1、4.5 垂 線,【知識再現(xiàn)】 1.直角等于90;一個平角等于_個直角. 2.經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且_直線平行于這條 直線. 3.連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫做這兩點(diǎn)間的_.,2,只有一條,距離,【新知預(yù)習(xí)】閱讀教材P96-P100,解決以下問題: 1.垂直的定義 如圖,直線AB和CD相交于點(diǎn)O,AOC=90, 則這兩條直線叫做_,記做_, 其中一條直線叫做另一條直線的_,它們的交 點(diǎn)叫_.,互相垂直,ABCD,垂線,垂足,2.兩條重要結(jié)論 (1)在同一平面內(nèi),如圖,am,bm, 所以 1=2=_(垂直的定義), 所以_(同位角相等,兩直線平行). 歸納:在同一平面內(nèi),垂直于同一直線的兩條直線 _.,9

2、0,ab,平行,(2)如圖,在同一平面內(nèi),如果ab,ma,因?yàn)閙a,所以 1=_, 因?yàn)閍b,所以_, 所以2=_,所以_. 歸納:在同一平面內(nèi),如果一條直線垂直于兩條平行 線中的一條,那么這條直線_于另一條.,90,1=2,90,bm,垂直,3.已知直線L和直線上一點(diǎn)A,過點(diǎn)A畫直線L的垂線只能 畫_條;經(jīng)過直線L外一點(diǎn)B畫直線L的垂線也只能 畫_條. 垂線的基本事實(shí):在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)_ 條直線與已知直線垂直.,一,一,有且只有一,4.如圖,設(shè)POAB于O,線段PO叫做點(diǎn)P到 直線AB的_線段.PA,PB,PC,PD叫做_線段. 從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的_叫做點(diǎn) 到直線的距離.

3、垂線的性質(zhì):直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段 中,_最短.簡單說成:_最短.,垂,斜,長度,垂線段,垂線段,【基礎(chǔ)小練】 請自我檢測一下預(yù)習(xí)的效果吧! 1.在同一平面內(nèi),下列語句正確的是 ( ) A.過一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直 B.和一條直線垂直的直線有兩條,C,C.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D.兩直線相交,則一定垂直,2.如圖,OAOB,若1=55,則2的度數(shù)是 ( ),A.35 B.45 C.55 D.65,A,3.體育課上,老師測量跳遠(yuǎn)成績的依據(jù)是 ( ) A.兩直線間的距離 B.兩點(diǎn)之間,線段最短 C.垂線段最短 D.兩點(diǎn)確定一條直線,C,知識點(diǎn)一 垂線的概念及角

4、的計算(P97例1拓展) 【典例1】如圖,直線AB,CD相交于 點(diǎn)O,OMAB. (1) 若1=2,求NOD的度數(shù). (2) 若1= BOC,求AOC和MOD的度數(shù).,【嘗試解答】(1) 因?yàn)镺MAB,1=2, 所以1+_=2+_=_, 即CON=90,垂直定義 所以O(shè)NCD垂直定義 所以NOD=_垂直定義,AOC,AOC,90,90,(2) 因?yàn)镺MAB,1= BOC, 所以1=_,BOC=_, 角度的計算 又因?yàn)锳OC+BOC=_, 鄰補(bǔ)角定義,30,120,180,所以AOC=_, 角度的計算 因?yàn)?+MOD=180,鄰補(bǔ)角定義 所以MOD=_.角度的計算,60,150,【學(xué)霸提醒】 垂

5、直的兩層意義 (1)位置關(guān)系:垂直是兩直線相交的特殊位置關(guān)系. (2)數(shù)量關(guān)系:垂直說明某些角的度數(shù)是90,為計算角的度數(shù)提供了數(shù)量關(guān)系.,【題組訓(xùn)練】 1.已知在同一平面內(nèi):兩條直線相交成直角;兩條 直線互相垂直;一條直線是另一條直線的垂線.那么 下列因果關(guān)系:;中,正確 的有 ( ) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個,D,2.如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,EOAB于點(diǎn)O, EOD=50,則BOC的度數(shù)為_.世紀(jì)金榜導(dǎo) 學(xué)號,140,3.如圖,OAOB,OCOD,OE是OD的反向延長線. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號 (1) AOC等于BOD嗎?請說明理由. (2)若BOD=32,求AOE的度數(shù).

6、,解:(1)AOC=BOD.理由如下: 因?yàn)镺AOB,OCOD, 所以AOB=COD=90, 所以AOB-BOC=COD-BOC, 即AOC=BOD.,(2)因?yàn)镺AOB, 所以AOB=90, 所以AOE=90-BOD=58.,知識點(diǎn)二 垂線的性質(zhì)及其應(yīng)用(P100做一做T2拓展) 【典例2】如圖,AOB為一條在O處拐彎的河,要修一條從村莊P通向這條河的道路,現(xiàn)在有兩種設(shè)計方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路.如果不考慮其他因素,這兩種方案哪一個經(jīng)濟(jì)一些?它是不是最佳方案?如果不是,請你幫助設(shè)計出最佳的方案,并簡要說明理由.,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離定義和垂線段最短分析得出結(jié)論.,【自主

7、解答】因?yàn)樵谥苯侨切蜳OM中,PMPO, 所以這兩種方案沿PO修路更經(jīng)濟(jì)些, 它不是最佳方案,過點(diǎn)P作PNOB于點(diǎn)N, 因?yàn)镺PPN,PN是點(diǎn)P到OB上的最短路線, 所以此方案是最佳方案.,【學(xué)霸提醒】 認(rèn)識垂線及其性質(zhì)的四點(diǎn)注意 (1)線段和射線都有垂線. (2)點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度,是一個數(shù)值,而垂線段是一個圖形,對此要分清楚.,(3)在實(shí)際問題中,確定路徑最短或最短距離問題時,首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,再作出垂線,并求出具體數(shù)值. (4)要分清“兩點(diǎn)之間線段最短”和“垂線段最短”.,【題組訓(xùn)練】 1.(2019建鄴區(qū)期末)若直線l外一點(diǎn)P與直線l上四點(diǎn) 的連線段長分別為1

8、cm,2 cm,3 cm,4 cm,則點(diǎn)P到直 線l的距離最接近 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm,A,2.如圖所示,能表示點(diǎn)到直線(線段)的距離的線段 ( ) A.2條 B.3條 C.4條 D.5條,C,3.如圖所示,已知ONL,OML,所以O(shè)M與ON重合,其 理由是 ( ) A.過兩點(diǎn)有且只有一條直線 B.過一點(diǎn)只能作一條直線,C,C.在同一平面內(nèi),經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D.垂線段最短,4.如圖所示,建筑工人用“鉛垂線”可檢查所砌的墻面是否與水平線垂直,你知道其中道理嗎? 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號,解:鉛垂線總是垂直于水平面,建筑工人用鉛垂線看所砌墻面

9、是否與鉛垂線重合來判斷所砌墻面是否與水平線垂直.,【火眼金睛】 如圖所示,ADBD,BCCD,AB=5 cm,BC=3 cm,則BD長度的取值范圍是 ( ),A.大于3 cm B.小于5 cm C.大于3 cm或小于5 cm D.大于3 cm且小于5 cm,【正解】選D.由垂線段最短可知:ABBDBC, 所以BD大于3 cm,小于5 cm.,【一題多變】 如圖,已知直線AB上一點(diǎn)O,OCAB,ODOE, 若COE= BOD. (1)求COE,BOD,AOE的度數(shù). (2)若OF平分BOE,求AOF的度數(shù).,解:(1)因?yàn)镃OE= BOD, 所以設(shè)COE=x,則BOD=5x, 因?yàn)镺DOE,所以

10、DOE=90, 所以BOE=BOD-DOE=5x-90, 因?yàn)镺CAB,所以BOC=90,所以COE+BOE=90, 所以x+5x-90=90,解得x=30, 所以COE=30, 所以BOD=5x=150, 所以AOE=AOC+COE=90+30=120.,(2)因?yàn)镺F平分BOE, 所以BOF= BOE. 因?yàn)锽OE=90-COE=60, 所以BOF=30, 所以AOF=180-BOF=150.,【母題變式】 如圖,直線AB與CD相交于O,OE是AOC的平分線,OFCD, OGOE, BOD=52, (1)求AOF的度數(shù). (2)EOF與BOG是否相等?請說明理由.,解:(1) 因?yàn)镺FCD, 所以COF=90, 又因?yàn)锳OC與BOD是對頂角, 所以AOC=BOD=52, 所以AO