1、一線名師指點07年高考數學同步輔導第18講數列的求和【考點回放】1等差數列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=當d0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0；當d=0時（a10），Sn=na1是關于n的正比例式2等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關于n的正比例式)；當q1時，Sn= Sn=3拆項法求數列的和，如an=2n+3n 4錯位相減法求和，如an=(2n-1)2n（非常數列的等差數列與等比數列的積的形式）5分裂項法求和，如an=1/n(n+1) （分子為非零常數，分母為非常數列的等差數列的兩項積的形式）6反序相加法求和，如an=7求數列an的最大、最小項的方法：an+

2、1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an=【考點解析】1. 若數列的前項和為，求，是否是等差數列？解析: ,當時,當時,數列不是等差數列,從第2項起是等差數列.點評:非常數等差數列的前n項和是關于n的二次函數,且常數項為0.2.已知數列的前項和滿足，求，并判斷是什么數列？解析: ,即當時,當時,又,數列是首項為4,公比為5的等比數列.3.已知數列滿足，求解析: ,當n=1時, ,當時, ,由和兩式相減得,數列是以為首項,為公比和等差數列.，是以為首項,為公比和等差數列.點評:若是等比數列,則其子數列也是等比數列(其中是等

3、差數列).4.已知數列的前項和為，且，求證數列是等比數列,并寫出其通項公式.解析:,兩式相減得,即,即數列是等比數列.,解得,數列是以3為首項,2為公比的等比數列.即點評:本題是采用換元的方法,需要有整體的意識.5（2001年高考）某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設并以此發(fā)展旅游事業(yè).根據規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少1/5.本年度當地旅游業(yè)收入估計400萬元，由于該項建設促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加1/4. 設n年內（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入bn萬元. 至少經過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？解析:應用問題建模化歸為直用公式求和構建不

4、等式求解.依題設知，總投入和旅游業(yè)總收入分別為兩個等比數列的和，直用公式構建不等式求解. 由題設可知，an=800+800(1-1/5)+800(1-1/5)n-1=4000,bn=400+4005/4+400(5/4)n-1=1600; 由題設設至少經過n年旅游業(yè)總收入超過總投入，則 bn-an0. 化簡，1600400,即 5(+2(-70,換元解得n.6求數列 1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,(a0)的前n項和Sn.解析:整體把握，所求數列的每一項都是一等比數的和，其第k項 ak=ak-1+ak+ak+1+a2k-2.當|a|0時，ak=(ak-1-a2k-1),

5、Sn=(1-a)+(a-a3)+(a2-a5)+(an-1-a2n-1)=（1-an）（1-an+1）;當a=1時,易得Sn=;當a=-1時,易得Sn= .7. 函數f(x)對任意x1,x2R,當x1+x2=1時,恒有f(x1)+f(x2)=1,且f(0)=0,若an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+f(n-1/n),求an.解析:依據對應法則和所求值的結構特征，創(chuàng)造用對應法則，整體把握用等差數列前n項和公式推導方法“反序求和”,由an=0+f(1)+f(1/n)+f(2/n)+f(n-1/n) an= f(n-1/n)+f(n-2/n)+ +f(1/n)+0，相加用對應法則有2an=f

6、(1/n)+f(n-1/n)+f(2/n)+f(n-2/n)+f(n-1/n)+f(1/n)=n-1,故an=(n-1)/2.8. 已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,且a1,a2,a3,an組成一個數列，n為自然數，且有f(1)=n2, 試證明 0f(1/3)1+2n1+n,所以0(n+1)/3n1，故 0f(1/3)1.9. 函數f(x)滿足對任意x,y都有f(x)+f(y)=f()，且當x0，求證f()+f()+f() f().解析:依據對應法則的結構特征，整體把握不等式左端數列和，從通項入手，逆用法則裂項相消法求和解決.賦值易知f(x)奇函數，且當x0時，都有f(x)0

7、, 恒有f() f().故所證不等式成立.10設等差數列的項數為奇數，求奇數項之和與偶數項之和的比值.解析:本題解法很多.現整體把握奇數項之和與偶數之和，構建方程組求解.設S奇，S偶 分別為奇數項之和與偶數項之和，則 S奇+S偶=Sn=nak, S奇-S偶=ak,其中k=,解方程組有，S奇=,S偶=則 S奇：S偶=11.設正數列ab的前項和Sn，且Sn=,試求數列an的通項公式an.解析:：由一般數列的切入點，可構建關于Sn的方程解出Sn，從而求其通項公式an.由題設和數列的切入點,Sn= (an+)=(Sn-Sn-1+,化簡為 Sn2-Sn-12=2 (n.即Sn2為等差數列，易求Sn2=S

8、22+(n-2)=n(n).故 a1=1;當n時,an=.12.數列an的相鄰兩項an,an+1是方程x2-cnx+(的兩根，又a1=2，求無窮數列c1,c2,cn各項和.解析:整體把握an間隔成等比數列，“挑項求和”. 由題設，cn=an+an+1, anan+1=(,則.故a2n-1是2為首項，公比的等比數列；a2n是為首項，公比的等比數列.S=c1+c2+cn+=a1+a2+a2+a3+a3+an+1+=2(a1+a2+a3+an+)-a1=2.13（2020北京卷）設，則等于（A） （B） （C）（D）解析:依題意為首項為2，公比為8的前n4項求和，根據等比數列的求和公式可得D.14（

9、2020天津卷）已知數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，設（），則數列的前10項和等于（）A55 B70C85D100解析:數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，設（），則數列的前10項和等于=， =，選C.15（2020廣東卷）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數，則；（答案用表示）. 解析:10，16（2020湖南卷） 若數列滿足：，2，

10、3.則. 解析:數列滿足：，2，3，該數列為公比為2的等比數列， .【考點演練】考點1、等差、等比公式求和1在等差數列an中，它的前n項和為Sn，已知 . 182等差數列an中，已知前15項的和S15=90，則a8等于（ ）AB12CD63等比數列an的首項a1=1，前n項和為Sn，若，則公比q等于 4、等差數列an中,若a1+a4+a7=39, a3+a6+a 9=27, 則前9項的和S9= ( )A 66 B 99 C 144 D 2975數列an的前n項和Sn=n2+2n1，則這個數列一定是B（ ）A等差數列B非等差數列C常數數列D等差數列或常數數列考點2、分項求和1、5，55，555，

11、5555，；解：2、求和：；， 原式考點3、錯位減法求和1、已知數列an的前n項和為Sn,Sn=(an-1)(nN,n1)(1)求a1,a2 (2)求數列an的通項公式 (3)bn=n,令Cn=bnan ,求數列Cn的前n項和 解：（1）由 4分（2） 是首項公比均為的等比數列 8分（3）設前n項的和Tn，：14分考點4、裂項求和1數列的前n項之和為 2若的前n項和是（ ）ABCD3設，則n的值為（ ）A9B8C7D64、= A B C D 考點5、疊加法、疊乘法1、已知數列 (1) 求數列的通項公式；（2）求數列的通項公式；（3）求數列的前n項和解：或者用累乘得2、數列的通項公式是，若前n項

12、的和為10，則項數n為（）A11B99C120D121考點6、倒序求和1、設， 又， ，【題型講解】例1 （分情況討論）求和：解：當a=0或b=0時，當a=b時，；當ab時，例2（分部求和法）已知等差數列的首項為1，前10項的和為145，求解：首先由則例3（分部求和法）求數列1，3，32，3n的各項的和解：其和為：(133n)()=(3n1-3-n)例4（裂項求和法）解：， 例5（裂項求和法）已知數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，求和：解：首先考慮則=點評：已知數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，下列求和也可用裂項求和法例6（錯位相減法）設a為常數，求數列a，2a2，3a3，

13、nan，的前n項和解：若a=0時，Sn=0 若a=1，則Sn=1+2+3+n= 若a1，a0時，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=例7（錯位相減法）已知，數列是首項為a，公比也為a的等比數列，令，求數列的前項和解：-得：點評：設數列的等比數列，數列是等差數列，則數列 的前項和求解，均可用錯位相減法例8（組合化歸法）求和：解：而連續(xù)自然數可表示為組合數的形式，于是，數列的求和便轉化為組合數的求和問題了點評：可轉化為連續(xù)自然數乘積的數列求和問題，均可考慮組合化歸法當然本題也可以將通項展開為n的多項式，再用分部求和法例9（逆序相加法）設數列是公差為，且首項為的等差數列，求和：解：因

14、為 點評：此類問題還可變換為探索題形：已知數列的前項和，是否存在等差數列使得對一切自然數n都成立例10（遞推法）已知數列的前項和與滿足：成等比數列，且，求數列的前項和解：由題意： 點評：本題的常規(guī)方法是先求通項公式，然后求和，但逆向思維，直接求出數列的前項和的遞推公式，是一種最佳解法例11 數列中，且滿足 求數列的通項公式；設，求；設=，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：（1）由題意，為等差數列，設公差為，由題意得，（2）若，時，故 （3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數值是7即存在最大整數使對任意，均有說明：本例復習數列通項

15、，數列求和以及有關數列與不等式的綜合問題例12 已知函數,數列an滿足a1 = 1,an+1 = f(an) (nN*)() 求數列an的通項公式;() 記Sn = a1a2 +a2a3+anan+1 , 求Sn并求解: () 由 得 3anan+1 +an+1 = an ,從而 ,即 ,數列是以為首項3為公差的等差數列 , () 設bn = anan+1 ,則 , , l 小結： 1等價轉換思想是解決數列問題的基本思想方法,復雜的數列轉化為等差、等比數列 2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數列問題的重要思想,數學歸納法是這一思想的理論基礎 3錯位相減”、“裂項相消”是數列求和最重要的

16、方法【基礎演練】1設S和T分別為兩個等差數列的前n項和，若對任意nN，都有，則第一個數列的第11項與第二個數列的第11項的比是( )A43 B32 C74 D78712一個首項為正數的等差數列中，前3項的和等于前11項的和，當這個數列的前n項和最大時，n等于（）A5 B6 C7 D83若數列中，且 ，則數列的通項 4設在等比數列中，求及5根據下面各個數列的首項和遞推關系，求其通項公式6數列的前項和為不等于0，1的常數)，求其通項公式7某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已達30%從2002年開始，每年將出現這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同

17、時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化（1）設全縣面積為1，2001年底綠化面積為經過年綠化總面積為 求證（2）至少需要多少年（年取整數，）的努力，才能使全縣的綠化率達到60%？8 某企業(yè)2020年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產能力將逐年下降若不進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為500(1+)萬元(n為正整數) ()設從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技術改造后的累計純利潤Bn萬元(須扣除技術改造資

18、金)，求An、Bn的表達式()依上述預測，從今年起該企業(yè)經過至少多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不不進行技術改造的累計純利潤？參考答案:1解：設這兩個等差數列分別為an和bn故選擇A說明：注意巧妙運用等差中項的性質來反映等差數列的通項an與前2n-1項和S2n-1的內在聯系2解：依題意知數列單調遞減，公差d0因為S3=S11=S3+a4+a5+a10+a11所以a4+a5+a10+a11=0即a4+a11=a7+a8=0，故當n=7時，a70，a80選擇C3解：多次運用迭代，可得4解：，又，由以上二式得或；由此得或5解：（1）， （2） =又解：由題意，對一切自然數成立，（3）是首項為公

19、比為的等比數列，說明：本例復習求通項公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構造法6解：由可得當時， ，是公比為的等比數列又當時，說明：本例復習由有關與遞推式求，關鍵是利用與的關系進行轉化7（1）證明：由已知可得確定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若則有即兩邊同時取對數可得故，故使得上式成立的最小為5，故最少需要經過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%8 ()依題意，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2Bn=500-60=500n-100 () Bn- An=(500n-100)-(490n-10n

20、2)=10n2+10n-100 =10因為函數y=x(x+1)- -10在(0，+)上為增函數當1n3時，n(n+1)- -1012-100當n4時，n(n+1)- -1020-100僅當n4時，BnAn【實戰(zhàn)演練】1等差數列an和bn的前n項和分別為Sn和Tn，且，則 （ ）A B C D2設an是公比為q的等比數列,Sn是它的前n項的和,若Sn是等差數列,則公比q= 13數列的前n項和為Sn，若，則這個數列一定是（ ）A等比數列B等差數列C從第二項起是等比數列D從第二項起是等差數列4已知Sn是等差數列an的前n項和，若S6=36，Sn=324，Sn6=144（n6），則n等于（ ）A15B16C17D185 數列1,(1+2),(1+2+22),( 1+2+22+2n-1+)的前n項和是 ( )A 2n B 2n-2 C 2n+1- n -2 D n2n 6 已知等差數列， (1) 求的通項公式；(2) 令，求數列的前n項和Sn.解：(1) 設數列的公差為d，依題意得方程組 解得 所以的通項公式為(2) 由所以是首項，公式的等比數列.于是得的前n項和 7 把正奇數數列2n1中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數