1、第四十四講 空間幾何體的表面積與體積,回歸課本,1.柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和,表面積是各個(gè)面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和. 2.把柱體、錐體、臺(tái)體的面展開成一個(gè)平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.,3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積及表面積 S圓柱側(cè)=2rl,S柱=2r(r+l); S圓錐側(cè)=rl,S錐=r(r+l); S圓臺(tái)側(cè)=(r+r)l,S臺(tái)=(r2+r2+rl+rl).,4.柱、錐、臺(tái)體的體積 V長(zhǎng)方體=abc,V正方體=a3,V柱=Sh,V錐= , V臺(tái)= (S+S+ )h. 這是柱體錐體臺(tái)體統(tǒng)一計(jì)算公式,特別的圓柱圓錐圓臺(tái)還可以分別寫成: V圓柱

2、=r2h,V圓錐= r2h,V圓臺(tái)= h(r2+rr+r2).,5.球的體積及球的表面積 設(shè)球的半徑為R,V球= R3,S球=4R2.,考點(diǎn)陪練,答案:D,2.圓臺(tái)上、下底面面積分別是、4,側(cè)面積是6,這個(gè)圓臺(tái)的體積是( ),答案:D,3.用與球心距離為1的平面去截球,所得的截面面積為,則球的體積為( ),答案:B,4.(2010廣州一模)如果一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示(單位長(zhǎng)度: cm),則此幾何體的表面積是( ) A.(80+16 ) cm2 B.96 cm2 C.(96+16 ) cm2 D.112 cm2,解析:將幾何體還原,如圖:該幾何體是由邊長(zhǎng)為4的正方體和一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4高為2

3、的正四棱錐構(gòu)成的,在正四棱錐中,可得,四棱錐的表面積為S1=4 4 正方體除去一個(gè)面的表面積為S2=542=80,所以此幾何體的表面積 答案:A,5.(2010山東臨沂二模)有一個(gè)正三棱柱,其三視圖如圖,則其體積等于( ),解析:由圖知該幾何體為底面為正三角形的三棱柱,底面三角形高為2,三棱柱的高為 故體積為 答案:D,類型一 棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積體積 解題準(zhǔn)備:求解有關(guān)多面體表面積問題的關(guān)鍵是利用幾何圖形的性質(zhì)找到其特征幾何圖形,從而體現(xiàn)出高、斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素間的關(guān)系,如棱柱的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺(tái)中的直角梯形等.,1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系,可表示為,2.解決不規(guī)

4、則幾何體的問題應(yīng)注意應(yīng)用以下方法: (1)幾何體的“分割” 依據(jù)已知幾何體的特征,將其分割成若干個(gè)易于求體積的幾何體,進(jìn)而求解. (2)幾何體的“補(bǔ)形” 有時(shí)為了計(jì)算方便,可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體,如長(zhǎng)方體、正方體等.,【典例1】 如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,若EF分別為ABAC的中點(diǎn),平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1V2的兩部分,那么V1：V2=_.,解析 設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則V=V1+V2=Sh. EF分別為ABAC的中點(diǎn),答案 7：5.,類型二 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積、體積 解題準(zhǔn)備:1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積,因

5、此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原幾何體的關(guān)系是掌握它們的面積公式及解決相關(guān)問題的關(guān)鍵.,2.計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.,【典例2】 已知底面半徑為 ,母線長(zhǎng)為 的圓柱,挖去一個(gè)以圓柱上底面圓心為頂點(diǎn),下底面為底面的圓錐,求所得幾何體的表面積和體積.,解 如圖,圓柱一個(gè)底面的面積為 S底=r2=( )2=3(cm3). 圓柱側(cè)面面積為: S柱側(cè)=2 (cm2). 所挖圓錐的母線長(zhǎng)為 =3(cm).,類型三 球的表面積、體積 解題準(zhǔn)備:球的表面積與體積都只與半徑R有關(guān),是以R為自變

6、量的函數(shù),一個(gè)球的半徑給定,它的表面積、體積隨之確定,反過來(lái),給定一個(gè)球的表面積或體積,這個(gè)球的半徑也就確定了.,【典例3】 如圖,正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為 內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切.求:(1)棱錐的全面積;(2)內(nèi)切球的表面積與體積.,(2)設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為O,連接OPOAOBOC,而O點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r. VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPAC+VOABC,類型四 由幾何體的三視圖求幾何體的表面積與體積 解題準(zhǔn)備:已知空間幾何體的三視圖求表面積體積是高考考查的熱點(diǎn),對(duì)三視圖的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面的應(yīng)用:一是數(shù)據(jù)的給出,

7、通過三視圖的長(zhǎng)寬高對(duì)應(yīng)出空間幾何體的相關(guān)長(zhǎng)寬高,從而求表面積和體積,但是要注意三視圖中的數(shù)據(jù)與原幾何體中的數(shù)據(jù)不一定一一對(duì)應(yīng),識(shí)圖時(shí)注意甄別.二是揭示空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.包括幾何體的形狀,平行垂直等結(jié)構(gòu)特征,這些正是數(shù)據(jù)運(yùn)算的依據(jù).,【典例4】 一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m): (1)試畫出它的直觀圖; (2)求它的表面積和體積.,分析 由三視圖,正確的畫出幾何體的直觀圖,確定幾何體中線段的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.,解 (1)直觀圖如圖所示.,(2)解法一:由三視圖可知該幾何體是長(zhǎng)方體被截去一個(gè)角,且該幾何體的體積是以A1A,A1D1,A1B1為棱的長(zhǎng)方體的體積的 在直角梯形AA

8、1B1B中,作BEA1B1, 則AA1EB是正方形, AA1=BE=1 在RtBEB1中,BE=1,EB1=1 BB1=,幾何體的表面積S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+2 (1+2)1+1 +1+12=7+ (m2). 幾何體的體積V= 121= (m3), 該幾何體的表面積為(7+ )m2,體積為 m3.,解法二:幾何體也可以看作是以AA1B1B為底面的直四棱柱,其表面積求法同解法一, V直四棱柱D1C1CDA1B1BA=Sh= (1+2)11 = (m2). 幾何體的表面積為(7+ )m2,體積為 m3.,反

9、思感悟 (1)由三視圖畫幾何體的直觀圖,掌握“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等,高平齊”的規(guī)則,是確定幾何體特征的關(guān)鍵. (2)把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體或者是補(bǔ)上一部分使之成為規(guī)則幾何體,是求不規(guī)則幾何體常用方法.,錯(cuò)源一 問題考慮不全 【典例1】 是否存在這樣的球,在該球內(nèi)有距離為3的兩個(gè)平行截面且截面的面積分別為5和8?若存在,求出球面的表面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.,錯(cuò)解 假設(shè)存在滿足題意的球,過圓心與截面的圓心作球的軸截面,如圖.圓O是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個(gè)平行截面圓的直徑,C1,C2分別是兩個(gè)截面圓的圓心,設(shè)兩截面圓的半徑分別為r1,r2,(r1r2),由題意可得 又 此方程

10、無(wú)解,所以滿足題意的球不存在.,剖析 錯(cuò)解只考慮了兩個(gè)平行截面都在球心同一側(cè)的情形,事實(shí)上兩個(gè)平行截面不一定都在球心的同一側(cè).,正解 假設(shè)存在滿足題意的球.,(1)如果兩個(gè)平行截面都在球心的同一側(cè),則解法同錯(cuò)解.(2)如果兩個(gè)平行截面在球心兩側(cè),過圓心與截面的圓心作球的軸截面,如圖.圓O是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個(gè)平行截面圓的直徑,C1,C2分別是兩個(gè)截面圓的圓心,設(shè)兩截面圓的半徑分別為r1,r2(r1r2).由題意可得 又 解得R2=9, 所以球的表面積S=4R2=36. 綜上可得,存在滿足題意的球,該球的表面積為36.,錯(cuò)源二 對(duì)三視圖的形成認(rèn)識(shí)不清 【典例2】 設(shè)某幾何體的三

11、視圖如圖(尺寸的長(zhǎng)度單位為m).則該幾何體的體積為_m3.,錯(cuò)解 該幾何體為三棱錐,底面為腰為4,底為3的等腰三角形,高為2. 剖析 把正視圖看成三棱錐的一個(gè)面造成誤解.三視圖中的每一個(gè)視圖都是整個(gè)幾何體在某一屏幕上的投影,不一定是某個(gè)面留下的投影.這類問題不能孤立的分析某一視圖.,正解 由三視圖可知原幾何體是一個(gè)三棱錐,由“長(zhǎng)對(duì)正,寬相等,高平齊”的原則可知三棱錐的高為2,底面三角形的底邊長(zhǎng)為4,高為3,則所求棱錐的體積為 V= 342=4. 答案 4,技法一 等積轉(zhuǎn)化思想方法 【典例1】 如圖,一個(gè)三棱柱容器中盛有水,且側(cè)棱AA1=8,若AA1B1B水平放置時(shí),液面恰好過AC,BC,A1C

12、1,B1C1的中點(diǎn),則當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí),液面的高為多少?,解 當(dāng)AA1B1B水平放置時(shí),縱截面中水的面積占1- 所以水的體積與三棱柱體積比為 當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí),液面高度為8 =6. 方法與技巧 容器中水的體積不會(huì)減少,運(yùn)用等積思想可不用計(jì)算體積,而通過體積比進(jìn)而化為高度比.,技法二 巧解三棱錐的體積 【典例2】 已知正三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,側(cè)棱長(zhǎng)都等于a,如圖1,求此三棱錐的體積.,解 解法一:設(shè)頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影為O,則O為ABC的中心,連接CO延長(zhǎng)交AB于M,連接PM,則CMAB且M為AB的中點(diǎn). 在ABC中,易求得,解法二:轉(zhuǎn)換三棱錐頂點(diǎn),如圖2.因?yàn)锳PPBPC,所以三棱錐APBC的高為PA,底面PBC為直角三角形. 所以VPABC=VAPBC= SPBCAP,解法三:由三棱錐PAPBPC,易聯(lián)想到以PBC為底面可以補(bǔ)成三棱柱ABC-PBC,如圖3,它與三棱錐APBC的高均為AP,底面為PBC,易知錐