1、9.49.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 2014高考會(huì)這樣考 1.考查直線與圓的相交、相切問(wèn)題，判斷 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；2.計(jì)算弦長(zhǎng)、面積，考查與圓有關(guān)的最值；根據(jù)條件求圓的 方程 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.會(huì)用代數(shù)法或幾何法判定點(diǎn)、直線與圓 的位置關(guān)系；2.掌握?qǐng)A的幾何性質(zhì)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長(zhǎng)等 直線與圓的綜合問(wèn)題，體會(huì)用代數(shù)法處理幾何問(wèn)題的思想 1 直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)直線l：AxByC0 (AB0)， 圓：(xa) (yb) r (r0)， 222 22 d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二

2、次方程的 判別式為. 方法 位置關(guān)系 相交 相切 相離 2.圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(xa1) (yb1) r1(r10)， 222 幾何法代數(shù)法 dr 0 0 0). 方法 位置關(guān)系 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 1 直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法” 是從不同的方面和思路來(lái)判斷的 2 計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法 (1)幾何方法 運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算 (2)代數(shù)方法 運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系及弦長(zhǎng)公式 |AB| 1k|xAxB| 1k2 2 222 幾何法： 圓心距d與r1， 代數(shù)法

3、： 兩圓方程聯(lián)立組成方程組的 r 2 的關(guān)系 dr 1r2 dr 1r2 |r1r2|dr1r2 解的情況 無(wú)解 一組實(shí)數(shù)解 兩組不同的實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 無(wú)解 d|r 1r2|(r1r2) 0d|r1r2|(r1r2) xAxB 24x AxB. 1 (2011重慶)過(guò)原點(diǎn)的直線與圓xy2x4y40 相交所得弦的長(zhǎng)為 2，則該直線 的方程為_(kāi) 答案2xy0 解析圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x1) (y2) 1，又相交所得弦長(zhǎng)為 2，故相交弦 為圓的直徑，由此得直線過(guò)圓心(1,2)，故所求直線方程為2xy0. 22 22 2 若圓xy1 與直線ykx2 沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi) 答案(

4、3， 3) 解析由圓與直線沒(méi)有公共點(diǎn)， 可知圓的圓心到直線的距離大于半徑， 也就是 解得 3k 3，即k( 3， 3) 3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓xy4 上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線 12x5yc0 的距離為 1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_ 答案(13,13) 解析由題設(shè)得，若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則需圓心(0,0)到直線的距離d滿 足 0d1， |c| ，0|c|13，即c(13,13) 22 12 5 13 2 |c| 4 從圓x2xy2y10 外一點(diǎn)P(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦 值為 C. () 1 A.2 答案B 3 B.5 3 2 D0 解析圓的方程整理

5、為(x1) (y1) 1，C(1,1)， 22 sinAPC 1 5， 則 cosAPBcos 2APC 1 2 3 12 . 55 5 圓C1：xy2x2y20 與圓C2：xy4x2y10 的公切線有且僅有() 2222 A1 條B2 條C3 條D4 條 答案B 解析C 22 1：(x1) (y1) 4， 圓心C1(1，1)，半徑r12. C2：(x2)2(y1)24，圓心C2(2,1)，半徑r22. |C1C2| 13，|r1r2|00，即dR，所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn) (2)解由平面幾何知識(shí)， 知|AB|2Rd2 22 22 2 84k11k ，下同方法一 2 1k

6、2 方法三(1)證明因?yàn)椴徽搆為何實(shí)數(shù)， 直線l總過(guò)點(diǎn)P(0， 1)， 而|PC| 523R， 所以點(diǎn)P(0,1)在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實(shí)數(shù)，直線l總經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)部的定點(diǎn)P. 所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn) (2)解由平面幾何知識(shí)知過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)P(0,1)的弦， 只有和AC(C為圓心)垂直時(shí)才最短， 而此時(shí)點(diǎn)P(0,1)為弦AB的中點(diǎn)，由勾股定理，知|AB|2 1252 7， 即直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為 2 7. 探究提高(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系， 也可利用直線的方程 與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系； (2)勾股定

7、理是解決有關(guān)弦問(wèn)題的常用方法 (2012安徽)若直線xy10 與圓 (xa) y2 有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 () B1,3 D(，31，) 22 A3，1 C3,1 答案C 解析由題意知，圓心為(a,0)，半徑r 2. 若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于或等于半徑， 即|a01| 2，|a1|2.3a1. 2 題型二圓與圓的位置關(guān)系 例 2a為何值時(shí)，圓C1：xy2ax4y 22 a250 和圓C 2：x 2y22x2aya23 0. (1)外切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)切 思維啟迪：(1)分別表示出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑；(2)利用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系求 解 解將兩圓

8、方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程 C 1：(xa) 2(y2)29， C 2：(x1) 2(ya)24. 兩圓的圓心和半徑分別為 C 1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22， 設(shè)兩圓的圓心距為d， 則d(a1) (2a) 2a6a5. (1)當(dāng)d5，即 2a6a525 時(shí)，兩圓外切， 此時(shí)a5 或a2. (2)當(dāng) 1d5，即 12a6a525 時(shí)，兩圓相交，此時(shí)5a2 或125 時(shí)，兩圓外離，此時(shí)a2 或a0，即b6b90. 解得33 2b0， 即直線AB的方程為xy40，或xy10.12 分 答題模板答題模板 第一步：假設(shè)符合要求的結(jié)論存在 第二步：從條件出發(fā)(即假設(shè))利用直線與圓的關(guān)系求解 第三步：

9、確定符合要求的結(jié)論存在或不存在 第四步：給出明確結(jié)果 第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范 溫馨提醒(1)本題是與圓有關(guān)的探索類(lèi)問(wèn)題，要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)答題(2) 要注意解答這類(lèi)題目的答題格式 使答題過(guò)程完整規(guī)范 (3)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是轉(zhuǎn)化方向不 明確，思路不清晰 2222 2 222 22 方法與技巧 1 過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法 1 先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為 ，由點(diǎn)斜式方程可求切線方 k 程若切線斜率不存在，則由圖形寫(xiě)出切線方程xx0. 2 過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法 (1)幾何方法 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，切線

10、方程為yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圓心到 直線的距離等于半徑，即可得出切線方程 (2)代數(shù)方法 設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圓方程，得一個(gè)關(guān)于x的一元 二次方程，由0，求得k，切線方程即可求出 3 兩圓公共弦所在直線方程求法 若兩圓相交時(shí)，把兩圓的方程作差消去x和y就得到兩圓的公共弦所在的直線方程 4 圓的弦長(zhǎng)的求法 (1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為 l，則 rd. 2 (2) 代 數(shù) 法 ： 設(shè) 直 線 與 圓 相 交 于A(x1，y1) ，B(x2，y2) 兩 點(diǎn) ， 解 方 程 組 ykxb， 2 xx 0 22 l 222 y

11、y 0 2r，2 消y后得關(guān)于x的一元二次方程， 從而求得x1x2，x1x2， 則弦長(zhǎng)為 |AB| 失誤與防范 1 求圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可 以用勾股定理或斜率之積為1 列方程來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算 2 過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得 一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解 1k2x1x2 24x 1x2(k 為直線斜率) A 組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35 分鐘，滿分：57 分) 一、選擇題(每小題 5 分，共 20 分) 1 “a3”是“直線yx4 與圓(xa) (y3) 8

12、相切”的 A充分不必要條件 C充要條件 B必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 22 () 答案A |a34| 22 解析若直線yx4 與圓(xa) (y3) 8 相切，則有2 2，即|a 2 1|4，所以a3 或5.但當(dāng)a3 時(shí)，直線yx4 與圓(xa) (y3) 8 一定相 切，故“a3”是“直線yx4 與圓(xa) (y3) 8 相切”的充分不必要條件 2 (2012重慶)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線ykx1 與圓xy2 的位置關(guān)系一定是 () A相離B相切 D相交且直線過(guò)圓心 22 22 22 C相交但直線不過(guò)圓心 答案C 解析xy2 的圓心(0,0)到直線ykx1 的距離 22 d|001

13、| 1 1， 22 1k1k 又r 2，0d0)的公共弦長(zhǎng)為 2 3，則a_. 答案1 解析方程xy2ay60 與xy4. 1 2 相減得 2ay2，則y .由已知條件2 2222 a 3 2 1 ， a 即a1. 7 (2012江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為xy8x150，若直線y 22 kx2 上至少存在一點(diǎn)， 使得以該點(diǎn)為圓心， 1 為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大 值是_ 4 答案 3 解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4) y1，圓心為(4,0) 由題意知(4,0)到kxy20 的距離應(yīng)不大于 2， 即|4k2| 4 2 2.整理，得 3k4k0.解得 0k . 3 k21

14、22 4 故k的最大值是 . 3 三、解答題(共 22 分) 8 (10 分)求過(guò)點(diǎn)P(4，1)且與圓C：xy2x6y50 切于點(diǎn)M(1,2)的圓的方程 解設(shè)所求圓的圓心為A(m，n)，半徑為r， 則A，M，C三點(diǎn)共線，且有|MA|AP|r， 因?yàn)閳AC：xy2x6y50 的圓心為C(1,3)， 22 22 n223 m111 則 m12n22m42n12r ， 解得m3，n1，r 5， 所以所求圓的方程為(x3) (y1) 5. 9 (12 分)已知點(diǎn)A(1，a)，圓xy4. (1)若過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程； (2)若過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線與圓相切，求a的值及

15、切線方程 解(1)由于過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條，則點(diǎn)A在圓上，故 1 a4，a 3. 當(dāng)a 3時(shí)，A(1， 3)，切線方程為x 3y40； 當(dāng)a 3時(shí)，A(1， 3)，切線方程為x 3y40， a 3時(shí)，切線方程為x 3y40， 22 22 22 a 3時(shí)，切線方程為x 3y40. (2)設(shè)直線方程為xyb，由于直線過(guò)點(diǎn)A，1ab， 直線方程為xy1a，即xya10. |a1| 又直線與圓相切，d2，a2 21. 2 切線方程為xy2 20 或xy2 20. B 組專(zhuān)項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25 分鐘，滿分：43 分) 一、選擇題(每小題 5 分，共 15 分) 1 (2012天津)設(shè)m，nR，若

16、直線(m1)x(n1)y20 與圓(x1) (y1) 1 相 切，則mn的取值范圍是 () 22 A1 3，1 3 B(，1 31 3，) C22 2，22 2 D(，22 222 2，) 答案D 解析圓心(1,1)到直線(m1)x(n1)y20的距離為 1 2 所以mn1mn (mn) ， 4 所以mn22 2或mn22 2. 2 (2011江西)若曲線C1：xy2x0 與曲線C2：y(ymxm)0 有四個(gè)不同的交點(diǎn)， 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 () 22 |mn| m1 2n121， A( 33 ，) 33 33 ， 33 B( 33 ，0)(0，) 33 33 )(，) 33 CD(， 答案

17、B 解析C1：(x1) y1， 22 C 2：y0 或 ymxmm(x1) 當(dāng)m0 時(shí)，C2：y0，此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)m0 時(shí)，要滿足題意，需圓(x1) y1 與直線ym(x1) 有兩交點(diǎn)，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，m m0 或 0m 綜上知 3. 3 33 ，即直線處于兩切線之間時(shí)滿足題意，則 33 22 33 m0 或 032a 22 3 ，解得a3 或 1a . 2 5 若過(guò)定點(diǎn)M(1,0)且斜率為k的直線與圓C：x4xy50 在第一象限內(nèi)的部分有 交點(diǎn)，則k的取值范圍是_ 答案(0， 5) 解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2) y9，令x0 得圓與y軸的兩個(gè) 交點(diǎn)為(0， 5)，如圖，直線kAM 5.若過(guò)定點(diǎn)M(1,0)且斜率 為k的直線與圓x4xy50 在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則 22 22 22 k的取值范圍是 0k 5. 1 22 6 過(guò)點(diǎn)M，1的直線l與圓C：(x1) y4 交于A、B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)ACB最小 2 時(shí)，直線l的方程為_(kāi) 答案2x4y30 1 12 1 解析由題意得，當(dāng)CMAB時(shí)，ACB最小，從而直線方程y1x，即 012 2x4y30. 三、解答題 7 (13分)已知以點(diǎn)A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70 相切 過(guò) 點(diǎn)B(