1、第八章 估計(jì)和樣本容量的確定 Chapter 8 Estimation and Sample size determination,本章研究概率抽樣的估計(jì)問(wèn)題，不涉及非概率抽樣的估計(jì)問(wèn)題。 概率抽樣估計(jì)原理是每個(gè)樣本單元不僅代表自己，而且還代表被凋查總體中那些沒有進(jìn)入樣本的單元。 估計(jì)就是根據(jù)從樣本中收集的信息，對(duì)總體未知量進(jìn)行推斷的過(guò)程。它可以幫助我們依據(jù)樣本信息推斷總體。 本章還介紹了樣本容量的確定。,1,本章包括以下四個(gè)部分：,一是如何計(jì)算樣本中每個(gè)回答單元的權(quán)數(shù)(包括權(quán)數(shù)的調(diào)整值)； 二是如何計(jì)算不同數(shù)據(jù)類型(定性數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù))各種統(tǒng)計(jì)量(總量、均值和比例)的估計(jì)值(實(shí)際是點(diǎn)估計(jì))；

2、 三是如何計(jì)算抽樣誤差和區(qū)間估計(jì)。 四是如何確定樣本容量。,2,How to compute the weigh of each responding unit How to produce estimates of different statistics for different types of data How to evaluate the sampling error for each estimate based on the elected sample,3,一、加權(quán) weighing,估計(jì)的第一步，就是給每個(gè)樣本單元或樣本中的每個(gè)回答單元賦予一個(gè)權(quán)數(shù)。 設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)是每個(gè)樣本單

3、元所代表的調(diào)查總體的單元數(shù)，它由抽樣設(shè)計(jì)所決定，其實(shí)就是樣本單元的入樣概率的倒數(shù)。,4,等概率抽樣的加權(quán) Weighting for equal probability sample designs,自加權(quán)設(shè)計(jì)的概念。 自加權(quán)就是所有樣本單元的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)相同。 如簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣。 對(duì)于分層抽樣，如果按各層的大小等比例分配樣本而且各個(gè)層內(nèi)都使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，那么它也是自加權(quán)設(shè)計(jì)。,5,舉例說(shuō)明自加權(quán)設(shè)計(jì)。,例7.1： 一個(gè)由N=1000個(gè)人構(gòu)成的總體被劃分為兩個(gè)層：第一層由N1=400名男性組成，第二層由N2= 600名女性組成。從中抽取樣本量為n=250的一個(gè)樣本，將樣本等比例地分配給各

4、層，使得兩層的抽樣比都等于n/N=1/4。,6,此時(shí)，設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)是多少？ 對(duì)于男性層，入樣概率p1為:,7,對(duì)于女性層，入樣概率p2為:,8,這樣，每個(gè)人都有相同的入樣概率1/4，設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)w皆等于4。,9,不等概率抽樣設(shè)計(jì)的加權(quán) Weighting for unequal probability sample designs,當(dāng)采用的抽樣方法不是等概率抽樣時(shí)，正確地使用設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)就顯得尤為重要。 舉例說(shuō)明不等概率抽樣設(shè)計(jì)的加權(quán)。,10,例7.2 對(duì)于一項(xiàng)公共交通系統(tǒng)調(diào)查，總體由1100人組成，并按城鄉(xiāng)分為兩個(gè)層。城市層N1=1000，農(nóng)村層N2 =100。抽取一個(gè)n=250的樣本：城市層n1=20

5、0，農(nóng)村層n2=50。 層 總體大小 樣本量 城市 N1=1000 n1=200 農(nóng)村 N2=100 n2 =50,11,各層的權(quán)數(shù)是層單元入樣概率的倒數(shù)： 城市層: 農(nóng)村層:,12,對(duì)無(wú)回答的權(quán)數(shù)調(diào)整 Weigh adjustment for nonresponse,(1)無(wú)問(wèn)答主要有兩種類型： 項(xiàng)目無(wú)回答：指被調(diào)查者雖然接受調(diào)查，但是僅僅回答了問(wèn)卷的一部分。因而不能得到某些項(xiàng)目的信息。在這種情況下，最常用的處理方法就是對(duì)缺失數(shù)據(jù)作插補(bǔ)。插補(bǔ)就是在審核過(guò)程中用于解決辨別出來(lái)的數(shù)據(jù)缺失、無(wú)效與不一致等問(wèn)題的過(guò)程。,13,All survey suffers from non-response.

6、 This refers to the situation where information from sampled units is unavailable for some reason. It may be that the units selected in the sample did not provide all of the requested information or that some of the provided information was unusable,14,單元無(wú)回答：是指一個(gè)樣本單元所有或幾乎所有的數(shù)據(jù)都缺失。 單元無(wú)回答的產(chǎn)生，可能是由于被調(diào)查者

7、拒絕參加，或者無(wú)法聯(lián)系，或者無(wú)法找到被調(diào)查者的住所，或者調(diào)查效果無(wú)效。 這里主要研究單元無(wú)回答。,15,(2)無(wú)回答的處理辦法 處理無(wú)回答的最簡(jiǎn)單的辦法是忽略它。 The easiest way to deal with nonresponse is to ignore it. 如果發(fā)現(xiàn)忽略單元無(wú)回答是不適當(dāng)?shù)模畛Ｓ玫霓k法是對(duì)權(quán)數(shù)進(jìn)行調(diào)整。 無(wú)回答者的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)需要在回答者間進(jìn)行重新分配，通常的做法是用一個(gè)無(wú)回答調(diào)整因子乘以設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)，由此得到無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)。,16,(3)無(wú)回答調(diào)整因子 Nonresponse weight adjustment factor 無(wú)回答調(diào)整因子是原樣本單元的權(quán)數(shù)

8、和與給出回答的單元的權(quán)數(shù)和的比值。,17,(4)舉例說(shuō)明無(wú)回答調(diào)整權(quán)數(shù)的計(jì)算 對(duì)于自加權(quán)設(shè)計(jì)，這個(gè)比值也可以用原樣本的單元數(shù)與回答單元數(shù)的比值（回答率的倒數(shù)）來(lái)表示。,18,例7.3 從一個(gè)N=100人的總體中抽取一個(gè)n =25人的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。結(jié)果只有20個(gè)人提供了所需的信息。求無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)？,19,步驟1：計(jì)算設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)： 入樣概率p為： 每個(gè)樣本單元的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)為4。,20,步驟2：對(duì)無(wú)回答的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)進(jìn)行調(diào)整。 由于在n=25人中只有nr=20人提供了所需的信息此時(shí)無(wú)回答調(diào)整因子為：,21,步驟3：計(jì)算無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)。 無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)wnr等于設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)與無(wú)回答調(diào)整因子的乘積：,22,

9、于是對(duì)數(shù)據(jù)文件中的每一條記錄應(yīng)賦予權(quán)數(shù)5。 不同子總體往往具有不同的回答率，應(yīng)對(duì)這些子總體分別進(jìn)行無(wú)回答調(diào)整。,23,例7.2（續(xù)） 如果在例7.2中回答情況如下： 城市層中nr,1=150，農(nóng)村層nr,2=40 , 層 總體大小 樣本量 回答數(shù)量 城 市 N1=1000 n1=200 nr,1=150 農(nóng) 村 N2=100 n2=50 nr,2=40,24,步驟1：各層的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)為： 城市層wd,1=5 ，農(nóng)村層wd,2 = 2 步驟2：各層的無(wú)回答調(diào)整因子計(jì)算如下： 城市層: 農(nóng)村層:,25,步驟3：無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)等于設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)與無(wú)回答調(diào)整因子的乘積： 城市層: 農(nóng)村層:,26,輔助信息的

10、使用 Use of auxiliary information,(1)使用輔助信息的兩個(gè)原因： 一是使調(diào)查的估計(jì)值與已知的總體的真值，或者與從另一調(diào)查所得的估計(jì)值相匹配； 二是為了提高估計(jì)值的精度。,27,(2)如何使用輔助信息改進(jìn)估計(jì)量。 1)事后分層：在數(shù)據(jù)收集后，可以利用數(shù)據(jù)收集的結(jié)果，選用其中合適的變量對(duì)收集到的樣本進(jìn)行分層，從而對(duì)樣本的權(quán)數(shù)進(jìn)行調(diào)整。 舉例說(shuō)明如何應(yīng)用事后分層改進(jìn)估計(jì)量。,28,例7.4 為得到某公司職員是否有吸煙習(xí)慣的信息，進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查。從N=78人的名錄中抽出了一個(gè)n=25人的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在設(shè)計(jì)階段，沒有可用于分層的輔助信息。 在收集關(guān)于吸煙習(xí)慣的信息的同時(shí)，

11、收集了每個(gè)回答者的年齡和性別情況?？偣灿衝r=15個(gè)人作了回答，樣本數(shù)據(jù)的分布為： 回答者數(shù)量 男性 女性 總計(jì) 吸煙的人數(shù) 1 7 8 總?cè)藬?shù) 3 12 nr =15,29,1.每個(gè)回答者的權(quán)數(shù)以及對(duì)無(wú)回答的調(diào)整計(jì)算如下： 設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)是入樣概率的倒數(shù)：,30,假定樣本中每個(gè)被調(diào)查者作出回答的概率都是相同的，用調(diào)查的總?cè)藬?shù)除以回答者的總?cè)藬?shù)，得無(wú)回答調(diào)整因子：,31,無(wú)回答調(diào)整權(quán)數(shù)wnr即為設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)與無(wú)回答調(diào)整因子的乘積：,32,2.利用無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)，可得到如下估計(jì)值： 調(diào)查的估計(jì)值 男性 女性 總計(jì) 吸煙人數(shù) 5.23 6.44 1.6 總?cè)藬?shù) 15.66 2.47 8.0 吸煙者的比例

12、0.33 0.59 0.53,33,通過(guò)無(wú)回答調(diào)整權(quán)數(shù)，我們估計(jì)出該公司約有16名男性職員和62名女性職員，而且男女的吸煙比例不同。 假定調(diào)查完成后，我們得到了如下輔助信息：該公司共有42名男性職員和36名女性職員。 那么，通過(guò)調(diào)查所得的估計(jì)值（16名男性職員和62名女性職員）與真值之間就存在著明顯的差異。,34,3.對(duì)樣本進(jìn)行抽樣后分層，計(jì)算事后分層權(quán)數(shù)。 事后分層權(quán)數(shù)wpst是（事后）層的輔助變量總和除以該層的回答單元的數(shù)量所得的商。 在本例中，男性的事后分層權(quán)數(shù)為: 女性的事后分層權(quán)數(shù)為:,35,當(dāng)使用新權(quán)數(shù)時(shí)，估計(jì)值為： 事后分層估計(jì)值 男性 女性 總計(jì) 吸煙人數(shù) 14 21 35 總

13、人數(shù) 42 36 78 吸煙者的比例 0.33 0.59 0.45,36,此時(shí)，男性和女性人數(shù)的估計(jì)值與該公司男性和女性的實(shí)際人數(shù)一致。注意在每個(gè)事后分層的層中吸煙者的比例并沒有改變，但總體吸煙者比例的估計(jì)發(fā)生了改變。 在實(shí)際中，對(duì)每個(gè)事后層都計(jì)算一個(gè)因無(wú)回答引起的調(diào)整因子，這個(gè)因子即總體中各事后層的單元數(shù)量 N與其事后分層所得的估計(jì)值 之比（后者用無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)進(jìn)行估計(jì)）。,37,本例事后分層調(diào)整因子為： 男性: 女性:,38,將這個(gè)調(diào)整因子應(yīng)用到無(wú)回答調(diào)整權(quán)數(shù)時(shí)，就可以得到與前面相同的最終事后分層權(quán)數(shù)： 男性: 女性:,39,等概率抽樣設(shè)計(jì)的比例、平均數(shù)與總量的估計(jì) Estimating

14、 proportions, averages, and totals for equal probability sample designs,對(duì)自加權(quán)抽樣設(shè)計(jì)，所有樣本單元的最終權(quán)數(shù)是相等的。因此，計(jì)算比例或均值的估計(jì)值時(shí)，就可以將權(quán)數(shù)忽略。 對(duì)總體總量的估計(jì)，只需要用同一個(gè)設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)將樣本總值放大即可。 但是在實(shí)際中通常需要根據(jù)無(wú)回答或事后分層進(jìn)行調(diào)整。,40,例7.5a 下面所列的樣本數(shù)據(jù)中，所有回答單元都有相同的最終權(quán)數(shù)5。數(shù)據(jù)中有一個(gè)定量變量（年齡）和兩個(gè)定性變量（性別和婚姻狀況），對(duì)兩個(gè)定性變量取值的編碼如下： 性別: 婚姻狀況: 1=男性 1=已婚 2=女性 2=單身 回答者的各項(xiàng)

15、樣本記錄如下：,41,回答者 年齡 性別 婚姻狀況 權(quán)數(shù) 1 29 1 1 5 2 32 1 1 5 3 45 2 2 5 4 16 1 2 5 5 30 2 2 5 6 38 2 1 5 7 43 1 1 5 8 15 2 1 5 9 22 1 2 5 10 49 1 2 5 11 39 2 2 5 12 42 2 2 5 13 53 2 1 5 14 18 1 1 5 15 26 2 1 5 16 76 2 1 5 17 48 1 1 5 18 15 2 1 5 19 24 2 1 5 20 65 2 1 5,42,1）對(duì)總體或總體中某個(gè)域的總量估計(jì)： Estimates of total

16、s for the whole population or for specified subgroup of the population,總體中男性總數(shù)的估計(jì)值為樣本中男性的總數(shù)乘以公共的無(wú)回答調(diào)整權(quán)數(shù)wnr： 總體中單身女性總數(shù)的估計(jì)值為樣本中單身女性的總數(shù)乘以公共的無(wú)回答調(diào)整權(quán)數(shù)wnr：,43,2)如果忽略權(quán)數(shù)，對(duì)總體的比例和平均數(shù)的估計(jì)如下： Estimates of proportions and averages for the whole population,總體中男性所占比例的估計(jì)值即是樣本中男性所占的比例： 總體中平均年齡的估計(jì)值即是樣本的平均年齡：,44,3）對(duì)總體中的

17、域的比例和均值的估計(jì)： Estimates of proportions and averages for domains of the population,總體中單身女性所占比例的估計(jì)值，即樣本中婚姻狀況回答為“單身”的女性在所有女性樣本中所占的比例為：,45,總體中男性平均年齡的估計(jì)值即為樣本中男性的平均年齡：,46,不等概率抽樣設(shè)計(jì)的比例、平均數(shù)與總量的估計(jì) Estimating proportions, averages, and totals for unequal probability sample designs,在估計(jì)過(guò)程中，正確使用最終權(quán)數(shù)不僅對(duì)計(jì)算不等概率抽樣設(shè)計(jì)的估計(jì)

18、值非常重要，而且對(duì)于當(dāng)最終（經(jīng)調(diào)整后的）權(quán)數(shù)不全相等時(shí)，計(jì)算自加權(quán)設(shè)計(jì)的估計(jì)值也非常重要。,47,例7.6：,使用分層抽樣從總體中抽取了一個(gè)n=10個(gè)農(nóng)場(chǎng)的樣本，所有10個(gè)農(nóng)場(chǎng)都給出了回答，因此無(wú)需對(duì)無(wú)回答作調(diào)整。 已經(jīng)計(jì)算出最終權(quán)數(shù)，現(xiàn)在需要依據(jù)下面的數(shù)據(jù)計(jì)算估計(jì)值（農(nóng)場(chǎng)類型中的C表示作物農(nóng)場(chǎng)，L表示家畜農(nóng)場(chǎng)）。,48,層 權(quán)數(shù) 農(nóng)場(chǎng)類型 收入（元） 1 5.67 C 75000 1 5.67 L 15000 1 5.67 C 125000 1 5.67 C 67000 1 5.67 L 80000 1 5.67 C 40000 2 16.50 C 30000 2 16.50 C 14000

19、 2 16.50 L 48000 2 16.50 C 22000,49,總體農(nóng)場(chǎng)總數(shù)的估計(jì)值為： 家畜農(nóng)場(chǎng)總數(shù)的估計(jì)值為：,50,家畜農(nóng)場(chǎng)所占比例的估計(jì)值為： 總體中所有農(nóng)場(chǎng)總收入的估計(jì)值為：,51,總體中所有農(nóng)場(chǎng)的平均收入的估計(jì)值為： 家畜農(nóng)場(chǎng)總收入的估計(jì)值為：,52,家畜農(nóng)場(chǎng)平均收入的估計(jì)值為：,53,主要介紹了兩方面內(nèi)容： 一是如何計(jì)算某一概率樣本的樣本量； 二是如何在分層抽樣中對(duì)各層樣本單元數(shù)進(jìn)行分配。,四、 樣本量的確定 Sample size determination,54,一、樣本量的確定,由計(jì)算誤差范圍（極限誤差）的公式：,55,可推出計(jì)算樣本量的公式：,56,影響調(diào)查樣本量

20、大小的因素主要有兩個(gè)： 一是調(diào)查估計(jì)值所希望達(dá)到的精度，也就是調(diào)查估計(jì)值所能允許的誤差； 二是調(diào)查實(shí)際操作的限制條件，如經(jīng)費(fèi)、時(shí)間等。 The sample size determination involves balancing the precision requirements of the estimates with various operational constrains such as available budget, resources and time.,57,2影響精度的因素 Factors affecting precision there fore affect

21、 the sample size, and include the following:,(1)總體的變異程度大； (2)總體的大?。?(3)樣本設(shè)計(jì)方式和所用的估計(jì)量； (4)調(diào)查的回答率的高低。 The variability of the characteristic of interest in the population The size of the population The sample design and estimator used The response rate,58,總體大小,在樣本量確定過(guò)程中，總體所起的作用因它的大小而有所差異。對(duì)于小規(guī)?？傮w，它起著重要作

22、用；對(duì)于中等規(guī)模的總體，其作用中等；而大總體對(duì)樣本量影響的作用很小。,59,例如：用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣估計(jì)P，要求在置信度為95%下誤差限為0.05所需的樣本量（p=0.05）,60,樣本設(shè)計(jì)和估計(jì)量 Sample design and estimator,一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)樣本量采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的計(jì)算公式，而實(shí)際使用的是更復(fù)雜的抽樣方式時(shí)，為達(dá)到給定精度所需的樣本量，應(yīng)該在此基礎(chǔ)上乘以一個(gè)稱為設(shè)計(jì)效應(yīng)因子。,61,設(shè)計(jì)效應(yīng)是對(duì)于相等的樣本量，給定樣本設(shè)計(jì)估計(jì)量的抽樣方差對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣估計(jì)量的抽樣方差的比率。 The design effect is the ratio of the sampling v

23、ariance of the estimate under a given design to the sampling variance of the estimate under an SRS design of the same sample size.,62,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)效應(yīng)等于1； 分層抽樣設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)效應(yīng)一般小于等于1； 整群或多階抽樣設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)效應(yīng)一般大于等于1。 The design effect=1 for simple random sample design and usually the design effect =1 for a cluster sample

24、 design 若過(guò)去相同或相似主題的調(diào)查所用的抽樣設(shè)計(jì)與我們計(jì)劃實(shí)施的抽樣設(shè)計(jì)相同或相似，就能得到當(dāng)前調(diào)查主要變量設(shè)計(jì)效應(yīng)的估計(jì)值。我們也可以從試調(diào)查中得到設(shè)計(jì)效應(yīng)的估計(jì)值。,63,調(diào)查的回答率 Survey response rate,需要根據(jù)預(yù)計(jì)的回答率調(diào)整樣本量的大小，根據(jù)預(yù)計(jì)的回答率確定一個(gè)較大的樣本才可能達(dá)到精度要求。,64,樣本量的計(jì)算步驟 Sample size formulae,1）對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，對(duì)平均值估計(jì)的樣本量計(jì)算： 第1步：計(jì)算初始樣本量,65,第2步：對(duì)總體大小進(jìn)行調(diào)整： 第3步：如果抽樣設(shè)計(jì)不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，則用下面公式對(duì)樣本量進(jìn)行調(diào)整 ： 其中，B是設(shè)計(jì)效應(yīng)

25、。,66,第4步：根據(jù)無(wú)回答再次進(jìn)行調(diào)整，以確定最終的樣本量： 其中，r為預(yù)計(jì)的回答率。,67,對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，對(duì)比例估計(jì)的樣本量的計(jì)算步驟： 因?yàn)樵诒壤烙?jì)中，樣本的方差變?yōu)椋?于是第一步計(jì)算公式變?yōu)椋?68,若在以往調(diào)查中可得總體比例的一個(gè)較好估計(jì)，那么直接將它代入上面的公式就可以得到所需的樣本量；否則可以用p=0.5，因?yàn)檫@時(shí)總體的方差最大。,69,從第二步到第四步，與前面對(duì)平均值估計(jì)的步驟完全一樣。,70,例 準(zhǔn)備實(shí)施一項(xiàng)民意調(diào)查，以測(cè)定贊成建立一個(gè)省級(jí)公園的居民的比例。 總體由所有在兩個(gè)城市和一個(gè)農(nóng)村地區(qū)居住的成年人組成。通過(guò)從每個(gè)城市及農(nóng)村中各抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，得到一個(gè)分層隨機(jī)樣本。問(wèn)每一