1、湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué)湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué) 20142014 年高中數(shù)學(xué)年高中數(shù)學(xué) 用空間向量求空間距離學(xué)案用空間向量求空間距離學(xué)案 新人教新人教 A A 版必修版必修 4 4 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 進(jìn)一步熟練求平面法向量的方法； 2. 掌握向量運(yùn)算在幾何中如何求點(diǎn)到平面的距離和兩異面直線間距離的計(jì)算方法； 3. 熟練掌握向量方法在實(shí)際問題中的作用. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 1 1：已知A1,2,0,B0,1,1, C1,1,2，試求平面ABC的一個(gè)法向量. 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 2 2：什么是點(diǎn)到平面的距離？什么是兩個(gè)平面間距離？ 二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)一：點(diǎn)到平面的距離的求法點(diǎn)到平面的距

2、離的求法 ruuu rr 問題問題：如圖A,空間一點(diǎn)P到平面的距離為d,已知平面的一個(gè)法向量為n,且AP與n不共線,能 uuu rr 否用AP與n表示d? 分析分析:過P作PO于 O, P 連結(jié) OA,則 u r uuu ruuu r n d=|PO|=| PA|cosAPO. ruuu r PO,n , OA uuu rr POn. uuu r r cosAPO=|cosPA,n| uuu r ruuu r D. =|PA|cosPA,n| uuu u rruuu r ruuu r r | PA|n|cosPA,n | PAn| uuru r=u |n| n| 新知新知：用向量求點(diǎn)到平面的距

3、離的方法： uuu rr r | PAn| u u r設(shè) A,空間一點(diǎn)P到平面的距離為d,平面的一個(gè)法向量為n，則 D. = |n| 試試試試：在棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCD ABCD中， 求點(diǎn)C到平面ABCD的距離. 反思反思：當(dāng)點(diǎn)到平面的距離不能直接求出的情況下，可以利用法向量的方法求解. 典型例題 例例 1 1 已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4，E、F 分別是 AB、AD 的中點(diǎn)，GC平面 ABCD，且GC2，求點(diǎn) B 到平面 EFG 的距離. 變式變式： 如圖,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PD DC a,AD 2a,M 、N分別是AD 、PB的中點(diǎn), 求點(diǎn)A到平面MNC的距離.

4、 P N D C M A B 小結(jié)小結(jié)：求點(diǎn)到平面的距離的步驟： 建立空間直角坐標(biāo)系，寫出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)； 求平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)； 找出平面外的點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)連接向量的坐標(biāo)； 代入公式求出距離. 探究任務(wù)二：兩條異面直線間的距離的求法兩條異面直線間的距離的求法 例例 2 2 如圖，兩條異面直線a,b所成的角為，在直線a,b上分別取點(diǎn)A,E和A,F,使得AA a,且 AA b.已知AE m,AF n,EF l，求公垂線 AA 的長(zhǎng). 變式變式：已知直三棱柱ABCA 1B1C1 的側(cè)棱AA 1 4,底面ABC中,AC BC 2，且BCA 90,E是 AB的中點(diǎn),求異面直線CE與

5、AB1的距離. r 小結(jié)小結(jié)：用向量方法求兩條異面直線間的距離，可以先找到它們的公垂線方向的一個(gè)向量n，再在兩條直 ruuu r n AB u r求解.線上分別取一點(diǎn)A,B，則兩條異面直線間距離d u n 三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié) 1.空間點(diǎn)到直線的距離公式 2.兩條異面直線間的距離公式 知識(shí)拓展 用向量法求距離的方法是立體幾何中常用的方法. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè) 1. 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCD ABCD中，平面ABBA的一個(gè)法向量為； 2. 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCD ABCD中，異面直線AB和 CB 所成角是； 3. 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCD ABCD中，兩個(gè)平行平面間的距離是； o 4. 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCD ABCD中，異面直線AB和CB間的距離是； 5. 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCD ABCD中，點(diǎn)O是底面ABCD中心，則點(diǎn)O到平面ACDB的距離 是 . 6. 如圖，正方體ABCD A 1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 1，點(diǎn)M是棱AA 1 中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD 1 中點(diǎn)，求證：OM是異 面直線AA 1 與BD