的等價(jià)關(guān)系。集合稱作的等價(jià)類或者無(wú)差異類或者無(wú)差異曲線，它由兩兩無(wú)差異的消費(fèi)方案構(gòu)成。不同的無(wú)差異類互不相交。我們對(duì)上述三個(gè)公理作一點(diǎn)解釋。偏好關(guān)系服從自反性公理，這是因?yàn)槿魏蜗M(fèi)方案都同自身是無(wú)差異的。如果某個(gè)消費(fèi)者認(rèn)為一種消費(fèi)方案同它自己比較時(shí)都存在有差異，那么很難認(rèn)為該消費(fèi)者具有理性。至于完全性公理，它是說(shuō)消費(fèi)者在任何兩種可行消費(fèi)方案之間都可作出“誰(shuí)好誰(shuí)壞”的評(píng)價(jià)，這一點(diǎn)在前面已經(jīng)講過(guò)了。最后來(lái)看傳遞性公理。傳遞性意味

16、著對(duì)于任何：若且，則；若且，則。事實(shí)上，當(dāng)且時(shí)，傳遞性已告訴我們，。假如說(shuō)成立，那么就有，從而，即或者，或者。結(jié)合可知，、中有兩個(gè)同時(shí)成立，這是不可能的?？梢?jiàn)，不能成立，故只有。同理可證，當(dāng)且時(shí)，。如果說(shuō)消費(fèi)者偏好不服從傳遞性公理，會(huì)出現(xiàn)什么情況？舉例來(lái)說(shuō)，比方張三認(rèn)為蘋果比梨好，梨比桃好，而桃又比蘋果好。張三手中拿有一個(gè)蘋果，李四手中拿有一個(gè)梨和一個(gè)桃。那么此時(shí)李四提出用桃換張三的蘋果，并要求張三找給李四微不足道的一分錢，李四就不會(huì)不答應(yīng)。交換完畢后，李四又提出用梨換張三手中的桃，并要求張三找李四一分錢，張三又會(huì)答應(yīng)下來(lái)。交換完后，李四再次提出用蘋果換張三的梨，同樣要求張三找李四一分錢，張三

17、還是會(huì)同意的。這樣的交換一直可無(wú)限進(jìn)行下去，而且每次交換后張三都會(huì)感到更滿足。由此可想而知，即使張三是個(gè)百萬(wàn)富翁，在這種無(wú)限的交換過(guò)程中，盡管每次交換都讓張三很感滿意，最后張三必然要成為窮光蛋，而李四僅用一個(gè)梨和一個(gè)桃就變成了百萬(wàn)富翁。顯然這樣的事情不可能發(fā)生在理性消費(fèi)者身上，即理性消費(fèi)者的偏好一定會(huì)服從傳遞性公理。三關(guān)于偏好的假設(shè)理性消費(fèi)者對(duì)于商品消費(fèi)的偏好還具有一些特點(diǎn)，偏好關(guān)系具有一些一般性質(zhì)。這些一般性質(zhì)通常以下面的假設(shè)形式提出：假設(shè)HP. 消費(fèi)者的偏好關(guān)系是無(wú)滿足的、連續(xù)的、嚴(yán)格凸的。這個(gè)假設(shè)實(shí)際上由三個(gè)分假設(shè)構(gòu)成：無(wú)滿足性假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)、凸性假設(shè)。有時(shí)候，還會(huì)對(duì)偏好提出單調(diào)性假設(shè)

18、。下面，我們分別介紹和討論這四種假設(shè)。(一)偏好的無(wú)滿足性人們常說(shuō)，欲望是無(wú)止境的，一個(gè)欲望滿足了，接著就有另一個(gè)更大的欲望出現(xiàn)，沒(méi)有理由去限制更大欲望的不斷產(chǎn)生。對(duì)于消費(fèi)者而言，他的欲望是通過(guò)他的偏好來(lái)反映的。欲望的無(wú)止境就表現(xiàn)為，當(dāng)他每選擇到一種消費(fèi)方案之時(shí)，總發(fā)現(xiàn)還有比這種方案更好的可行消費(fèi)方案。消費(fèi)者選擇過(guò)程中所表現(xiàn)出的這種現(xiàn)象，叫做偏好的無(wú)滿足性，這里以“假設(shè)”的形式提出這條性質(zhì)。假設(shè)HP1(偏好的無(wú)滿足性). 對(duì)于消費(fèi)集合中的任一方案, 總存在中的另一方案, 使得, 即消費(fèi)者認(rèn)為比好。針對(duì)無(wú)滿足性，可以再提出兩個(gè)概念。設(shè)是消費(fèi)集合的子集。方案叫做是消費(fèi)者在中的滿足消費(fèi)，是指對(duì)一切都

19、有。如果中沒(méi)有滿足消費(fèi)方案，就稱消費(fèi)者在中無(wú)滿足；否則，稱消費(fèi)者在中有滿足。顯然，偏好的無(wú)滿足性是說(shuō)消費(fèi)者在中無(wú)滿足。今后為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們把消費(fèi)者在中的滿足消費(fèi)稱為消費(fèi)者的滿足消費(fèi)。消費(fèi)者在方案處局部無(wú)滿足，是指對(duì)的任何鄰域, 都存在, 使得。如果消費(fèi)者在任何可行方案處都是局部無(wú)滿足的，則稱他(的偏好)是局部無(wú)滿足的。顯然，局部無(wú)滿足性隱含著無(wú)滿足性，但反之不然。(二)偏好的連續(xù)性偏好的連續(xù)性，是指消費(fèi)者在對(duì)消費(fèi)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)表現(xiàn)出的這樣一種規(guī)律：選定一種方案作為衡量其它方案優(yōu)次的標(biāo)準(zhǔn)以后，任何一列不比優(yōu)的可行消費(fèi)方案的極限依然不比優(yōu)，任何一列不比次的可行消費(fèi)方案的極限依然不比次。也就是說(shuō)，

20、消費(fèi)者的主觀評(píng)價(jià)具有連續(xù)性。例如，如果一個(gè)人被人們認(rèn)為表現(xiàn)好，那么在大家心目中他就總是表現(xiàn)好，即使他做出了壞事；如果人們認(rèn)為他表現(xiàn)差，那么他總會(huì)被戴上表現(xiàn)差的帽子，即使他做了好事。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)，即假設(shè)HP2(偏好的連續(xù)性). 對(duì)任何, 集合與都是的閉子集。等價(jià)地說(shuō)，集合與都是的相對(duì)開(kāi)子集（這里，的相對(duì)開(kāi)子集是指的開(kāi)子集同的交集）。在生活水平低下，溫飽問(wèn)題都沒(méi)有得到基本解決的情況下，消費(fèi)者的偏好不具有連續(xù)性。他首先要設(shè)法解決吃飯問(wèn)題，其次才去考慮穿著問(wèn)題。吃穿問(wèn)題都得到妥善解決之后，才再來(lái)考慮改善住宅條件的問(wèn)題。因此，在對(duì)食物、衣服和住宅三種商品的消費(fèi)方面，他的偏好可用字典序來(lái)表示?？梢宰C明

21、，這種偏好是不連續(xù)的(具體證明留作讀者練習(xí))。當(dāng)生活水平較高時(shí)，消費(fèi)者不再需要去考慮必須首先解決哪一種商品的消費(fèi)問(wèn)題，而要考慮全面消費(fèi)與綜合效用問(wèn)題，能夠?qū)οM(fèi)計(jì)劃作出綜合評(píng)價(jià)時(shí)，他的偏好就表現(xiàn)出連續(xù)性。 因此，偏好的連續(xù)性是消費(fèi)者生活水平較高的體現(xiàn)。(三)偏好的凸性消費(fèi)集合的凸性，允許消費(fèi)者采取加權(quán)平均法對(duì)任何兩種可行消費(fèi)計(jì)劃進(jìn)行綜合。那么綜合消費(fèi)的效果如何? 一般來(lái)講，綜合消費(fèi)方案會(huì)比原來(lái)較差的方案要好。舉例來(lái)說(shuō)，假如某人認(rèn)為消費(fèi)2斤豬肉比消費(fèi)2斤雞蛋要好(或不差)，那么同時(shí)消費(fèi)1斤豬肉和1斤雞蛋就比只消費(fèi)2斤雞蛋要好。這種現(xiàn)象叫做偏好的凸性。具體來(lái)說(shuō)，凸性有如下幾種表達(dá)方式：定義(偏好的

22、凸性). 設(shè)消費(fèi)集合是凸集。偏好關(guān)系 稱作是：（1）弱凸的，是指對(duì)任何及,若, 則；（2）凸的，是指對(duì)任何及,若, 則；（3）嚴(yán)格凸的，是指對(duì)任何及, 若且, 則；（4）內(nèi)部嚴(yán)格凸的，是指是凸的，并且對(duì)任何int及,若且, 則。下面對(duì)這幾種凸性作一些分析。1. 弱凸偏好的特征設(shè)消費(fèi)集合是凸集， 是上的偏好關(guān)系。則(1) 是弱凸偏好當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何，集合是凸集；(2) 是弱凸偏好當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何，集合是凸集。我們來(lái)證明這兩個(gè)事實(shí)。(1)的證明. 設(shè)是弱凸的，我們來(lái)證明：對(duì)任何, 是凸集。為此，任意給定和，并記。從的完全性可知，總有或成立，但不論哪一個(gè)成立，的弱凸性和傳遞性都保證了, 即，這就證明了是

23、凸集。反之，設(shè)對(duì)任何，都是凸集，我們來(lái)證明： 是弱凸的。為此，設(shè)，并記。注意，且是凸集。于是，, 即，這就證明了的弱凸性。(2)的證明. 設(shè)是弱凸的，我們來(lái)證明：對(duì)任何, 是凸集。為此，任意給定和，并記。從的完全性可知，總有或成立。于是，的弱凸性保證了或者, 從而，即，這就證明了是凸集。反之，設(shè)對(duì)任何，都是凸集，我們來(lái)證明 是弱凸的，即欲證明：對(duì)任何，記，都有。用反證法來(lái)證明，假定不成立，即假定。于是，這說(shuō)明。既然是凸集，因此應(yīng)該有，即，這是不可能發(fā)生的結(jié)果?？梢?jiàn)，不成立是不可能的，故只有成立。這就證明了的弱凸性。2. 連續(xù)凸偏好的特點(diǎn)凸偏好未必是弱凸的，弱凸偏好也未必是凸的。但是對(duì)于連續(xù)偏好

24、來(lái)說(shuō)，凸性蘊(yùn)含著弱凸性，即連續(xù)凸偏好必然是弱凸的，這正是“弱凸性”中 “弱”字的意義所在。當(dāng)消費(fèi)者具有連續(xù)、凸的偏好時(shí)，兩種不同無(wú)差異消費(fèi)方案的加權(quán)平均也具有特殊的效果：要么所有的加權(quán)平均方案都與原來(lái)的方案無(wú)差異，要么所有的加權(quán)平均方案都比原來(lái)的方案更優(yōu)。不會(huì)出現(xiàn)“一些加權(quán)平均方案與原方案無(wú)差異，另一些加權(quán)平均方案則比原方案好”的情況。用簡(jiǎn)明語(yǔ)言表達(dá)，即，對(duì)于任何，要么，要么。連續(xù)凸偏好為什么會(huì)具有如上所述的特點(diǎn)呢？我們作一點(diǎn)分析。首先看連續(xù)凸偏好必然是弱凸的這一事實(shí)是否成立。任意給定，, 。記，欲證。采用反證法，假定。則。記，即是連接和的開(kāi)線段(不包含端點(diǎn))。的凸性說(shuō)明，對(duì)一切成立。 圖3-

25、3 連接兩點(diǎn)的線段我們指出，對(duì)一切成立。事實(shí)上，任意給定，則，且，即位于連接和的開(kāi)線段上（如圖3-3所示）。如果說(shuō)，即或，那么在的情況下的凸性說(shuō)明，這與相矛盾；在的情況下的凸性說(shuō)明，這又與相矛盾?？梢?jiàn)，不能成立，故只有，即與無(wú)差異。既然中的所有方案都與無(wú)差異， 的連續(xù)性便蘊(yùn)含著和都與無(wú)差異，從而，這與相矛盾?？梢?jiàn)不能成立，因而只有。的弱凸性得到證明。其次，再來(lái)看無(wú)差異方案加權(quán)平均的效果。設(shè)，且。仍用表示連接和的開(kāi)線段。既然連續(xù)凸偏好是弱凸的，中的任何方案就都不比和差。如果中確實(shí)有某個(gè)方案優(yōu)于，那么的凸性便保證了中的任何方案都要優(yōu)于和(因?yàn)榕c無(wú)差異)。這就說(shuō)明，要么中的任何方案都與無(wú)差異，要么中

26、的任何方案都要比好。3. 嚴(yán)格凸偏好的特點(diǎn)顯然，嚴(yán)格凸偏好必是凸偏好，也必是弱凸偏好。一個(gè)更有意義的特點(diǎn)是，嚴(yán)格凸偏好下的任何無(wú)差異類都不包含有非單點(diǎn)的非空凸子集，因而無(wú)差異類很薄，而且不會(huì)包含任何直線段。下面，我們對(duì)這個(gè)特點(diǎn)作一論證。用反證法。假如某個(gè)無(wú)差異類包含有非單點(diǎn)的非空凸子集，那么在該凸子集中就可取出兩個(gè)不同的點(diǎn)和，并令。從偏好的嚴(yán)格凸性可知，從而；但注意，即，這與相矛盾?？梢?jiàn)，中不可能包含有非單點(diǎn)的非空凸子集。證明完畢。偏好的內(nèi)部嚴(yán)格凸性介于凸性和嚴(yán)格凸性之間。需求函數(shù)的存在性離不開(kāi)嚴(yán)格凸性或至少離不開(kāi)內(nèi)部嚴(yán)格凸性。因此，我們把嚴(yán)格凸性作為對(duì)消費(fèi)者的一種假設(shè)而接受下來(lái)。假設(shè)HP3(

27、凸性假設(shè)). 消費(fèi)者的偏好關(guān)系是嚴(yán)格凸的。(四)偏好的單調(diào)性欲望無(wú)止境也反映在商品的消費(fèi)數(shù)量上，即消費(fèi)者認(rèn)為商品數(shù)量越多越好，這就是消費(fèi)者偏好的單調(diào)性。單調(diào)性也有多種表述方式，并且在理論研究中往往會(huì)為用到，但本書不把它作為討論的必要前提。定義(偏好的單調(diào)性). 消費(fèi)集合上的偏好關(guān)系 叫做是：(1) 弱單調(diào)的，是指對(duì)任何,若, 則；(2) 單調(diào)的，是指對(duì)任何,若, 則；(3) 嚴(yán)格單調(diào)的，是指對(duì)任何,若, 則；(4) 強(qiáng)單調(diào)的，是指對(duì)任何,若, 則。四種單調(diào)性之間的關(guān)系如下：(1)強(qiáng)單調(diào)性最強(qiáng)，弱單調(diào)性最弱；(2)如果連續(xù)且滿足條件，則嚴(yán)格單調(diào)性隱含著單調(diào)性；(3)如果嚴(yán)格凸，則單調(diào)性等價(jià)于強(qiáng)單

28、調(diào)性，嚴(yán)格單調(diào)性等價(jià)于弱單調(diào)性；(4)如果連續(xù)、嚴(yán)格凸，且滿足條件，則這四種單調(diào)性相互等價(jià)。四理性消費(fèi)者一般認(rèn)為，假設(shè)HC和假設(shè)HP所描述的特點(diǎn)，是理性消費(fèi)者所具備的特點(diǎn)。因此，我們對(duì)理性消費(fèi)者作出這樣的構(gòu)畫：理性消費(fèi)者的消費(fèi)集合是商品空間的非空下有界閉凸子集，他的偏好 是無(wú)滿足的、連續(xù)的凸偏好。在這個(gè)構(gòu)畫下，我們進(jìn)一步分析一下理性消費(fèi)者的特點(diǎn)。特點(diǎn)1. 具有連續(xù)偏好的消費(fèi)者在消費(fèi)集合的任何非空有界閉子集中都有滿足，從而理性消費(fèi)者在他的消費(fèi)集合的任何非空有界閉子集中都有滿足。本特點(diǎn)的直觀含義如圖3-4所示。設(shè)是的任意一個(gè)非空有界閉子集。對(duì)于，令，則是的具有有限交性質(zhì)的閉子集族，從而具有非空的交

29、集（因?yàn)槭蔷o集）。從該交集中取出一點(diǎn)，則（即）對(duì)一切成立，這說(shuō)明消費(fèi)者在中最滿足的消費(fèi)方案。既然這種消費(fèi)方案存在，因此消費(fèi)者在中有滿足。特點(diǎn)2. 具有無(wú)滿足的凸偏好的消費(fèi)者必然局部無(wú)滿足，從而理性消費(fèi)者局部無(wú)滿足。為了證實(shí)這一特點(diǎn), 任意給定, 并設(shè)是的任一鄰域。偏好 的無(wú)滿足性保證了中有比更好的消費(fèi)方案存在。對(duì)于這個(gè)，連接和的開(kāi)線段必然要與相交(如圖3-5所示)，取其交點(diǎn)之一，并用表示之。注意， 是凸偏好，且是與的加權(quán)平均方案。因此，。既然是從中取出來(lái)的點(diǎn)，臨域中存在著比更好的消費(fèi)方案。這就說(shuō)明 是局部無(wú)滿足的偏好。 圖3-4 有界閉集中有滿足消費(fèi) 圖3-5 局部無(wú)滿足第三節(jié) 效用函數(shù)效用理

30、論是消費(fèi)理論的基礎(chǔ)，起源于基數(shù)效用學(xué)說(shuō)，后來(lái)發(fā)展成為序數(shù)效用論。序數(shù)效用論者認(rèn)為，作為主觀感受的效用是一個(gè)抽象概念，無(wú)法計(jì)量多少，只可進(jìn)行比較并用序數(shù)給出優(yōu)次排序。本節(jié)從序數(shù)效用概念出發(fā)，對(duì)消費(fèi)者在商品消費(fèi)中獲得的滿足程度進(jìn)行分析。一、效用函數(shù)的概念消費(fèi)者對(duì)各種可行消費(fèi)方案排出的優(yōu)劣次序，很類似于實(shí)數(shù)之間的大小順序。的確，序數(shù)效用論者就是這么看待商品效用的。他們認(rèn)為，按照實(shí)數(shù)之間的大小順序可以標(biāo)出各種消費(fèi)方案之間的優(yōu)劣次序。但是，這種觀點(diǎn)的正確性直到1954年才由德布羅給出了證明。效用函數(shù)就是序數(shù)效用論者所說(shuō)的那種表示消費(fèi)方案優(yōu)次排序的函數(shù)。具體來(lái)講，設(shè)是消費(fèi)集合的偏好關(guān)系，一個(gè)定義在上的實(shí)值

31、函數(shù)叫做是的效用函數(shù)，是指滿足如下條件：。當(dāng)是的效用函數(shù)時(shí)，也稱是的效用表示，或稱是誘導(dǎo)的偏好關(guān)系。顯然，效用函數(shù)的意義在于用實(shí)數(shù)順序給出了各種消費(fèi)方案的優(yōu)次排序?？梢钥闯?，如果是偏好關(guān)系的效用函數(shù)，那么任何嚴(yán)格遞增函數(shù)與的復(fù)合（對(duì)于）也是的效用函數(shù)。所以，只要的效用函數(shù)存在，的效用函數(shù)就有無(wú)限多個(gè)。我們把同一偏好關(guān)系的這無(wú)限多個(gè)效用函數(shù)同等看待，稱它們是相互等價(jià)的效用函數(shù)。顯然，效用函數(shù)與等價(jià)的充分必要條件是：?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，偏好關(guān)系的效用函數(shù)存在嗎？對(duì)此，德布羅于1954年作出了回答。效用函數(shù)存在定理(G. Debreu). 商品空間的任何連通子集上的連續(xù)偏好關(guān)系都有連續(xù)的效用函數(shù)。因此，

32、理性消費(fèi)者的偏好關(guān)系必然有連續(xù)的效用函數(shù)。此定理的證明比較復(fù)雜，德布羅1954年給出了證明，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)證明中有不正確的地方，于1964才給出了正確的證明。效用函數(shù)存在定理奠定了效用理論的基礎(chǔ)，是經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本定理之一。由于這個(gè)定理，我們才可在偏好關(guān)系與效用函數(shù)之間隨意地選擇使用。二、效用函數(shù)的性質(zhì)對(duì)應(yīng)于消費(fèi)者偏好的凸性和單調(diào)性，效用函數(shù)也具有相應(yīng)的一系列性質(zhì)。定義. 效用函數(shù)叫做是：(1) 弱擬凹的是指對(duì)任何及,若, 則；(2) 擬凹的，是指對(duì)任何及,若, 則；(3) 嚴(yán)格擬凹的,是指對(duì)于,，及,若, 則；(4) 內(nèi)部嚴(yán)格擬凹的，是指對(duì)于,，及,若, 則；(5) 弱單調(diào)的，是指對(duì)任何，若, 則；

33、(6) 單調(diào)的，是指對(duì)任何，若, 則；(7) 嚴(yán)格單調(diào)的，是指對(duì)任何，若, 則；(8) 強(qiáng)單調(diào)的，是指對(duì)任何，若, 則。效用函數(shù)的性質(zhì)與偏好關(guān)系的性質(zhì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系由下面定理所表達(dá)。定理. 設(shè)是偏好關(guān)系的效用函數(shù)。(1) 是弱凸的當(dāng)且僅當(dāng)是弱擬凹的；(2) 是凸的當(dāng)且僅當(dāng)是擬凹的；(3) 是嚴(yán)格凸的當(dāng)且僅當(dāng)是嚴(yán)格擬凹的；(4) 是內(nèi)部嚴(yán)格凸的當(dāng)且僅當(dāng)是內(nèi)部嚴(yán)格擬凹的；(5) 是單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)是單調(diào)的；(6) 是嚴(yán)格單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)是嚴(yán)格單調(diào)的；(7) 是弱單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)是弱單調(diào)的；(8) 是強(qiáng)單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)是強(qiáng)單調(diào)的；(9) 是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)?shù)葍r(jià)于一個(gè)連續(xù)效用函數(shù)；(10) 是無(wú)滿足的當(dāng)且僅當(dāng)在

34、上無(wú)最大值；(11) 是局部無(wú)滿足的當(dāng)且僅當(dāng)在中處處無(wú)極大值；(12) 是消費(fèi)者在中的滿足消費(fèi)當(dāng)且僅當(dāng)是在上的最大值點(diǎn)。三、可微效用函數(shù)邊際分析法要使用效用函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，以往的做法是直接假定這些偏導(dǎo)數(shù)存在。那么，效用函數(shù)確實(shí)具有這些偏導(dǎo)數(shù)嗎？這就是可微效用函數(shù)的存在性問(wèn)題。20世紀(jì)70年代，經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)效用函數(shù)傾注了較多的注意力，尤其是德布羅于1972年對(duì)效用函數(shù)的可微性問(wèn)題作出了肯定的答復(fù)。設(shè)為一正整數(shù)，表示由一切具有直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)及映射所構(gòu)成的類。中的函數(shù)或映射就叫做函數(shù)或映射。設(shè)和是歐氏空間的兩個(gè)開(kāi)子集。從到的一個(gè)映射稱為微分同胚，是指：(1)是11映射，(2)是滿射，

35、(3)是映射，(4)的逆映射也是映射。的子集叫做是一張超曲面，是指對(duì)任何，存在的開(kāi)鄰域，存在的某開(kāi)子集，存在從到的一個(gè)微分同胚, 以及存在中的一張超平面，使得。即在微分同胚的意義下，超曲面局部具有了超平面的結(jié)構(gòu)。對(duì)于消費(fèi)集合的偏好關(guān)系來(lái)說(shuō)，無(wú)差異關(guān)系 是的子集，因而是的子集。如果 是中的一張超曲面，則稱 是偏好關(guān)系?？晌⑿в煤瘮?shù)存在定理(G. Debreu). 設(shè)消費(fèi)集合的內(nèi)部是商品空間的連通開(kāi)子集，是上單調(diào)、連續(xù)的偏好關(guān)系。具有無(wú)奇點(diǎn)的效用函數(shù)的充分必要條件是是偏好關(guān)系。本定理的證明略去。定理中所說(shuō)的奇點(diǎn)，含義是指該點(diǎn)處函數(shù)的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都為零。有了這個(gè)定理以后, 大多數(shù)情況下我們都可去假

36、定效用函數(shù)的二階連續(xù)可微性，而不必為這種函數(shù)的存在性而擔(dān)心。鑒于此，經(jīng)濟(jì)分析中常常使用如下關(guān)于效用函數(shù)的可微性假設(shè)。假設(shè)HU(可微性假設(shè)). 消費(fèi)者的效用函數(shù)在消費(fèi)集合內(nèi)部二階連續(xù)可微，并且在各點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)不會(huì)同時(shí)全為零。四、效用梯度與偏好梯度初級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)展示了無(wú)差異分析的重要作用。當(dāng)考慮兩種商品之間的替代問(wèn)題時(shí)，無(wú)差異曲線的切線斜率就是兩種商品之間的邊際替代率。然而初級(jí)分析只是限于一種商品替代另一種商品的情況，沒(méi)有考慮一種替代多種商品，或者多種商品替代一種商品的情況。為了把商品之間的相互替代問(wèn)題考慮得更加全面，需要使用效用梯度和偏好梯度這兩個(gè)概念。設(shè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為，并且服從

37、假設(shè)HU。消費(fèi)向量處的效用梯度是指向量，它是通過(guò)點(diǎn)的無(wú)差異曲線的法方向。顯然，效用梯度的大小同所選擇的具體效用函數(shù)有關(guān)。效用梯度指向效用增大最快的方向，即指向效用水平提高最快的方向。這是因?yàn)閺娜⒎止?這里表示向量?jī)?nèi)積)可知，只有當(dāng)增加的消費(fèi)向量與效用梯度的夾角保持銳角時(shí)，效用的增加量才大于零；當(dāng)?shù)?長(zhǎng)度不變)方向變化到與同方向時(shí)，效用增加量達(dá)到最大。因此，效用梯度指向效用增大最快的方向，即在各個(gè)方向上的消費(fèi)等量增加中，效用梯度所指的方向效用增加得最大。這就解釋了效用梯度的經(jīng)濟(jì)含義。然而，如上定義的效用梯度是依據(jù)具體的效用函數(shù)來(lái)給出的，這就存在著一個(gè)問(wèn)題：效用梯度的方向是否與效用函數(shù)的選擇有

38、關(guān)？如果答案是肯定的，那么引進(jìn)效用梯度概念的意義就不大了。幸運(yùn)的是，下面的定理保證了效用梯度方向與具體的效用函數(shù)選擇無(wú)關(guān)。定理. 設(shè)和是兩個(gè)等價(jià)的效用函數(shù)，它們都在內(nèi)部一階連續(xù)可導(dǎo)，并且在內(nèi)部每點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)不會(huì)同時(shí)都為零。用和分別表示與的函數(shù)值的全體。則存在映射滿足如下兩個(gè)條件：(1) 對(duì)任何的，；(2) 對(duì)任何的，都有，在處可微，并且 ，從而。由此定理，我們便可引入與效用函數(shù)選擇無(wú)關(guān)的偏好梯度概念。消費(fèi)方案處的偏好梯度是指單位向量:其中是消費(fèi)者的一個(gè)在消費(fèi)集合內(nèi)部一階連續(xù)可微、在消費(fèi)集合內(nèi)部每點(diǎn)處的各個(gè)一階偏到數(shù)不會(huì)同時(shí)為零的效用函數(shù)。顯然，偏好梯度指向效用增大最快的方向，與效用函數(shù)

39、無(wú)關(guān)，但與消費(fèi)者偏好有關(guān)，由偏好關(guān)系決定。利用偏好梯度，商品之間的替代關(guān)系可表達(dá)為：一些商品的消費(fèi)量減少(增加)時(shí)，為了保持效用水平不變，其余商品的消費(fèi)量的變化量必須服從如下關(guān)系：其中表示第種商品的消費(fèi)量的變化量。這就是說(shuō)，為了保持效用水平不變，商品消費(fèi)量的調(diào)整向量必須保持與偏好梯度正交。定理的證明. 與等價(jià)，即與是同一偏好的兩個(gè)效用函數(shù)。定義如下：。則是嚴(yán)格遞增函數(shù)，并且明顯滿足條件(1)。以下證明滿足條件(2)。為此，設(shè)任意給定，并記。從可知，存在正數(shù)使得開(kāi)球。既然在內(nèi)部每點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)全為零，在處必有某個(gè)使得。令，則不是在中的極值點(diǎn)，從而存在和使得且。這說(shuō)明?，F(xiàn)在，對(duì)于中任一

40、趨向于的序列，從及的連續(xù)性可知，必然存在中的一個(gè)序列使得且。于是這說(shuō)明在處是可微的。注意，是任意給定的，從而是可微函數(shù)。既然，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得，這說(shuō)明。注意，及，因此。再注意，是遞增函數(shù)，于是。最后，從可知，。第四節(jié) 效用最大化作為理性人，消費(fèi)者不但要服從客觀條件的限制，而且要服從經(jīng)濟(jì)條件的限制，他在這些條件的限制下選擇自己最滿意的消費(fèi)方案，在條件許可的范圍內(nèi)追求效用最大化。本節(jié)就來(lái)研究理性消費(fèi)者的這種效用最大化行為。消費(fèi)者的福利是通過(guò)他們的偏好來(lái)反映的。當(dāng)把這種消費(fèi)同另一種消費(fèi)作比較時(shí)，如果消費(fèi)者更喜歡這種消費(fèi)，說(shuō)明這種消費(fèi)能給消費(fèi)者帶來(lái)更大的滿足，因而更需要這一種消費(fèi)。如果不考慮經(jīng)

41、濟(jì)條件的限制，那么消費(fèi)者的這種需要就是一種無(wú)止境的欲望，沒(méi)有一個(gè)滿足的時(shí)候。經(jīng)濟(jì)學(xué)不研究如何滿足人們無(wú)止境的欲望，而只研究受一定經(jīng)濟(jì)條件限制的消費(fèi)者需要。這就是效用最大化問(wèn)題。一、收入約束消費(fèi)者進(jìn)行消費(fèi)選擇時(shí)，一方面要受到一般性的客觀條件制約，要求在消費(fèi)集合所劃定的許可范圍內(nèi)選擇；另一方面，還要受到經(jīng)濟(jì)條件的制約，要求在收入允許的范圍內(nèi)選擇。作為理性人，消費(fèi)者不能以搶或偷的方式去克服收入限制。他可以借款消費(fèi)，但這實(shí)際上等同于擴(kuò)大了收入，而他的選擇則是在擴(kuò)大的收入限制下進(jìn)行，因此還是沒(méi)有擺脫收入帶來(lái)的約束。效用最大化就是指消費(fèi)者在一定的收入條件限制下追求最大程度地滿足。設(shè)消費(fèi)者面臨的商品空間為，

42、消費(fèi)集合為，偏好關(guān)系為 ，收入為，商品的市場(chǎng)價(jià)格體系為。消費(fèi)者只能接受這個(gè)價(jià)格體系，而不能影響和改變它。用表示要選擇的消費(fèi)方案。消費(fèi)者受到的客觀條件制約，要求他選擇的方案必須符合條件：；他受到的經(jīng)濟(jì)條件制約主要來(lái)自于收入的有限性，要求選擇的方案還必須符合條件：。把這兩個(gè)條件結(jié)合在一起，便形成了消費(fèi)者的收入約束或者叫做預(yù)算約束：收入約束確定了消費(fèi)者的實(shí)際選擇范圍，它不再是整個(gè)消費(fèi)集合，而只是的一部分：稱這個(gè)集合為消費(fèi)者的預(yù)算集合。效用最大化，就是指消費(fèi)者在預(yù)算集合內(nèi)選擇到自己最滿意的消費(fèi)方案。為了能使消費(fèi)者在符合收入約束的限制下選擇到所需要的消費(fèi)向量，消費(fèi)者的收入應(yīng)該滿足最低支出條件：稱為價(jià)格體

43、系下的最低支出。如果收入低于最低支出，那么消費(fèi)集合中就沒(méi)有一個(gè)方案是允許消費(fèi)者選擇的。所以，最低支出條件是必須的。二、馬歇爾需求理性消費(fèi)者最終選定的消費(fèi)方案，是預(yù)算集合中他認(rèn)為最好的消費(fèi)方案，這個(gè)方案就是馬歇爾從效用最大化出發(fā)推導(dǎo)出的消費(fèi)者需求，人們稱其為馬歇爾需求，或者簡(jiǎn)稱為需求。預(yù)算集合中消費(fèi)者認(rèn)為最好的消費(fèi)方案可能不止一種。當(dāng)然，這些最好的消費(fèi)方案之間必然是無(wú)差異的，否則就與“最好”產(chǎn)生自相矛盾。用表示預(yù)算集合中消費(fèi)者認(rèn)為最好的所有消費(fèi)方案組成的集合，即這個(gè)集合稱為消費(fèi)者在價(jià)格體系和收入之下的馬歇爾需求集合，或者簡(jiǎn)稱為需求集合。中的向量稱為消費(fèi)者在價(jià)格體系和收入之下的馬歇爾需求向量，或者

44、簡(jiǎn)稱為需求向量。顯然，馬歇爾需求集合中的任何兩種消費(fèi)方案都是無(wú)差異的。現(xiàn)在的問(wèn)題是，效用最大化問(wèn)題的這種表述方式可靠嗎？換句話說(shuō)，馬歇爾需求是否存在？如果不存在，那么消費(fèi)者就根本選不出最優(yōu)消費(fèi)方案，效用最大化理論就是空談。下面的定理作出了肯定的回答。定理(馬歇爾需求的存在性). 如果消費(fèi)集合是下有界非空閉集，并且消費(fèi)者偏好是連續(xù)的，則對(duì)任何價(jià)格體系及收入, 都有（即馬歇爾需求集合非空)。從而理性消費(fèi)者的馬歇爾需求存在。從此定理可見(jiàn)，的子集是由那些使馬歇爾需求集合非空的價(jià)格收入組合構(gòu)成的集合，因此稱這個(gè)集合為價(jià)格收入集合，它對(duì)研究馬歇爾需求具有重要意義，而且今后將會(huì)經(jīng)常用到它。集合的內(nèi)部也是很重

45、要的，今后也將會(huì)多次用到。鑒于此，本書中，符合和具有這里的專門意義：現(xiàn)在，我們來(lái)看一看這個(gè)定理成立的必然性。從第二節(jié)對(duì)于理性消費(fèi)者特點(diǎn)的討論可知，理性消費(fèi)者在消費(fèi)集合的任何有界閉子集中都有滿足。注意，對(duì)于價(jià)格體系及收入，預(yù)算集合是消費(fèi)集合的非空有界閉子集，因而消費(fèi)者在這個(gè)集合中必有滿足，這就是說(shuō)馬歇爾需求是存在的。我們還可以從效用函數(shù)的角度來(lái)看需求的存在性。既然是連續(xù)偏好，根據(jù)效用函數(shù)存在定理，存在的連續(xù)效用函數(shù)。需求向量是預(yù)算集合中效用最大的商品向量，即是效用函數(shù)在中的最大值點(diǎn)。在的非空有界閉子集中有定義的連續(xù)函數(shù)必有最大值，而確實(shí)是的有界非空閉子集，又是連續(xù)的且在中有定義，于是，在中的最大

46、值點(diǎn)必存在，即馬歇爾需求集合是非空的。知道馬歇爾需求存在以后，如果還能知道馬歇爾需求是唯一的，那么效用最大化問(wèn)題的解決就可謂圓滿。下面定理回答了馬歇爾需求的唯一性問(wèn)題。定理(馬歇爾需求的唯一性). 如果消費(fèi)者偏好嚴(yán)格凸，則對(duì)任何價(jià)格向量和收入，都是單點(diǎn)集或空集；如果是內(nèi)部嚴(yán)格凸的，則對(duì)價(jià)格向量和收入，當(dāng)時(shí)，是單點(diǎn)集或空集。因此，理性消費(fèi)者的馬歇爾需求是唯一的。證明：對(duì)于任意給定的價(jià)格收入，如果是空集，則定理結(jié)論已經(jīng)得證。因此，我們假定非空。用反證法，假定不是單點(diǎn)集，即假定中有兩種不同的消費(fèi)方案和，那么這兩種方案必然無(wú)差異，即。令，則，且從偏好的嚴(yán)格凸性可知，比和都優(yōu)。這與和是預(yù)算集合中的最優(yōu)方

47、案相矛盾。矛盾的結(jié)論說(shuō)明，只能是單點(diǎn)集。馬歇爾需求的另外一條性質(zhì)由下述定理給出。定理(馬歇爾需求的結(jié)清性). 設(shè)是無(wú)滿足的凸偏好，則對(duì)任何及, 都有（此種情況可寫作），即馬歇爾需求實(shí)現(xiàn)了消費(fèi)者的收支平衡。本定理說(shuō)明，在消費(fèi)者欲望無(wú)止境的情況下，消費(fèi)者只有把他的收入全部用于消費(fèi)，才能獲得最大限度的滿足。否則，就實(shí)現(xiàn)不了效用最大化。下面證明本定理。設(shè)是任意給定的方案，欲證。采用反證法，假定，那么必然，這是因?yàn)?。既然是無(wú)滿足的偏好，就存在著某個(gè)方案使得。由于是中的最優(yōu)方案，于是必然不在預(yù)算集合中，即(如圖3-6所示)。 預(yù)算線 圖3-6 證明思路的直觀意義對(duì)每個(gè)，令，則定義了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且。

48、從連續(xù)函數(shù)介值定理可知，存在使得。令，則,從而。注意，且是凸偏好，因此，這與是中的最優(yōu)方案相矛盾?？梢?jiàn)不能成立，即只有。三、需求映射馬歇爾需求的存在性和唯一性告訴我們，對(duì)于理性消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，即在假設(shè)HC和假設(shè)HP 下，對(duì)于任何的, 都有唯一的方案與之對(duì)應(yīng)，即。這就定義了一個(gè)從價(jià)格收入集合到消費(fèi)集合的映射，稱這個(gè)映射為消費(fèi)者的馬歇爾需求映射，簡(jiǎn)稱為需求映射。把寫成分量形式：，便得到定義在上的個(gè)函數(shù)，稱這些函數(shù)為消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)，簡(jiǎn)稱為需求函數(shù)。要確定需求映射，假設(shè)HC和假設(shè)HP是必需的。不嚴(yán)格地說(shuō)，馬歇爾需求映射的確定幾乎等同說(shuō)偏好關(guān)系是嚴(yán)格凸的。如果馬歇爾需求落在消費(fèi)集合內(nèi)部，即對(duì)任何，都

49、有，那么馬歇爾需求映射的確定就幾乎等同于偏好的內(nèi)部嚴(yán)格凸性。注意，對(duì)于任何實(shí)數(shù)，即把價(jià)格和收入按照同一比例擴(kuò)大或縮小時(shí)，預(yù)算集合不變。因此，相應(yīng)的馬歇爾需求也就不變。這個(gè)給出了需求映射的如下性質(zhì)：定理(需求映射的零階齊次性). 對(duì)任何及實(shí)數(shù)，都有。再?gòu)那懊骊P(guān)于馬歇爾需求結(jié)清性的討論可知，需求映射還具有人們通常所說(shuō)的瓦爾拉性質(zhì)，即收支平衡。這種性質(zhì)，也叫做需求映射的瓦爾拉法則。定理(需求映射的瓦爾拉法則). 對(duì)任何， 都有，即收支平衡。四、間接效用函數(shù)馬歇爾需求是消費(fèi)者在價(jià)格體系和收入水平下必然選擇的消費(fèi)方案，代表著由價(jià)格體系和收入確定的效用水平(即消費(fèi)者生活水平)。這樣，當(dāng)價(jià)格與收入發(fā)生變化時(shí)

50、，消費(fèi)者生活水平就跟著發(fā)生變化。間接效用函數(shù)就是反映消費(fèi)者生活水平同價(jià)格和收入之間的關(guān)系的函數(shù)，它通過(guò)(直接)效用函數(shù)和需求映射來(lái)定義：對(duì)于任何，通過(guò)研究間接效用函數(shù)，我們可掌握消費(fèi)者生活水平隨價(jià)格和收入的變化規(guī)律。以后在討論消費(fèi)最優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題和研究需求變動(dòng)規(guī)律的時(shí)候，間接效用函數(shù)將會(huì)進(jìn)一步提及。 第五節(jié) 支出最小化支出最小化是指消費(fèi)者在保證不降低生活水平的前提下謀求消費(fèi)支出達(dá)到最少。顯然，這種行為也是一種符合理性的行為，是消費(fèi)最優(yōu)化的體現(xiàn)。希克斯從支出最小化出發(fā)，分析了消費(fèi)者的選擇，給出了今天稱謂的希克斯需求概念。本節(jié)就來(lái)討論支出最小化問(wèn)題。一、支出約束當(dāng)消費(fèi)者面臨一種消費(fèi)方案時(shí)，他常常會(huì)

51、作這樣的考慮：只要效用不降低，支出越少就越好。這就是說(shuō)，消費(fèi)者首先確定一個(gè)效用水平，然后在不低于這個(gè)效用水平的前提下使消費(fèi)支出達(dá)到最小。這種做法的道理在于貨幣也是一種具有效用的“商品”，支付貨幣相當(dāng)于支付效用。以貨幣換商品，相當(dāng)于以效用換效用。因此，以較少的效用換得較多的效用，是理性人活動(dòng)的一種自然現(xiàn)象。按照支出最小化的思路，我們來(lái)分析一下消費(fèi)者的選擇。假定消費(fèi)者目前面對(duì)的消費(fèi)方案為，商品的價(jià)格體系為，從而按照方案進(jìn)行消費(fèi)的貨幣支出為。如果說(shuō)還有另外一種消費(fèi)方案，按照消費(fèi)不但比按消費(fèi)的支出少，而且能讓消費(fèi)者得到不比低的滿足程度（即），那么消費(fèi)者自然會(huì)把他的選擇從調(diào)整為。如果對(duì)于，還能作類似的調(diào)

52、整，那么消費(fèi)者就會(huì)繼續(xù)調(diào)整消費(fèi)計(jì)劃。而且這樣的調(diào)整，會(huì)一直進(jìn)行到不能調(diào)整為止。在這種調(diào)整過(guò)程中，集合限定了調(diào)整選擇的范圍。這個(gè)集合也就稱為消費(fèi)者在處的支出集合；條件叫做消費(fèi)者在處受到的支出約束。支出約束條件也可寫成：二、?？怂剐枨笤趦r(jià)格體系下，支出集合上的最小支出記作，可寫成：在價(jià)格不變且所在的效用水平也不變的情況下，的變化不會(huì)改變支出集合，從而不會(huì)改變的值。這就是說(shuō)，是隨著價(jià)格和效用水平的變化而變化的量。只要，就有。因此，實(shí)際上是價(jià)格和效用水平的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為消費(fèi)者的支出函數(shù)。的定義告訴我們，是價(jià)值函數(shù)在支出集合上的最小值。嚴(yán)格地講，這種說(shuō)法不夠準(zhǔn)確。要使說(shuō)法準(zhǔn)確，支出集合中就必須有一個(gè)

53、價(jià)值等于的商品向量，即價(jià)值函數(shù)在支出集合中的最小值點(diǎn)必須存在。這個(gè)最小值點(diǎn)，就是?？怂箯闹С鲎钚』霭l(fā)得到的消費(fèi)者需求，稱為消費(fèi)者在價(jià)格體系下和效用水平上的希克斯需求(向量)。顯然，給定價(jià)格體系和效用水平后，相應(yīng)的?？怂剐枨蟛灰?jiàn)得存在，即使存在，也不見(jiàn)得唯一。鑒于此，我們用表示消費(fèi)者在價(jià)格體系下和效用水平上的?？怂剐枨笙蛄康娜w，稱為?？怂剐枨蠹?。即不一定非空，也不一定是單點(diǎn)集。但當(dāng)時(shí)，中每個(gè)方案的支出都等于，此時(shí)可寫作。當(dāng)，即消費(fèi)支出已經(jīng)是消費(fèi)集合上的最低支出時(shí)，支出就不能再變小，因而無(wú)法同更低支出水平的消費(fèi)進(jìn)行比較，支出最小化也就意義不大了。所以，通?？紤]支出最小化問(wèn)題時(shí)，總要假定當(dāng)前支

54、出不是上的最低支出，即要求。定理(?？怂剐枨蟮拇嬖谛?. 設(shè)消費(fèi)集合是下有界非空閉集，是連續(xù)的偏好，則對(duì)任何價(jià)格向量及任何，都有 (即?？怂剐枨蠹戏强?。從而理性消費(fèi)者的?？怂剐枨笫谴嬖诘?。這是因?yàn)閷?duì)于及，集合是的非空有界閉集，從而是緊集。價(jià)值函數(shù)在上連續(xù)，從而在中的最小值必然存在，這個(gè)最小值顯然也是在整個(gè)支出集合上的最小值，其最小值點(diǎn)就是價(jià)格體系和效用水平上的希克斯需求，因此非空。定理(?？怂剐枨蟮奈ㄒ恍?. 設(shè)消費(fèi)集合是凸集， 是連續(xù)的嚴(yán)格凸偏好，則對(duì)于符合條件的任何價(jià)格體系和消費(fèi)向量，?？怂剐枨蠹现凶疃嘀挥幸环N消費(fèi)方案。因此，理性消費(fèi)者的希克斯需求是唯一的。證明：設(shè)和是任意給定的滿足條件的價(jià)格體系和消費(fèi)向量，欲證中至多一個(gè)點(diǎn)。用反證法，假定中有兩個(gè)不同的向量和。則，這就說(shuō)明存在滿足。這個(gè)必然不在中，即。注意，與中必然有一個(gè)成立，不妨假定。令，則的嚴(yán)格凸性保證了,從而。這樣，我們?cè)谥姓业搅艘环N方案滿足：且(如圖3-7所示)。 支出線 圖3-7 證明思路的幾何直觀設(shè)為的一個(gè)連續(xù)效用函數(shù)(這樣的效用函數(shù)一定存在）。定義函數(shù)如下：, 則是連續(xù)函數(shù),并且。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在滿足。令，則，即，從而。注意，這與是上的最小支出相矛盾。可見(jiàn)，中不可能有