1、第1課時方程的根與函數(shù)的零點1.了解方程的根與函數(shù)零點的概念,會利用零點的概念解決簡單的問題.2.理解零點存在性定理,會利用零點存在性定理判斷零點的存在性或者零點所在的范圍問題.一個小朋友畫了兩幅圖:圖1圖2問題1:說明此小朋友曾經(jīng)渡過河;但應(yīng)注意對于,無法判斷此小朋友是否渡過河.問題2:(1)對于函數(shù)y=f(x),我們把使的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)的零點.由定義可知零點是一個實數(shù),不是點.(2)在二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)中,當(dāng)時,有兩個零點;當(dāng)=0時,有零點;當(dāng)時,沒有零點.問題3:(1)函數(shù)y=f(x)的零點,方程f(x)=0的根,函數(shù)y=f(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系

2、:函數(shù)y=f(x)的就是方程f(x)=0的實數(shù)根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點的;(2)方程f(x)=0根的情況可以用函數(shù)的圖像來討論,事實上,方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點.問題4:(1)零點存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是,并且有,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.(2)當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿足零點存在性定理的條件時,存在零點,至少有一個.(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,且在區(qū)間

3、(a,b)內(nèi)有零點,那么你認(rèn)為f(a)f(b)與0的關(guān)系是怎樣的?請舉例說明.如下圖所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.1.函數(shù)y=x2-2x-3的零點是().A.(-1,0),(3,0) B.x=-1C.x=3D.-1和32.若函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍是().A.a1C.a1D.a13.觀察函數(shù)y=f(x)的圖像,則f(x)在區(qū)間a,b上(填“有”或“無”)零點;f(a)f(b)0(填“”),在區(qū)間b,c上(填“有”或“無”)零點;f(b)f(c)0(填“”),在區(qū)間c,d上(填“有”或“無”)零點;f(c)f(d)0(填“”). 4.已知函數(shù)f(x)

4、=2x-x2,問方程f(x)=0在區(qū)間-1,0內(nèi)是否有解,為什么?利用零點的概念求零點判斷下列函數(shù)是否存在零點,如果存在,請求出.(1)f(x)=x+3x;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.零點個數(shù)的判斷判斷函數(shù)f(x)=ln x+x2-3的零點的個數(shù).零點所在區(qū)間的判斷函數(shù)f(x)=lg x-9x的零點所在的大致區(qū)間是().A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)下列函數(shù)中存在兩個零點的是().A.f(x)=2x-2B.f(x)=lg(x2-2)C.f(x)=x2-2x+1D.f(x)=ex-1-2判斷函數(shù)f(x)=x

5、2-1x的零點的個數(shù).方程2x+x=0在下列哪個區(qū)間內(nèi)有實數(shù)根().A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,0)1.下列圖像表示的函數(shù)中沒有零點的是().2.已知函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的,有如下的x、f(x)對應(yīng)值表:x123456f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49函數(shù)f(x)在區(qū)間1,6上的零點至少有().A.2個B.3個C.4個D.5個3.函數(shù)f(x)為偶函數(shù),其圖像與x軸有四個交點,則該函數(shù)的所有零點之和為.4.已知函數(shù)f(x)=x3-2x2-5x+6的一個零點為1.求函數(shù)f(x)的其他零點.(2020年重慶卷)若ab0一

6、個0問題3:(1)零點橫坐標(biāo)問題4:(1)連續(xù)不斷的一條曲線f(a)f(b)0基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.D由x2-2x-3=0得x=-1或x=3.2.C函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點,即方程x2+2x+a=0沒有實數(shù)根,所以=4-4a0,得a1.3.有有有根據(jù)“如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且f(a)f(b)0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c(a,b),使得f(c)=0,c也就是這個方程f(x)=0的根”來解答.4.解:因為f(-1)=2-1-(-1)2=-120,而函數(shù)f(x)=2x-x2的圖像是連續(xù)曲線,所以f(x)在區(qū)間-1,0內(nèi)有

7、零點,即方程f(x)=0在區(qū)間-1,0內(nèi)有解.重點難點探究探究一:【解析】(1)令x+3x=0,解得x=-3,所以函數(shù)f(x)=x+3x的零點是-3.(2)令x2+2x+4=0,由于=22-414=-120,所以方程x2+2x+4=0無實數(shù)根,所以函數(shù)f(x)=x2+2x+4不存在零點.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函數(shù)f(x)=2x-3的零點是log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函數(shù)f(x)=1-log3x的零點是3.【小結(jié)】求函數(shù)f(x)的零點時,通常轉(zhuǎn)化為解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有實數(shù)根,則函數(shù)f(x)存在零點,該方程的根就是函數(shù)f(x)

8、的零點;否則,函數(shù)f(x)不存在零點.探究二:【解析】(法一)函數(shù)對應(yīng)的方程為ln x+x2-3=0,即為函數(shù)y=ln x與y=3-x2的圖像交點個數(shù).在同一坐標(biāo)系下,作出兩函數(shù)的圖像.如圖,兩函數(shù)圖像有一個交點.從而ln x+x2-3=0有一個根,即函數(shù)y=ln x+x2-3有一個零點.(法二)由于f(1)=ln 1+12-3=-20,f(1)f(2)0,又f(x)=ln x+x2-3在(1,2)上是不間斷的,f(x)在(1,2)上必有零點,又f(x)在(0,+)上是遞增的,零點只有一個.【小結(jié)】判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法:(1)利用方程根,轉(zhuǎn)化為解方程,有幾個根就有幾個零點;(2)畫出函數(shù)

9、y=f(x)的圖像,判定它與x軸的交點個數(shù),從而判定零點的個數(shù);(3)結(jié)合單調(diào)性,利用f(a)f(b)0,可判定y=f(x)在(a,b)上零點的個數(shù);(4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖像的交點問題.探究三:【解析】f(6)=lg 6-96=lg 6-320,f(7)=lg 7-970,f(8)=lg 8-980, f(9)=lg 9-10,f(9)f(10)0,f(x)=lg x-9x的零點所在的大致區(qū)間為(9,10).【答案】D【小結(jié)】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的三個步驟:(1)代:將區(qū)間端點代入函數(shù)求出函數(shù)的值.(2)判:把所得函數(shù)值相乘,并進行符號判斷.(3)結(jié):若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則在該區(qū)間內(nèi)無零點;若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù),則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:BA中零點為1;B中零點為3;C中零點為1;D中零點為1+ln 2,故選B.應(yīng)用二:由x2-1x=0,得x2=1x.令h(x)=x2(x0),g(x)=1x,在同一坐標(biāo)系中畫出h(x)和g(x)的圖像,由圖可知兩函數(shù)圖像只有一個交點.故函數(shù)f(x)=x2-1x只有一個零點.應(yīng)用三:D令f(x)=2x+x,f(-1)f(0)=(-12)10,f(x)=2x+x的零點在區(qū)間(-1,0)內(nèi),故2x+x=0在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有實數(shù)根.基礎(chǔ)智能檢測1.A觀察圖像可知A