1、2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 解析幾何解題方法集錦俗話說(shuō)：“知己知彼，才能百戰(zhàn)百勝”，這一策略，同樣可以用于高考復(fù)習(xí)之中。我們不僅要不斷研究教學(xué)大綱、考試說(shuō)明和教材，而且還必須研究歷年高考試題，從中尋找規(guī)律，這樣才有可能以不變應(yīng)萬(wàn)變，才有可能在高考中取得優(yōu)異成績(jī)。縱觀近幾年的高考解析幾何試題，可以發(fā)現(xiàn)有這樣的規(guī)律：小題靈活，大題穩(wěn)定。一、解決解析幾何問題的幾條原則1重視“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想2注重平面幾何的知識(shí)的應(yīng)用3突出圓錐曲線定義的作用二、解析幾何中的一類重要問題直線有圓錐曲線的位置關(guān)系問題是解析幾何中的一類重要問題，它是我們解決解析幾何其他問題的基礎(chǔ)。我們必須熟悉直線與三種圓錐曲線的位置關(guān)系，

2、熟練掌握直線和圓錐曲線相交所所產(chǎn)生的有關(guān)弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)以及垂直等基本問題的基本解法。特別要重視判別式的作用，力爭(zhēng)準(zhǔn)確地解決問題。弦長(zhǎng)問題：|AB|=。弦的中點(diǎn)問題：中點(diǎn)坐標(biāo)公式-注意應(yīng)用判別式。三、高考解析幾何解答題的類型與解決策略.求曲線的方程1曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。例1 （1994年全國(guó)）已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8）關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0).設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)分別為A/

3、、B/，則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：A/（），B/（）。因?yàn)锳/、B/均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直線L的方程為：y=x,拋物線C的方程為y2=x.例2 (1993年全國(guó))在面積為1的PMN中，tanM=,tanN=-2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M、N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程。分析：此題雖然與例1一樣都是求形狀已知的曲線方程問題，但不同的是例1是在給M O N xPy定的坐標(biāo)系下求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，而此題需要自己建立坐標(biāo)系。為使方程簡(jiǎn)單，應(yīng)以MN所在直線為x軸，以MN的垂直平分線為y軸。這樣就可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中有兩個(gè)未知數(shù)。2曲線的形狀

4、未知-求軌跡方程 例3 （1994年全國(guó)）MNQO已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)（0）,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點(diǎn)N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識(shí)可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.O A xBC當(dāng)=1時(shí)它表示一條直線；當(dāng)1時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。例4 （1999年全國(guó)）給出定點(diǎn)A（a,0）(a0)和直線L：x=-1，B是直線L上的動(dòng)點(diǎn)，BOA的

5、角平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系。分析：設(shè)C（x,y）,B(-1,b).則直線OB的方程為：y=-bx.由題意：點(diǎn)C到OA、OB的距離相等，且點(diǎn)C在線段AB上，所以 y2(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0若，y0,則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)；若y=0，則b=0,AOB=180,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），也滿足上式。所以，點(diǎn)C的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)。當(dāng)a=1時(shí)，方程表示拋物線??；當(dāng)0a1時(shí)，方程表示雙曲線一支的弧。一般地，如果選擇了m個(gè)參數(shù)，則需要列出m+1個(gè)方程。例5 （19

6、95年全國(guó)）已知橢圓和直線L:，P是直線L上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足|OQ| |OP|=|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在L上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。分析：設(shè)Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR), 則，代入，得：(x-1)2+(y-1)2=1.注意：若將點(diǎn)P、Q、R分別投影到x軸上，則式子可用|x| |xP|=|xR2|代替，這樣就簡(jiǎn)單多了。.研究圓錐曲線有關(guān)的問題1有關(guān)最值問題例6 (1990年全國(guó))設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x上，離心率，已知點(diǎn)P（0，）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析

7、：最值問題，函數(shù)思想。關(guān)鍵是將點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離表示為某一變量是函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識(shí)求其最大值。設(shè)橢圓方程為，則由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.設(shè)Q(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則:|PQ|=(-byb).若b，則-與b0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|2p。（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對(duì)于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a

8、的范圍；對(duì)于（2）首先要把NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。解：(1)直線L的方程為：y=x-a,將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：設(shè)直線L與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1,y1）,B(x2,y2)，則,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得:(2)設(shè)AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)Q，令其坐標(biāo)為（x3,y3），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：,所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又MNQ為等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以SNAB=,即NAB面積的最大值為2。例8 （1992年高考題）已知橢圓，A,B是橢圓上的兩點(diǎn)

9、，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0)，證明：.分析：欲證x0滿足關(guān)于參數(shù)a、b的不等式，須從題中找出不等關(guān)系，由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：-axa,因此問題轉(zhuǎn)化為尋求x0與x的關(guān)系。由題設(shè)知，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，所以|AP|=|BP|，若設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則有：(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓上，所以，從而由-ax1a,-ax2a,可得：例9 (2000年高考題)已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點(diǎn)E滿足，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。A

10、O B xDCyE分析：顯然，我們只要找到e與的關(guān)系，然后利用解不等式或求函數(shù)的值域即可求出e的范圍。解：如圖建立坐標(biāo)系，這時(shí)CDy軸，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱。依題意，記A(-C,0)，C(h)，E(x0,y0),其中c=為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。由,即(x0+c,y0)= (-x0,h-y0)得:x0=.設(shè)雙曲線的方程為,則離心率e=。由點(diǎn)C、E在雙曲線上,將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e=代入雙曲線的方程得將（1）式代入（2）式,整理得(4-4)=1+2,故=1.依題設(shè)得,解得.所以雙曲線的離心率的取值范圍是.例10 已知拋物線y2=2px

11、 (p0)上存在關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，求p的取值范圍。分析：解決本題的關(guān)鍵是找到關(guān)于p的不等式。設(shè)拋物線上關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的兩點(diǎn)是M(x1,y1)、N(x2,y2)，設(shè)直線MN的方程為y=x+b.代入拋物線方程，得：x2+(2b-2p)x+b2=0.則x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.則MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (p-b,p).因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。又=(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp0,將b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)0,3p2-2p0.解得：0p.是否存在常數(shù)a、b、c，使函數(shù)f(x)=滿足下列條件：（1）函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；（2）；f